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高考数学二轮复习方法空间向量及其运算知识巩固

2018-12-21  高中数学...

1空间向量的有关定理

(1)共线向量定理:对空间任意两个向量ab(b0)ab的充要条件是存在唯一的实数λ,使得aλb

(2)共面向量定理:如果两个向量ab不共线,那么向量p与向量ab共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(xy),使pxayb

(3)空间向量基本定理:如果三个向量abc不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{xyz},使得pxaybzc.其中{abc}叫做空间的一个基底.

2.两个向量的数量积(与平面向量基本相同)

(1)两向量的夹角:已知两个非零向量ab,在空间中任取一点O,作=a,=b,则AOB叫做向量ab的夹角,记作ab.通常规定0abπ.若〈ab〉=,则称向量ab互相垂直,记作ab.

(2)两向量的数量积

两个非零向量ab的数量积a·b|a||b|cosab

(3)向量的数量积的性质

a·e|a|cosae(其中e为单位向量)

aba·b0

|a|2a·aa2

|a·b||a||b|.

(4)向量的数量积满足如下运算律

(λabλ(a·b)

a·bb·a(交换律)

a·(bc)a·ba·c(分配律)

3.空间向量的坐标运算

(1)a(a1a2a3)b(b1b2b3)

ab(a1b1a2b2a3b3)

ab(a1b1a2b2a3b3)

λa(λa1λa2λa3)a·ba1b1a2b2a3b3

aba1b1a2b2a3b30

aba1λb1a2λb2a3λb3(λR)

cosab〉== .

(2)A(x1y1z1)B(x2y2z2)

则=-=(x2x1y2y1z2z1)

4.直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量l是空间一直线,AB是直线l上任意两点,则称为直线l的方向向量,与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个.

(2)平面的法向量

①定义:与平面垂直的向量,称做平面的法向量.一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量.

②确定:设ab是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为

5.空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示

直线l1l2的方向向量分别为n1n2

l1l2

n1n2n1λn2

l1l2

n1n2n1·n20

直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m

lα

nmn·m0

lα

nmnλm

平面αβ的法向量分别为nm

αβ

nmnλm

αβ

nmn·m0

1辨明四个易误点

(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别.

(2)共线向量定理中ab存在唯一的实数λR,使aλb易忽视b0.

(3)共面向量定理中,注意有序实数对(xy)是唯一存在的.

(4)向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即(a·b)ca(b·c)不一定成立.

2建立空间直角坐标系的原则

(1)合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直.

(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.

3利用空间向量坐标运算求解问题的方法

用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度,一般用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零;求异面直线所成的角,一般可转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化.

1.已知a(2,-31)b(204)c(4,-62),则下列结论正确的是(  )

Aacbc            Babac

Cacab                         D.以上都不对

 C [解析] 因为c(462)2a所以ac.a·b0ab.

2.在空间直角坐标系中,已知A(1,-21)B(222),点Pz轴上,且满足|PA||PB|,则P点坐标为(  )

A(300)                        B(030)

C(003)                            D(00,-3)

 C [解析] P(00z)则有

解得z3.

3. 在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中,MA1C1B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(  )

A.-abc                    Babc

C.-abc                        Dabc

 A [解析] 由题意根据向量运算的几何运算法则()

c(ba)=-abc.

4. 已知a(24x)b(2y2),若|a|6,且ab,则xy的值为________

[解析] 因为a(24x)|a|6x±4

b(2y2)ab

x4y=-3xy1.

x=-4y1xy=-3.

[答案] 1或-3

5.若平面α的一个法向量为u1(3y2),平面β的一个法向量为u2(6,-2z),且αβ,则yz________

[解析] 因为αβ所以u1u2所以

所以y1z=-4所以yz=-3.

[答案] 3

 

 空间向量的线性运算[学生用书P145]

[典例引领]

 

如图,在长方体ABCD­A1B1C1D1中,OAC的中点.

(1)化简--=________. 

(2)用,,表示,则=________

解析】 (1)().

(2)因为()

所以()

.

答案】 (1) (2)++

 若本例条件不变,结论改为:设E是棱DD1上的点,且=,若=xyz,试求xyz的值.

[] 

=-()

由条件知xy=-z=-.

用基向量表示指定向量的方法

(1)应结合已知和所求向量观察图形.

(2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中.

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来. 

 

如图所示,在空间几何体ABCD­A1B1C1D1中,各面为平行四边形,设=a,=b,=cMNP分别是AA1BCC1D1的中点,试用abc表示以下各向量:

(1)(2).

[] (1)因为PC1D1的中点

所以a

acacb.

(2)因为MAA1的中点

所以

=-aabc.

因为NBC的中点

所以

ca

所以

abc.

 共线、共面向量定理的应用[学生用书P146]

[典例引领]

 已知EFGH分别是空间四边形ABCD的边ABBCCDDA的中点,求证:

(1)EFGH四点共面;

(2)BD平面EFGH.

证明】 (1)连接BG(图略)

()

由共面向量定理的推论知EFGH四点共面.

(2)因为()

所以EHBD

EH平面EFGHBD平面EFGH

所以BD平面EFGH.

(1)证明空间三点PAB共线的方法

λ(λR)

对空间任一点Ot(tR)

对空间任一点Oxy(xy1). 

(2)证明空间四点PMAB共面的方法

xy

对空间任一点Oxy

对空间任一点Oxyz(xyz1)

()

 已知ABC三点不共线对平面ABC外的任一点O若点M满足()

(1)判断,,三个向量是否共面;

(2)判断点M是否在平面ABC内.

[] (1)由题知3

所以()()

=-

所以,,共面.

(2)(1),,,共面且基线过同一点M

所以MABC四点共面

从而点M在平面ABC内.

 空间向量的数量积与坐标运算[学生用书P146]

[典例引领]

 (1)如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i12,…,8)是上底面上其余的八个点,则·(i12,…,8)的不同值的个数为(  )

A1                 B2

C4                                         D8

(2)正方体ABCD­A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(  )

A.                                     B

C.                                           D

(3)已知向量a(0,-11)b(410)|λab|=,且λ>0,则λ________

解析】 (1)由题图知AB与上底面垂直因此ABBPi(i12,…,8)·||||cosBAPi||·||1(i12,…,8).故选A.

(2)不妨设正方体的棱长

1如图建立空间直角坐标系D(000)B(110)B1(111)平面ACD1的法向量为(111)(001)所以cos〉=

所以BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 .

(3)λabλ(011)(410)(41λλ)由已知得|λab|λ>0解得λ3.

答案】 (1)A (2)D (3)3

(1)空间向量数量积计算的两种方法

基向量法:a·b|a||b|cosab〉.

坐标法:设a(x1y1z1)b(x2y2z2)a·bx1x2y1y2z1z2.

(2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题

a0b0aba·b0.

|a|.

cosab〉=. 

 已知空间三点A(202)B(112)C(304).设a=,b.

(1)ab的夹角θ的余弦值;

(2)若向量kabka2b互相垂直,求k的值.

[] 因为A(202)B(112)C(304)ab所以a(110)b(102)

(1)cos θ=-

所以ab的夹角θ的余弦值为-.

(2)因为kabk(110)(102)(k1k2)

ka2b(k2k4)(kab)(ka2b)

所以(k1k2)·(k2k4)(k1)(k2)k282k2k100.

解得k=-k2.

 利用空间向量证明平行和垂直(高频考点)[学生用书P147]

空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题.考查形式灵活多样,可以是小题,也可以是解答题的一部分,或解答题的某个环节,是高考中的重要得分点.

高考对空间向量解决此类问题有以下两个命题角度:

(1)证明平行问题;

(2)证明垂直问题.

[典例引领]

 (1)(2015·高考湖南卷节选)如图,已知四棱台ABCD­A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为36的正方形,A1A6,且A1A⊥底面ABCD,点PQ分别在棱DD1BC上.若PDD1的中点,证明:AB1PQ.

(2)如图所示,平面PAD平面ABCDABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PAAD2EFG分别是线段PAPDCD的中点.

求证:PB平面EFG.

证明】 (1)由题设知AA1ABAD两两垂直.以A为坐标原点ABADAA1所在

直线分别为xyz建立如图所示的空间直角坐标系则相关各点的坐标为A(000)B1(306)D(060)D1(036)Q(6m0)其中mBQ0m6.

PDD1的中点,

P(6m3)

(306)于是·18180

所以AB1PQ.

(2)因为平面PAD平面ABCDABCD为正方形所以ABAPAD两两垂直A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz

A(000)B(200)C(220)D(020)P(002)E(001)F(011)G(120).(202)(010)(111)

st

(202)s(010)t(111)

所以解得st2.

所以22

又因为不共线

所以共面.

因为PB平面EFG所以PB平面EFG.

(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤

建立空间直角坐标系建系时要尽可能地利用已知图形中的垂直关系;

建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素;

通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系;

根据运算结果解释相关问题.

(2)空间线面位置关系的坐标表示

设直线lm的方向向量分别为a(a1b1c1)b(a2b2c2)平面αβ的法向量分别为u(a3b3c3)v(a4b4c4)

线线平行

lmabakba1ka2b1kb2c1kc2.

线线垂直

lmaba·b0a1a2b1b2c1c20.

线面平行(lα)

lαaua·u0a1a3b1b3c1c30.

线面垂直

lαauakua1ka3b1kb3c1kc3.

面面平行

αβuvukva3ka4b3kb4c3kc4.

面面垂直

αβuvu·v0a3a4b3b4c3c40.

[题点通关]

 角度一 证明平行问题

1.

如图,在四棱锥O­ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCDOA2MOA的中点,NBC的中点.利用向量方法证明:直线MN平面OCD

[证明] APCD于点P

连接OP如图分别以ABAPAO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

PDO(002)M(001)N.

设平面OCD的一个法向量为n(xyz)

n·0n·0

zn(04)

因为·n·(04)0

所以nMN平面OCD所以MN平面OCD

 角度二 证明垂直问题

2.如图,在三棱锥P­ABC中,ABACDBC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC8PO4AO3OD2.

(1)证明:APBC

(2)若点M是线段AP上一点,且AM3.试证明平面AMC平面BMC.

[证明] (1)如图所示O为坐标原点以射线ODy轴正半轴射线OPz轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.

O(000)A(030)

B(420)C(420)P(004)

于是(034)(800)

所以·(034)·(800)0

所以APBC.

(2)连接MBMC.(1)AP5

AM3且点M在线段AP

所以(450)

所以

·(034)·0

所以APBM

又根据(1)的结论知APBC

所以AP平面BMC于是AM平面BMC.

AM平面AMC故平面AMC平面BMC.

 [学生用书P360(独立成册)]

1.已知a(213)b(121),若a(aλb),则实数λ的值为(  )

A.-2              B.-

C.                                          D2

 D [解析] 由题意知a·(aλb)0a2λa·b0

所以147λ0解得λ2.

2.在空间直角坐标系中,已知A(123)B(2,-16)C(321)D(430),则直线ABCD的位置关系是(  )

A.垂直                                B.平行

C.异面                                    D.相交但不垂直

 B [解析] 由题意得(333)(111)所以=-3所以共线没有公共点.所以ABCD

3.已知a(2,-13)b(14,-2)c(75λ),若abc三向量共面,则实数λ等于(  )

A.                                      B9

C.                                          D

 D [解析] 由题意知存在实数xy使得cxayb

(75λ)x(213)y(142)

由此得方程组

解得xy所以λ.

4.在空间四边形ABCD中,·+·+·=(  )

A.-1                                  B0

C1                                         D.不确定

 B [解析] 如图

abc

···a·(cb)(ac)(ba)a·ca·bb·ab·cc·bc·a0.

 

5.

5.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB2EPB的中点,cos〈,〉=,若以DADCDP所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(  )

A(111)                        B

C.                              D(112)

 A [解析] P(00z)

依题意知A(200)B(220)E

于是(00z)

cos〉=.

解得z±2由题图知z2E(111)

6(2017·唐山统考)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a,点MAC1上且=1NB1B的中点,则||(  )

A.a                                  Ba

C.a                                      Da

 A [解析] D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz

A(a00)C1(0aa)

N.M(xyz)

因为点MAC1上且所以(xayz)(xayaz)所以xayz.

所以M所以||

= a.

7.在空间直角坐标系中,点P(1,,),过点P作平面yOz的垂线PQ,点Q在平面yOz上,则垂足Q的坐标为________. 

[解析] 由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影

所以垂足Q的坐标为(0,,)

[答案] (0,,)

8.在空间直角坐标系中,以点A(419)B(10,-16)C(x43)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为__________

[解析] 由题意知(623)

(x436)

·0||||可得x2.

[答案] 2

9.已知2ab(0,-510)c(1,-2,-2)a·c4|b|12,则以bc为方向向量的两直线的夹角为________

[解析] 由题意得(2abc01020=-10.

2a·cb·c=-10又因为a·c4所以b·c=-18

所以cosbc〉==-

所以〈bc〉=120°所以两直线的夹角为60°.

[答案] 60°

10.已知空间四边形OABC,点MN分别是OABC的中点,且=a,=b,=c,用abc表示向量=________. 

[解析] 如图所示

()[()()](2)()(bca)

[答案] (bca)

11.

如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点EFG分别是ABADCD的中点,计算:

(1)·;

(2)EG的长.

[] abc.

|a||b||c|1,〈ab〉=〈bc〉=〈ca〉=60°

(1)ca=-a

··(a)a2a·c.

(2)abacb

=-abc

||2a2b2c2a·bb·cc·a||.

12.已知空间三点A(023)B(216)C(1,-15)

(1)求以ABAC为边的平行四边形的面积;

(2)|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.

[] (1)由题意可得:

(213)(132)

所以cos〉=

.

所以sin〉=

所以以ABAC为边的平行四边形的面积为

S2×||·||·sin

14×7.

(2)a(xyz)

由题意得

解得

所以向量a的坐标为(111)(111)

13.有下列命题:

①若pxayb,则pab共面;

②若pab共面,则pxayb

③若=xy,则PMAB共面;

④若PMAB共面,则=xy.

其中真命题的个数是(  )

A1                                     B2

C3                                         D4

 B [解析] 正确中若ab共线pa不共线pxayb就不成立.正确.中若MAB共线P不在此直线上xy不正确.

14.已知e1e2是空间单位向量,e1·e2=,若空间向量b满足b·e12b·e2=,且对于任意xyR|b(xe1ye2)||b(x0e1y0e2)|1(x0y0R),则x0________y0________|b|________

[解析] 对于任意xyR|b(xe1ye2)||b(x0e1y0e2)|1(x0y0R)说明当xx0yy0|b(xe1ye2)|取得最小值1.

 |b(xe1ye2)|2|b|2(xe1ye2)22b·(xe1ye2)|b|2x2y2xy4x5y要使|b|2x2y2xy4x5y取得最小值需要把x2y2xy4x5y看成关于x的二次函数f(x)x2(y4)xy25y其图象是开口向上的抛物线对称轴方程为x2所以当x2f(x)取得最小值代入化简得f(x)(y2)27显然当y2f(x)min7此时x21所以x01y02.此时|b|271可得|b|2.

[答案] 1 2 2

15.

如图,已知AB平面ACDDE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,ADDE2ABFCD的中点.

(1)求证:AF平面BCE

(2)求证:平面BCE平面CDE.

[证明] (1)ADDE2AB2a建立如图所示的空间直角坐标系Axyz

A(000)C(2a00)

B(00a)D(aa0)

E(aa2a)

因为FCD的中点

所以F.

(aaa) 

(2a0a)

因为()AF平面BCE

所以AF平面BCE.

(2)因为(aa0)

(002a)

所以·0·0

所以AFCDAFED

CDDED所以AF平面CDE.

AF平面BCE所以平面BCE平面CDE.

16.如图,正三角形ABC的边长为4CDAB边上的高,EF分别是ACBC边的中点,现将ABC沿CD翻折成直二面角A­DC­B

(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;

(2)在线段BC上是否存在一点P,使APDE?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.

[] (1)AB平面DEF理由如下:

ABC

EF分别是ACBC的中点

EFAB

又因为AB平面DEFEF平面DEF

所以AB平面DEF.

(2)以点D为坐标原点直线DBDCDA分别为x轴、y轴、z建立空间直角坐标系(如图所示)

A(002)B(200)C(020)E(0,,1)(0,,1)

假设存在点P(xy0)满足条件(xy2)

·y20

所以y.

(x2y0)(x2y0)

所以(x2)(2y)=-xy

所以xy2.

y代入上式得x

所以

所以在线段BC上存在点P使APDE此时.

 

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