朱俊儿：从一个简单实验谈结构力学之美

摘要: 在这个计算机分析技术高度发展、计算成本急剧下降的时代，靠一支笔和几张纸推导一些公式并解释一个现象且抓住问题本质的年代似乎正在离我们远去。可每当看到这样的研究，我们总会发出'做得真是漂亮' 的感慨。本文将从一个简单的小实验出发，带读者回顾麻省理工学院Tomasz Wierzbicki 教授团队20 世纪80~90 年代在结构力学领域的相关工作，领略结构力学之美。

关键词: 力学，结构，美学

首先，我们请读者用身边最常见的材料做一个小实验。按照图1中的步骤：(1) 找一把锋利的剪刀、一张白纸以及一支笔；(2) 用剪刀在白纸上划出一个“凹” 型小缺口，宽度与笔直径相当，尽量规整，并将头部微微翻起；(3) 将笔头卡进小缺口中；(4) 用力快速把笔往前推！(5) 小心地将形成的褶皱展开观察。

图1 请读者做一个简单的小实验

刚开始可能需要多尝试几次，熟练的状况下会得到如图1 ⑤中的形状。这种漂亮的变形模式被称作“concertina tearing”，翻译成中文大致是“手风琴式撕裂”，是否非常形象？随后，请测量一下纸的撕裂口(“手风琴” 的边) 和推笔方向的夹角——是否在13°~14°之间？

一定是吧？但如果我们再告诉读者，这个角度和纸张的类型没有关系，读者会相信么？事实上，这是麻省理工学院著名结构力学专家Tomasz Wierzbicki 教授团队20 年前做的一个研究。研究表明：该撕裂角度与材料强度无关，所以无论读者使用的是何种纸，结果都是一样的——这是一个结构问题。

既然如此，那么如果它发生在钢板上呢？这个问题可就远没有我们这个小实验般云淡风轻了，而是一个严肃的工程事故问题。试想一下，一艘正在高速行驶的船，船底刮擦上一个坚固的礁石，结果将如图2 所示。

图2 钢板的“手风琴式撕裂”实验

Wierzbicki 团队不光测量了这个角度，还严谨地推导了整个结构发展的模型，包括载荷值的预测等，这个与材料无关的角度充其量可能是一个“有趣的副产品”吧。那么，他们是怎么做的呢？非常有意思，还是从纸出发吧。

图3 就是用折纸手段简化了的“手风琴式撕裂”模型，整个变形所需要的能量可被分为4 个部分：弯曲、薄膜变形、剪切以及断裂/撕裂。

                      （1）

其中F 是载荷，u 是位移，E 代表各能量分量。对一个褶的形成过程进行考察

                       （2）

其中H 是半褶长度，Fm 是平均载荷。各分量分别为

                               （3）

                                      （4）

                                      （5）

                                    （6）

其中b 是裂口的宽度，ξ 是褶皱区的宽度，t 是材料厚度，R 是裂纹尖端扩展所需的单位面积能量，而M0 则是平面应变下的塑性极限弯矩。

图3 “手风琴式撕裂”的简化折纸模型

将式(3)~式(6)代入式(2)后，可以得到

               （7）

假设撕裂过程在平均载荷最小的情况下发生，将式(7)对变量ξ 和H 求偏导

                                   （8）

即可消去ξ 并得到该问题的理论解

                                 （9）

                     （10）

式(9)描述的是单个褶的几何关系，而式(10)则给出了该褶形成所需的载荷，也就是我们在小实验中推笔所需的力。两个结果都是褶皱宽度的函数，但工程中最直接的可测量值往往是入侵物的位移x (即小实验中笔被推动的距离)。实际上，H 与x 的关系可以从图3 的折纸模型中利用简单的几何知识得到。最终，式(9)和式(10)可转换为

                        （11）

              （12）

其中b0 是撕裂口的初始宽度，也就是小实验中我们用剪刀挖的小缺口宽度。

图4 和图5 分别展示了式(11) 和式(12) 的预测值与实验结果的对比，是不是很准确？而且，细心的读者应该已经注意到——式(11) 是不含材料参数，也就是说，撕裂轨迹与材料属性无关，“手风琴式撕裂”发生在纸上还是金属板上，结果都是一样的！我们将该轨迹近似处理成一条直线的话，轨迹线与加载方向所呈的角度大概就在13°~14°之间。

图4 理论解对撕裂轨迹的预测(0.4mm 厚钢板，初始宽度20mm)

图5 理论解对载荷值的预测(0.4mm 厚钢板，初始宽度20mm)

如果这个研究结束于此，那读者大概会想“科研工作者都是理想主义者”，“知道个角度有个模型能有什么用？”倘若如此，那我们就要告诉读者: Wierzbicki 教授团队在2002 年4 月完成了一篇论文，尝试用这个理论模型解释“911”事件中飞机切断世贸中心大楼上的金属柱的过程(如图6)。他们对时事热点的关注、对工程问题的物理直觉、以及对研究的热情，不得不令人敬佩。

图6 “911' 事件中飞机切断世贸中心大楼上的金属柱

当然，熟悉Wierzbicki 教授的读者应当知道他是非常擅长类似的研究的。早在1983 年，他就和Wlodek Abramowicz 教授、Norman Jones 教授等人，通过简单的“折纸”模型，成功解释了各种薄壁方管的轴向压溃过程，以及这类结构通过大变形进行能量吸收的机理(图7 的汽车吸能盒设计就是一例)，对这个领域有着奠基性的贡献。

图7 轴向压缩后的金属方管呈现出渐进式折叠模式(左)及其简化后的折纸模型(右)

到此为止，让我们回顾一下整个研究——问题从被发现到被简化，再到被解释、被应用——整个过程只用到了一支笔、几张草稿纸，一双会折纸的手和一个会思考的头脑。关键是要能准确捕捉到问题中的关键影响参数和力学机理，做出适当的简化并构建力学模型，然后对着一个简化模型推导几页公式，得到一个理论解，进而可以解释生活中乃至工程中的实际问题——这样的研究现在似乎已经越来越少见了。我们已经慢慢习惯于做些实验写篇文章报告下实验结果，习惯于用软件做些模拟、调一调参数、和实验结果对比一下写篇文章报告下模拟技巧。但每当读到像这样一份来自“学术圈老炮儿”们的、经典又干净利落的工作时，我们还是不禁要感叹：结构之中也存在着艺术的美、简单的美。

最后，回到主题——我还要拜托读者一件事：如果你是个喜欢打架的中小学生或者家里有这么个孩子，下次和养着指甲的同学打完，被他/她抓破了皮肤之后，记得冷静地把那层皮展开来看一下，是不是手风琴模式的褶皱？还有，伤口的角度是不是13°~14°？我非常好奇。

致谢:感谢清华大学汽车工程系周青教授在本文的成文过程中给予的启示和讨论。

（本文已于《力学与实践》2018年第6期发表）

《力学与实践》编辑部

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