开场白莱昂哈德·欧拉（1707年4月15日－1783年9月18日）是一位瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他一生大部分时间在俄国和普鲁士度过。 欧拉在数学的多个领域，包括微积分和图论都做出过重大发现。他引进的许多数学术语和书写格式，一直沿用至今。此外，他还在力学、光学和天文学等学科有突出的贡献。 欧拉是18世纪杰出的数学家，同时也是有史以来最伟大的数学家之一。他也是一位多产作者，其学术著作约有60-80册。法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾这样评价欧拉对于数学的贡献：“读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师”。 01三角函数的泰特公式说起不清楚泰勒公式的读者朋友请点开我上一期的文章。不过不知道也没关系，听我一一道来。 当我们同时将sin x，cos x和e^x进行泰勒公式展开后，我们意外的发现这三个等式之间存在着一种关系。 如果我们将sin x加上cos x，会得到什么呢？ 那么，我们能不能想到一个办法，使得上面两个式子相等呢。由于sin x和cos x的泰勒公式展开中的正负号一直在变化。 02欧拉公式我们可不可以找到一个数乘以x使得两个式子相等呢？ 常识告诉我们，一个数的平方是大于等于0的。如果要让上面两个式子相等，我们需要一个这个数的平方=-1。 这个数？是不存在的。但是在欧拉的眼中，他是不可能被“这个数不存在”所吓退的。不存在，那我就造它一个。就这样，神奇的数字i被欧拉从上帝的怀中抱到了地球。 这样的话，当我们用泰勒公式展开e^ix的时候，神奇的事情再次发生了。 这个形式是不是更加接近sin x + cos x的展开呢。当我们对上式做些处理， 这个公式是不是已经非常美了。但是它有一个特例，当x = π的时候，cos π = -1， sin π = 0；那么，美到窒息的欧拉公式粉墨登场了。 03总结数学的研究就是在充满不可能的沙海里淘金。“不存在“在数学家眼中是不存在的。看完这篇文章，希望大家不是只知道一个名词“欧拉公式“，而是可以知道它到底是怎么回事。 欧拉公式成功的将数学从实数领域引入到了复数领域。实现了一次飞跃。 |
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