初中数学：《一次方程（组）》知识大盘点

本篇主要讲解未知数的最高次数是1次的方程（组），包括一元一次方程和二元一次方程（组），先讲“双基知识”，然后举例评析，最后是从2018年的各地中考卷上，精选7道中考题型加以练习，请认真学习.

【考点1】等式的性质在解方程中的应用

1、等式两边同时加上相等的数或式子，等式仍然成立：若a＝b，则a±c＝b±c.

2、等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，则a/c=b/c(c≠0).

3、等式还具有对称性和传递性，即：若A=B，则B=A；若A=B，B=C，则A=C.

4. 等式两边同时乘方（或开方,但要保证式子有意义）,两边依然相等，例如：若a＝b，则a^2＝b^2；若a＝b，则√a=√b（a≥0，b≥0）

【考点2】一元一次方程及其解法

1、一元一次方程

①定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1（系数不为0）的整式方程；

②一般形式：ax+b=0（a≠0），最简形式：ax=b（a≠0）.

2、解一元一次方程的一般步骤

①去分母：不要漏乘常数项；

②去括号：括号前是负号时，去括号后，括号内各项均要变号；

③移项：移项要变号；

④合并同类项；

⑤系数化为1.

【考点3】二元一次方程（组）及其解法

1、概念

二元一次方程：方程含有两个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程；

二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组；

2、二元一次方程组的解法

①代入消元法．

第一步：从方程组中找出或者由已知方程转化为“y＝kx＋b”或“x＝my＋n”的形式；

第二步：将方程“y＝kx＋b”或“x＝my＋n”代入另一个方程，消去—个未知数；

第三步：解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值；

第四步：将所得未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；

第五步：得出结论．

②加减消元法．

第一步：变形—使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等；

第二步：消元—将两个方程的左右两边分别相加或相减，消去一个未知数；

第三步：解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值；

第四步：将所得未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；

第五步：得出结论．

【考点4】一次方程(组)解实际问题的常考类型及关系式 （高频考点）

1、列方程（组）解应用题的一般步骤：

第一步：审，即审清题意，分清题中的已知量和未知量之间的关系；

第二步：设，即设出关键的未知数；

第三步：列，即找出适当等量关系列出方程；

第四步：解，即解方程（组）；

第五步：验，即检验所解答案是否正确或是符合题意；

第六步：答，即规范作答，注意单位名称.

2、一次方程（组）应用题的常考类型及关系式

①行程问题

相遇问题：总路程＝速度和×相遇时间，或者，总路程＝甲走的路程+乙走的路程

追及问题：追及路程＝速度差×追及时间

航行问题：顺水(风)速度＝船速＋静水(风)速度

逆水(风)速度＝船速－静水(风)速度

②工程问题

工作量＝工作效率×工作时间 ，解答时，常把整个工程看做单位“1”；

③利润问题

售价＝标价×折扣

销售额＝售价×销量

利润＝售价－成本＝进价×利润率

利润率＝利润/成本 ×100%

(折扣：商品购销中的让利打折，几折就是原价的十分之几)

【典例1】（2018舟山中考）用消元法解方程组

时，两位同学的解法如下：

（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”；

（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答.

【解析】（1）解法一中的解题过程有错误，由①－②，得-3x=3（而不是3x=3）；

（2）由①－②，得-3x=3，解得x=-1，把x=-1代入①得-1-3y=5，解得y=-2，∴原方程组的解为：

【点评】遇到解二元一次方程组时：1.当方程组中同一个未知数的系数相同或相反时，采用加减法较为简单；2.当系数不同也不相反时，可通过同乘系数的最小公倍数变成系数相同或相反，采用加减法较为合适；3.对于较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等）为一般形式，再根据方程特点消元处理；4.合并同类项、去括号、移项等整理时候，切记不要忘了改变符号.

【典例2】为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了5副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，则每副羽毛球拍和乒乓球拍各多少元．

分析：（找等量关系是重点）购买1副羽毛球拍的费用＋购买1副乒乓球拍的费用＝50；购买5副羽毛球拍的费用＋购买10副乒乓球拍的费用＝320．

解答：设每副羽毛球拍x元，每副乒乓球拍y元，由题意得，

解得

答：每副羽毛球拍36元，每副乒乓球拍14元．

【典例3】某小区为响应市政府提出的“建绿透绿”号召，购买了20棵银杏树和25棵玉兰树共花费了6900元．已知玉兰树的单价是银杏树的单价的1.5倍，则银杏树和玉兰树的单价各是多少？

分析：（找等量关系是重点）购买20棵银杏树的费用＋购买25棵玉兰树的费用＝6900；玉兰树的单价＝1.5×银杏树的单价．

解答：设银杏树的单价是x元，玉兰树的单价是y元，由题意得

解得

答：银杏树的单价是120元，玉兰树的单价是180元．

总结：解一次方程（组）实际应用题的核心是寻找等量关系列出方程，那么怎样寻找等量关系？应该从以下几个方面考虑：①在理解基础上熟记常见问题的逻辑关系，如经济问题、工程问题、行程问题等，根据它们内在的特征找等量关系；②根据公式来找等量关系，如周长、面积、体积等；③在有倍数、和差关系的应用题中，应抓住关键字词建立等量关系，这类题目中常有“一共是……”“比……多（少）”“是……的几倍（几分之一）”等；④找准单位“1”，根据“量率关系”找等量关系；⑤对于几何应用题，等量关系一般隐藏在图形的性质中，如矩形的对角线相等，正方形和菱形的四边相等.

让我们看看2018年各地的中考出现了哪些题型（后附答案）：

1、（2018天津）方程组

的解是_____________．

2、（2018淮安）若关于x、y的二元一次方程3x-ay=1有一个解是

，则a=_____________．

3、（2018枣庄）若二元一次方程组

的解为

，则a-b=___________．

4、（2018自贡）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别是2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为________、________个.

5、（2018天门）某公司积极开展“爱心扶贫”的公益活动，现准备将6000件生活物资发往A、B两个贫困地区，其中发往A区的物资比B区的物资的1.5倍少1000件，则发往A区的物资有________件.

6、（2018攀枝花）解方程

7、（2018长沙）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折.已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元.

（1）打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒分别为多少元？

（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒.问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?

答案：

1、

2、 4

3、 7/4

4、 10,20

5、 3200

6、x=-17

7、（1）打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒分别为70元和80元；

（2）节省了3120元.