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绝对值不等式题在高考选择或填空题中也经常出现，出现频率最高的在选做题——不等式选讲部分。分析近几年的选做题，可以明显看出不等式选做题的难度和计算步骤远低于参数方程和极坐标选做题。下面将不等式部分常用的解题方法归纳如下： 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集: (2)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法: ①若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的值解出即可. ②若c<0,则|ax+b|≤c的解集为∅,|ax+b|≥c的解集为R. 说明:这种解绝对值不等式的方法只需将“ax+b”看成一个整体,即可化成|x|≤c,|x|≥c型的不等式求解.注意变形过程中,应当保证是“同解”变形. (3)|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)(c>0),|x-a|-|x-b|≤c(或≥c)(c>0)型不等式的解法: ①零点分区间法 零点分区间法的一般步骤为: (i)令每个绝对值符号内的代数式为零,并求出相应的根; (ii)将这些根按从小到大排序,并把实数集分成若干个区间; (iii)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出解集; (iv)取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集. 注意:分区间讨论时,一是不要把分成的区间的端点遗漏,二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集,而不是交集. 例1:[2018全国卷Ⅰ，23，10分] 已知f（x）=|x+1|-|ax-1|． （1）a=1时，求不等式f（x）>1的解集； （2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围． 思路分析：（1）代入字母的值，根据零点区间划分法和绝对值的几何意义求解；（2）对合x的取值范围将不等式等价转化，进一步求解绝对值不等式。 总结:解绝对值不等式的常用方法 (1)基本性质法:对a∈R+,|x|<a⇔-a<x<a,|x|>a⇔x<-a或x>a. (2)平方法:两边平方去掉绝对值符号. (3)零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解. (4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解. (5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解. 例2:[2018全国卷Ⅱ，23，10分] 设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|． （1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a的取值范围． 思路分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|x+a|+|x-2|≥4，再根据绝对值三角不等式得|x+a|+|x-2|最小值，最后解不等式|a+2|≥4得的取值范围． 解析：（1）当时a=1时， 总结：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． |
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