三余/正弦定理在高考中的妙用——线面角最小，二面角最大

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文：朱成万，王红权

空间三类角即 两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角 是立体几何的核心内容，也是高考重点考查的内容之一，几乎在每一份数学高考试卷中都会涉及。

建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算，是求解空间三类角问题的常用方法． 但此法存在两个缺陷: 一是若图形不规则或不容易建立坐标系，则该法常常行不通; 二是运算量较大． 

运用“最小( 大) 角”定理和“三余( 正) 弦”定理，不仅关联了线线角、线面角和二面角，而且利用它解决立体几何中的三类角问题，不需要建立坐标系，运算量也很小。

01 线面角最小

结论1  线面角最小也常常表述为: 线面角是最小的线线角，意思是: 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中的最小者．

图1

图2

02  二面角最大

结论2  二面角最大也常常表述为: 二面角是最大的线面角，这句话的意思是: 对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值等于该二面角的平面角．

图3

图4

图5

把目标P 看作是静止的，相当于人在边AC 上运动

图6

03  三余弦定理

图7

图8

04  三正弦定理

图10

图11

图12

图13

参考文献：朱成万，王红权． 至精至简的数学思想方法

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