几何是初中数学中非常重要的内容,尤其是近几年中考题更注重考察图形的变换,如平移、旋转、翻折等,一般会在压轴题中出现,而掌握常见几何模型将有助于学生理清思路、节省大量时间。在平时教学过程中,若能抓住基本图形,举一反三,定能引领学生领略到“一图一世界”的风采.本文就中考常见的半角模型(1)——直角半角模型加以概括. 原型再现 【条件】如图1,在正方形ABCD中,已知E、F分别是边BC、CD上的点,且满足∠EAF=45°,AE、AF分别与对角线BD交于点M、N,AH⊥EF于点H. 结论推导 上图,是近几年中考中常见基本图形之一,在此将其简称为“半角模型”,主要考察图形基本变换中的旋转变换,仔细研究发现此图蕴含了多条结论,现列举几条: 【结论1】BE+DF=EF. 简析:此结论是半角模型中最基本的结论,可以利用旋转法进行证明: 如图2,将∆ADF绕点A顺时针旋转90O得到∆ABF’,然后证明∆AEF≌∆AEF’即可; 由结论1不难推出以下三个结论: 【结论2】C∆ECF=2AB; 【结论3】S∆ABE+S∆ADF=S∆AEF; 【结论4】AH=AB.
【结论5】BM2+DN2=MN2. 简析:此结论仍可采用旋转方式加以说明,如图3,将∆ADN绕点A顺时针旋转90O得到∆ABN’,连接MN’,并证明∆AMN≌∆AMN’,易知∆BMN’为直角三角形,然后利用勾股定理即可推出结论; 【结论10】A、M、F、D四点共圆(圆心为线段AF中点),A、B、E、N四点共圆(圆心为线段AE中点),M、N、F、C、E五点共圆(圆心为线段EF中点). 【结论11】取EF中点G,则∆GMN为等腰直角三角形,且MG‖BC,NG‖DC. 如图7,连接NE、MF,再结合结论9、10可推出此结论. 【结论12】过点E作EP⊥BC交BD于点P,过点F作FQ⊥CD交BD于点Q,如图8,则点N为线段DP中点,点M为线段BQ中点. 此图是一个非常经典的几何模型,所能推导的结论远不止这些,有待补充和完善. 经典例题 例1.(2016徐州)如图,正方形ABCD的边长为2,点E、F分别在边AB、CD上,∠EBF=45°则△EDF的周长等于____________。 简解:有结论2可知C∆EDF=2AB=4. 例2.(2016西宁)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.若AE=1,则FM的长为______. 例5.(2014淮安)如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒. (1)、(2)题略 (3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值. 七年级数学微课(点击可收看): 八年级数学微课:(点击可收看) 九年级数学:(点击可收看) |
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