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独立思考是突破颜值文化的唯一出路 古哥古点 2015年11月30日 《悬垂的绳子》 麦当劳曾被传出打算改名为金拱门，然而这两个拱门的曲线却是可以写出方程的。从古罗马时期的凯旋门到中世纪的教堂拱顶，建筑师们采用的很多都是同一条曲线。它坚固轻盈，堪称最佳的拱门外形。如果有人对这条曲线不熟悉的话，没关系，把它反过来看就一定不会感到陌生，因为它就是一条再寻常不过的悬链线。（Catenary） 悬链线顾名思义，就是把一根质量均匀的链条或绳索的两端悬挂起来之后自然垂下形成的曲线。人们早就注意到了这类曲线的存在，但直到17世纪才开始认真的探求这一曲线准确的数学表达形式。悬链线最标准的形态是把两端固定在等高度的两点后形成的，大家对此司空见惯，但是悬链线究竟是什么类型的曲线呢？ 很多人或许从直观上会预测它是一条抛物线，因为看起来的确很像，就连最早提及该问题的物理学家伽利略也一度是这么认为的。在1638年他所撰写的《两个新科学》（TwoNew Sciences）一书中，伽利略提到悬链线可能就是一条抛物线。他在描述如何绘制这样的曲线时写道：“另一个方法是在墙上钉两个钉子保持相同的高度，在其上悬挂一根链条，它将被假定为具有抛物线的形态。”通过观察，伽利略进一步正确的指出当悬链线拉伸的越扁平时，即曲率越小时，它与抛物线越难以区分。和伽利略同时期的笛卡尔（ReneDescartes）也有类似的猜测。笛卡尔的朋友皮克曼（Beeckman）曾向他提出过关于悬挂绳索的问题，笛卡尔在自己的笔记中注释说它们可能是某种圆锥曲线。显然，封闭的椭圆不会是候选者，笛卡尔是把开放型的抛物线和双曲线都放进了怀疑名单，但他的猜想也仅止于此，没有材料表明他在这个问题上有过继续的探讨。此后几十年间，几位数学家使用不同的方式各自证明了悬链线并不等同于抛物线。1646年，荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯（ChristiaanHuygens）在与梅森（Marin Mersenne）的通信中给出了自己颇有想象力的证明方法。当时的他还没有微积分工具可用，就在悬链上加挂了一串虚拟小球来凸显载荷分布的影响，并且用这种土办法证明了如何改变真实世界中并不存在的绳子自重分布才能得到一条想要的抛物线。1673年耶稣会神父帕蒂斯（Ignace-GastonPardies）和1669年德国数学家约阿海姆·永弟（Joachim Jungius）也分别证明了悬链线不是抛物线的结论。相比较而言，帕蒂斯的证明最为优雅，他使用了一个有趣的推论，悬链线上两切线的交点应该恰好通过整根线条的重心。这里可能有一个疑问，参加过高中物理奥林匹克竞赛的人一定会有印象，在训练题目中就有计算悬链线方程的问题，而其标准答案正是一条抛物线。这是怎么回事呢？因为在标准解法中，从绳索的微元静力分析可以非常容易的推知悬链曲线方程的二阶导数等于一个常数λg/T，T是绳索的分布拉力，λ是质量的线密度，由此方程的解当然是一条抛物线。但这种解法存在着一个假设前提，即一段绳子的质量不是正比于它的长度而是正比于它在水平方向的投影长度。这个假设至关重要，它大大简化了推导复杂度，让微元运算一下子就凑出二阶导数形式。不过这只能是一种近似，绳段总长度当然不等于投影长度，两者误差只有在线条非常扁平时才相对较小。这就是伽利略所观察到的情况，从这个角度来说我们的大伽利略只遗憾的弄错了一点点。也正因为如此，在桥梁建筑设计中，悬索桥的曲线计算总是是介于抛物线和悬链线两种形态的方程之间。如果桥板本身重量远大于悬索自重，则可认为悬索负载绝大部分集中在水平投影方向上，此时用抛物线模拟的精度是足够的。如果分析的是简易悬索桥，桥身很轻，重量远不及悬索自重，则应该视其曲线为标准悬链线。 永弟证明（Robert Hooke）悬链线不是抛物线的两年后，大名鼎鼎的罗伯特·胡克（Robert Hooke）出场了。这位以建立弹性定律而闻名的科学家一生科学发现甚多，但是他却是一个脾气极差的人，不仅容易狂躁，而且对同行们充满了警惕和嫉妒心，比如他和牛顿就曾因为引力平方反比规律的首先发明权而争吵不休。胡克特别喜欢使用一种叫做“置换”（anagram）的密码技巧。所谓置换就是文字的重排游戏，把一句话的字母重新打乱排序后变成另一句含义完全不相干的话，以起到加密作用。在十七世纪，这样的加密做法非常普遍，伽利略等很多名人都常常这么做，有时是为了对付教会的迫害，有时则是为了故意隐藏自己的学术发现。这样，当后来者做出相同的成果后，前面的人就会拿出置换密语加以解密后证明自己早已完成有关研究，以此来消遣对方。胡克的弹性定律发表时就是用置换密语写下的，在悬链线计算问题上他也玩了这么一手。当时，身兼多职的胡克要为圣保罗大教堂的修缮计算拱顶形状，他宣称自己已经彻底在数学和力学方面解决了最佳拱顶的外形问题。几年后，他发表了这一成果，只是相关内容是用隐文写下的。一直到1705年胡克死后，他的遗嘱执行人才公开了他此前写下的话，明文意为“最佳的拱形曲线就是把自由悬挂线给反过来。” 胡克并没有用解析形式给出悬链线表达，完成这一任务的是稍后的惠更斯、莱布尼兹（Gottfried WilhelmLeibniz）和他的学生约翰·伯努利（Johann Bernoulli）。约翰·伯努利和他的哥哥雅克布·伯努利（Jakob Bernoulli）都是伯努利家族的数学奇才，约翰的早期数学功课还是雅克布辅导教授的。但随着约翰的成长，兄弟之间开始出现竞争的气氛，彼此经常互相出难题挑战对方，这也是当时欧洲的学术圈子热衷的智力竞赛形式。不过这兄弟俩实在太过投入，到1697年他们的关系因这种竞赛而濒临崩溃。在1690年，雅克布公布了一道挑战题目即计算自由悬垂的绳子形状。当时，伯努利兄弟都不知道已经有人证明了抛物线不同于悬链线的结论。雅克布一心想着利用抛物线作为基础来推导悬链线的方程，这当然是毫无可能的，在苦思无计的情况下，雅克布就把这一题目以挑战形式加以发表。一年后，弟弟约翰和莱布尼兹以及前面提到过的惠更斯都对该挑战给出了正确的解答。人尽皆知，莱布尼茨和牛顿因为微积分的发明权争的不可开交，作为莱布尼兹的学生，约翰·伯努利也全力支持自己的老师。不过，在悬链线计算问题上，师徒两人却似乎走了迥然不同的两条路径。莱布尼茨并没有利用自己发明的当时还显得模糊的微积分作为工具加以计算，反而使用的是传统的尺规作图法。他利用两条不等长的随机线段作为元素反复进行尺规操作，在坐标图上绘制出一系列的点且不断加密，最后这些点集构成的就是一条悬链线。今天可以证明，当这两条随机线段的长度比值是一个特定常数时，莱布尼兹是正确的，他绘制的点的确分布在悬链线上。人们非常好奇，莱布尼兹神奇的大脑当初是如何想到这种古怪方法的，其思想的驱动源头在哪里？可惜的是，以现有的资料来看已经无从得知，唯一的可能推断是他从悬链线会把自己的分布等效重心放置的尽可能低这一理念出发完成了尺规作图设计。 惠更斯和莱布尼茨当初的解法示意图 相比之下，约翰·伯努利对微积分的运用至少在这一题目上更加熟练，他正确的给出了悬链线的解析形式。悬链线是一条双曲余弦曲线，双曲余弦就是指数曲线e的x次方和其对偶曲线e的-x次方的平均曲线。在约翰·伯努利时期还没有出现双曲三角函数这样的术语，甚至连e的定义也是由他的哥哥雅克布完成的，所以约翰给出的方程只是一个正确的微分形式，但这已足以让他认识到悬链线是一条超越曲线，而不是他哥哥雅克布苦苦追求的抛物线。至于已经在悬链线问题上盘桓已久的惠更斯，这次依然受制于数学工具的限制而未能写出曲线方程，但是他列出了大量的关于悬链线的数学推论，显示他确实对这条曲线有了充分的掌握。惠更斯、莱布尼兹和约翰·伯努利三人相比，当然要属约翰的解最为彻底。 悬链线有许多奇妙的地方，比如说著名的正方形车轮游戏。如果古代人把车轮设计成了正方形，那坐车的人肯定要受罪了，因为在平坦路面上滚动的正方形，其中心会时刻发生高度的改变。有个聪明的犟眼子，他不愿意用车轮就乎路面，把轮子改回简单的圆，而是打算用路面就乎轮子，让道路波浪起伏以保证每一时刻正方形的中心都会因路面高度的补偿而维持在同样的水平线上。能不能做到呢？能，只要让波浪线符合一段一段的悬链线方程，正方形车轮一样可以在这样膈应的路面上畅通无阻。其实，这个结论可以拓展到任意正多边形车轮，它们要保持平稳行驶，路面都得是精心拼接的悬链线段。 只要路面设计成恰当的悬链线波浪，正方形车轮也可以平稳骑行 神奇之处还不止于此。如果把指数曲线e的x次方看成一面弯曲的镜子，让无数条平行光线从正上方照射到这一曲线镜面上经过反射后向外飞出。当把所有的反射线条全都绘制出来以后，反射光的包络线也就是反射光所能照亮区域的边界就是一条悬链线。前面提到的伯努利兄弟在最速降线问题上曾做出过突出贡献。所谓最速降线就是任取空间中一高一低的AB两点，假设在AB间搭建一条任意形状的绝对光滑的轨道，让小球从A点滑下沿轨道来到B点。在所有的可能路径中，使小球用时最短的那条路线就被称为最速降线。最速降线问题的研究草图看起来很像一条条悬挂的绳索，或许伯努利兄弟正是从此由最速降线问题分支到了对悬链线的研究也说不定。对于最速降线问题，我们会在以后的节目中专门介绍，这里只给出结论，最速降线就是一条摆线。所谓摆线是在一个半径为R的圆周上标记一个点P，当该圆沿着平坦地面无滑滚动时，P所划过的空间轨迹就是摆线。这种以定点运动轨迹表示曲线的方法非常形象，受到人们的喜欢，被称作旋动线（roulette）。人们发现悬链线也属于这样的旋动线。它的旋动方式刚好要用到它的近亲抛物线，当一个抛物线外形的车轮沿着平坦路面无滑滚动时，其焦点经过的轨道恰好就形成了一条悬链线。 如果把自由吊挂形成的悬链线连同其最低点下方的水平X轴竖立起来，然而让竖直的悬链线围绕竖直的x轴旋转一周，这样扫掠而成的曲面叫做悬链面。大家可能都听到过那个有名的关于悬链面的例子。把两个等半径的铁丝圆环一上一下排列伸入肥皂水当中，轻轻拉开两圆环的间距扯出一张肥皂膜出来。肥皂膜自然张成的弯曲表面就是悬链面。之所以会如此是因为皂膜在表面张力作用下会形成最小曲面，悬链面刚好是这一边界条件下的最小曲面。这一结论在1776年第一次由欧拉加以证明。不过，这个广为流传的说法有一个细小的瑕疵。所谓最小曲面并不等同于表面积最小的曲面。严谨的说，最小曲面是一个局部定义而非全局概念。它指的是在一个曲面上，如果任意一点的邻域范围都处在表面积最小状态，则该曲面就被称为最小曲面。现在已经发现，在相同条件下有可能存在多个最小曲面。此时如果用总表面积最小作为一种限定就得排除掉一些最小曲面，显然这是不符合定义的。即使是双圆环皂膜这个经典例子也可以发现在有些参数条件下，两圆环皂膜如果直接限缩为上下两个圆，其总面积有可能比悬链面更小，但这样的两个分开的圆面却并非最小曲面。 肥皂膜随着间距的拉开变得越来越向内凹陷 在几何上，最小曲面有一个常用的等价定义，就是平均曲率处处为零的曲面。平均曲率该怎样理解呢？还是回到双圆环皂膜实验。当两圆环间距很小时，此时的皂膜在腰部向内弯曲的量很少，整体近似为一个圆柱面。随着圆环的拉开，皂膜腰部向内凹陷的程度越来越深，这就是平均曲率在发挥作用。悬链面的横截面是一个个的圆，其侧向剖面，也就是数学上说的母线是一条悬链线。当圆环间距拉开时，从两侧向中心，截面圆的半径迅速变小，也可以说这一横向曲率在快速变大，这一维度的弯曲越来越厉害。为了保证平均曲率为零，另一个维度的母线曲率也必须同步增加，这样才能从相反方向用同等强度抵消横向曲率的增长。母线和横截圆就像经纬线编织在一起，他们的曲率同步增减，始终维持着零和博弈，其结果就是观察者看到的肥皂膜演变规律。 前一段时间，关于悬链线还闹出了一个不大不小的新闻。执着的陕西岐山县农民傅可一从70年代开始就醉心于研究悬链线方程。据说，他是1975年有一次在工厂生活区门口准备看电影时，看到了一长串彩灯激发了灵感，从此孜孜以求。多年间，他和陕西一些高校的数学老师通信，争取他们对其研究结果的认可。尽管有不少专业数学研究者肯定了其方程的正确却否定了其重复研究的意义，他还是在苦苦坚持。最终他被媒体发现而遭到一轮热捧，在《中国报告文学》2015年第二期上，专门有一篇名为《数学界又一里程碑》的文章对其进行了盛赞。部分媒体的溢美之词听完之后真的令人恨不得自己把自己挂在悬垂链上。任何对知识的渴望都值得被称赞，但如果真想进入严肃的数学研究领域，系统性的预先学习是不可避免的，恐怕这个过程也会是艰难而枯燥的。自从200多年前人们找到了悬链面这第一个最小曲面后，现代数学界对最小曲面的认知已经越来越深入，许多稀奇古怪的带有大量折叠和孔洞的最小曲面被不可思议的找到，最小曲面理论也已经推广到流形层面。这其中和这背后仍大有可为，但在施展之前，需要认真的沿着前人的轨迹好好走一遍。或者，不想往深度发展，也可以做一些严谨的实验性工作。前面提到过，拱和悬垂链一个承受压力一个承受拉力，构成了对称的两大形态。既然绳索在自然承拉时会形成悬链线，与之对称的拱结构在承压时就被认为是优化的，古代建筑师们早已经在实践中这样做了。对这个一直以来的结论，巴塞罗那建筑学院的团队就不愿意轻信。 桂尔宫大门轮廓线拟合情况。红色为悬链线，绿色为抛物线，浅蓝色为正圆，深蓝色为双曲线。可以看到，任何类型的曲线吻合度都不算完美 他们对大量的建筑拱门进行了实地测量和数据拟合，想看看有多少例子符合抛物线外形，有多少例子使用的真是悬链线。结果证实，采用抛物线、悬链线外形的拱门实例都有不少，还有一些竟然更匹配于双曲线，就像笛卡尔的猜测一样。至于和任何已知曲线都不搭的四不像的例子也存在，巴塞罗那桂尔宫（PalauGüell）的大门就是如此。这也许是施工工人在建筑时带来的偏差，但更有可能是设计师的故意而为。毕竟人不是垂下的绳子，人是可以有自由意志的。这种平淡的验证和较真儿的劲头看起来琐碎，但它其实是支撑观念进步的真正的金拱门。 |
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