那些你不会做的小学题：小升初考点汇总——几何图形

小升初考点汇总——几何图形面积10大常考题型及解法！

原标题：小升初考点汇总——几何图形面积10大常考题型及解法！

几何图形面积，是小升初考试中分数占比非常大的模块，同时也是初中、高中学习的重点和难点。很多同学听到几何图形求解的问题就倍感头疼，今天大树老师从历年真题中汇总整理了10大常考题型，为大家梳理常见题型及解题方法，太全了，建议家长为孩子收藏！

1.公式法

✦ 公式法：基本图形的面积求解公式

❶求阴影部分的面积。

解析：阴影部分的面积=AB×EF÷2

❷求阴影部分的面积。（12年山大附真题改编）

解析：阴影部分的面积=2×4÷2=4

❸如图所示，长方形的长是10厘米，宽是7厘米，求阴影部分的面积。（05济外真题改编）

解析：阴影部分是一个平行四边形，根据公式，找到底和高直接求解阴影部分的面积即可：阴影部分的面积=2×10=20（平方厘米）

2.概念法

✦ 概念法：根据基本图形的基本概念进行判断并求解

❶一个三角形，三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米，求解三角形的面积。

解析：由三角形的三条边可知该三角形是一个直角三角形，其中6和8分别是直角三角形的两条直角边，则直角三角形的面积直接用公式求解即可：6×8÷2=24（平方厘米）

❷已知某平行四边形的长边和短边的长度分别是5厘米和3厘米，又知道以某一条边为底的高为4厘米，求平行四边形的面积。

解析：平行四边形的高不会超过平行四边形的边长，由此可以判断这个4厘米的高应该是以3厘米的边为底。所以平行四边形的面积为：3×4=12（平方厘米）

3.加减法

✦ 加减法：相加求整，相减求部分

❶求解图形的面积。（10年山大附真题改编）

解析：图形的面积等于半圆的面积+正方形的面积

即：π(4÷2)2+4×4=2π+16

❷如图所示，三个半径为1的小圆，求阴影部分的面积。

解析：三个阴影扇形的半径相等，如果把它们三个拼接在一起圆心角就是180°，直接求一个半圆的面积即可。

即：π×12=π

❸求解阴影部分的面积。（正方形的边长为4）

解析：阴影部分的面积=正方形的面积-中间圆的面积

即：4×4-π(4÷2)2=16-4π

❹求解图中阴影部分的面积。

解析：要求阴影面积可以用三角形的面积减去扇形的面积，如图所示：S阴=S∆ABC-S扇ACD

❺求解图中阴影部分的面积。（15年济外真题）

解析：要求阴影面积可以用四分之一扇形的面积减去半圆的面积，如图所示：S阴=S扇ABD-S半圆AB

4.分割法

✦ 分割法：将整体分割成若干个规则的多边形

❶求解下面图形的面积。

解析：如图所示，我们可以将原图形分割成一个长方形和一个三角形进行求解（切割方式有多种，合理即可）。

面积=10×30+（40-10）×（30-15）÷2=525

❷求解图中阴影部分的面积。（12年山大附真题改编）

解析：如图所示，将阴影部分分割成三个三角形，根据三角形的基本面积公式即可求解。（方法不唯一）

（6-4）×6÷2+（6-4）×4÷2+4×4÷2=18

5.割补法

✦ 割补法：将一部分割补到图形中的另一个地方组成较规则的图形进行求解

❶求解图中阴影部分的面积。（对称割补）（13山大附真题改编）

解析：如图所示，将右侧弓形的阴影补到左侧弓形部分，整个阴影就成了一个三角形，直接求解三角形的面积就是阴影面积的总和。

面积=10×（10÷2）÷2=25

❷求图中阴影部分的面积。（对称割补）

解析：如图所示，将左侧的叶状阴影分割成两部分，将其中一部分割补到右侧黄色部分，整个阴影就可以通过求解三角形的面积进行求解。

❸求不规则图形的面积。（全等割补）

解析：如图所示虚线的表示，我们将不规则图形的上半部分切割之后拼接在右边，整个图形就变成了一个长方形，直接求解长方形的面积即可。即：（10+10）×5=100

或者如下图所示的虚线，将左侧小三角形割补到上边的小三角形中，整个图形就变成了平行四边形，即：10×10=100

❹求图中阴影部分的面积。（全等割补）

解析：如图所示，将阴影分割出一个小三角形割补到图中黄色部分，这样整个阴影就成了一个小正方形。

❺求图中阴影部分的面积。（全等割补）

解析：如图所示，将上侧的阴影割补到图中黄色部分，这样整个阴影就成了一个小长方形进行求解。

❻求图中阴影部分的面积。（平移割补）

解析：如图所示，将阴影部分通过平移拼接在一起，就正好组成一个正方形，直接求解正方形的面积即可。

❼求图中阴影部分的面积。（平移割补）（12稼轩真题改编）

解析：将上侧阴影向下平移到下面空白部分，整个阴影就组成一个大的长方形，直接求解长方形的面积即可。

❽求图中阴影部分的面积。（旋转割补）

解析：如图所示，将左半部分绕B点旋转，组合成一个大的半圆，然后用半圆的面积减去中间三角形的面积即可求出阴影部分的面积。

❾求图中阴影部分的面积。（旋转割补）

解析：通过对原图的分析，AC和BD为长方形ABCD的对角线，EF是过O点的一条线段，所以三角形BFO的面积等于三角形DEO的面积。如下图所示，将左下角的阴影部分绕O点旋转到右上空白部分，整个阴影就组成一个大的三角形，三角形的面积正好等于长方形面积的一半。

6.等量代换法

✦ 等量代换法：如果图中有和所求部分面积相等的图形，可以通过先求该图形的面积间接求出所要求部分的面积。

❶如图所示，两个完全一样的三角形重叠放在一起，求图中阴影部分的面积。

解析：两个三角形是完全一样的，去除重叠部分剩余部分的面积也应该是相等的，所以梯形阴影部分的面积应该等于下侧梯形的面积。

即：阴影面积=（12-4+12）×2÷2=20

❷求图中阴影部分的面积。

解析：图中长方形和平行四边形等底等高，所以平行四边形的的面积和长方形的面积是相等的，重叠部分的面积也是相等的，所以剩余部分的面积也是相等的，只需要求出长方形中梯形的面积即可求出图中阴影部分的面积。

即：（2+6）×3÷2=12

❸下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（12山大附真题改编）

解析：如图所示，连接EC，四边形ACEB是一个梯形，且AB和EC平行，梯形中的蝴蝶模型，三角形AOC的面积和三角形BOE的面积是相等的。这样通过代换的方法直接求解三角形ABE的面积即可。（方法不唯一）

即：6×6÷2=18

7.重组法

✦ 重组法：将所求部分打乱重新组合。

❶求解图中阴影部分的面积（正方形的边长为4）。（15济外真题改编）

解析：如图所示，我们将图中阴影部分重新组合，阴影部分的面积应该等于正方形的面积减去中间圆的面积。（解法不唯一）

即：阴影部分面积=4×4 -（4÷2）2π=16-4π

❷如图所示，求阴影部分的面积（14济外真题改编）

解析：阴影部分都是半径为1的扇形，单个求解我们不知道各个扇形的圆心角所以无法求解，我们不妨整体来看，既然它们的半径相同，将它们拼接在一起之后圆心角正好等于三角形的内角和，即180度，所以三个小扇形正好拼接成一个半圆形，求解半圆形的面积即可。

即：阴影部分的面积

❸已知图中各圆的面积均是314，求阴影部分的面积。（π取3.14）（13稼轩真题）

解析：如下图所示将图中阴影我们可以拆分成四部分再重新拼接，正好可以将一个正方形包裹。要求阴影部分的面积只需要用小正方形的面积减去中间圆的面积即可。

即：314÷3.14=100，则圆的半径为10，所以正方形的面积是20×20=400，则阴影部分的面积是400-314=86.

8.倍比法

✦ 倍比法：通过边长之间的倍数关系求解面积之间的倍数关系。

❶求解图中阴影部分的面积。（14山大附真题改编）

解析：如下图所示，图中阴影如果补全的话正是我们常见的谷形，只要求出谷形的面积再求一半就是本题的结果啦。

❷如图所示，已知阴影部分的面积是7.5，求空白部分三角形的面积。

解析：阴影部分三角形和空白部分三角形的高是相等的，空白部分三角形的底是阴影部分三角形底的3倍，所以空白部分三角形的面积是阴影部分三角形面积的3倍，所有空白部分三角形的面积是7.5×3=22.5

❸已知梯形的上底是2，下底是5，三角形AOB的面积是2，求三角形COD的面积。（15年稼轩真题改编）

解析：根据梯形中蝴蝶模型的性质S∆AOB：S∆DOC=AB2:DC2，即2:S∆DOC=22:52，所以S∆DOC=12.5

❹如图所示直角三角形的面积是4，直角三角形短边b的长度是长边长度的四分之一，求正方形的面积。

解析：从三角形短直角边和长直角边的倍数关系可以发现，三角形的面积是正方形面积的八分之一，所以正方形的面积是4×8=32

❺如图所示，求不规则图形的面积。（10年稼轩真题改编）

解析：如下图所示，在不规则图形的右边补全一个完全一样的图形，整个图形就是一个长方形，用长方形的面积除以2就是原图不规则图形的面积。

长方形的长是8+5=13，长方形的宽是5，长方形的面积是13×5=65，则不规则图形的面积是：65÷2=32.5

9.差不变法

✦ 差不变法：A-B=（A+C）-（B+C）

❶下图中三角形ABC 是直角三角形，阴影①的面积比阴影②的面积少18 平方厘米，求三角形ABC的面积。

解析：如图所示，将空白部分标注为③，S②-S①=18，那么（S②+S③）-（S①+S③）=18，S②+S③是大三角形的面积，S①+S③是半圆形的面积，即S∆ABC-（20÷2）2π=18，算出S∆ABC=18+50π

10.整体法

✦ 整体法：在求解过程中没必要一定求出某一个具体的量，只需要知道某一个计算过程的整体也是可以求出面积的。

❶如图所示，正方形的边长正好等于圆的半径，已知正方形的面积是3，求圆形的面积。

解析：如果根据正方形的面积求圆的半径，对于小学的孩子是求不出来的，但是我们在求圆的面积的时候需要的是πr2，也就是说我们只需要知道半径的平方是多少一样可以求出圆的面积，而半径的平方正好等于正方形的面积。所有圆的面积=πr2=3π

❷图中阴影部分的面积是50 平方厘米，求圆环的面积。

解析：大圆的半径用R表示，小圆的半径用r表示，环形的面积公式为π（R2-r2），但是大圆和小圆的半径都不知道。阴影部分的面积无法直接求解，环形的面积也无法直接求解，这就需要我们做一个过渡，大圆的半径为R，小圆的半径为r，则图中阴影部分的面积就是：大三角形的面积-小三角形的面积=R2 ÷2-r2÷2=50，而环形的面积公式为π（R2-r2），则环形的面积为：π（R2-r2）=100π

综上所述，几何的求解方法有多种，但是法无定法，以上所有题目的解答方法可能有多种，所有的题型在我们各年级的对应章节都会有接触到，所以大家需要不断学习并不断总结，总结方法的同时也不要太拘泥，和老师一起开动你们的小脑袋来探究吧！