高斯相乘引理及其证明

N(x;a,A)N(x;b,B)=N(0;a−b,A+B)N(x;aA+bB1A+1B,11A+1B)$$\mathcal{N}(x;a,A)\mathcal{N}(x;b,B)=\mathcal{N}(0;a-b,A+B)\mathcal{N}\left(x;\frac{\frac{a}{A}+\frac{b}{B}}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}},\frac{1}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}}\right)$$

其中N(x;a,A)$\mathcal{N}(x;a,A)$表示以均值为a$a$，方差为A$A$，自变量为x$x$的高斯概率密度函数。
证：
(1) 指数部分

N(x;a,A)N(x;b,B)∝∝∝∝exp[−(x−a)22A−(x−b)22B]exp[−x2(12A+12B)+x(aA+bB)]exp⎡⎣−(12A+12B)(x−aA+bB1A+1B)2⎤⎦N(x;aA+bB1A+1B,11A+1B)$$\begin{array}{rcl}\mathcal{N}(x;a,A)\mathcal{N}(x;b,B)& \propto & \exp \left[-\frac{(x-a{)}^2}{2A}-\frac{(x-b{)}^2}{2B}\right]\\ & \propto & \exp \left[-x^2\left(\frac{1}{2A}+\frac{1}{2B}\right)+x\left(\frac{a}{A}+\frac{b}{B}\right)\right]\\ & \propto & \exp \left[-(\frac{1}{2A}+\frac{1}{2B}){\left(x-\frac{\frac{a}{A}+\frac{b}{B}}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}}\right)}^2\right]\\ & \propto & \mathcal{N}\left(x;\frac{\frac{a}{A}+\frac{b}{B}}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}},\frac{1}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}}\right)\end{array}$$

其中∝$\propto$表示正比于。
(2) 系数部分（显然）

12πA−−−−√12πB−−−−√=12π(A+B)−−−−−−−−−√12πABA+B−−−−−−√$$\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{2\pi A}}\frac{1}{\sqrt{2\pi B}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi (A+B)}}\frac{1}{\sqrt{2\pi \frac{AB}{A+B}}}\end{array}$$

因此

N(x;a,A)N(x;b,B)=N(0;a−b,A+B)N(x;aA+bB1A+1B,11A+1B)$$\mathcal{N}(x;a,A)\mathcal{N}(x;b,B)=\mathcal{N}(0;a-b,A+B)\mathcal{N}\left(x;\frac{\frac{a}{A}+\frac{b}{B}}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}},\frac{1}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}}\right)$$

从高斯相乘引理，我们可以得到以下两个结论

1. 两个高斯PDF相乘正比于一个新的高斯PDF。
2. 两个Gaussian PDF相乘，其实是在降方差，(1A+1B)−1≤min(A,B)${\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)}^{-1}\le min(A,B)$