模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()
A.充分条件B.必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】设a＝1，b＝－2，则有a>b，但a2ba2>b2；设a＝－2，b＝1，显然a2>b2，但ab2a>b.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.【答案】D
2.过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为()
A.x2＝y或x2＝－y
B.x2＝y
C.y2＝－9x或x2＝y
D.x2＝－y或y2＝9x
【解析】P(1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－y.故选D.【答案】D
3.下列命题中，正确命题的个数是()
①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；
②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分条件；
③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
④对命题p：x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则﹁p：x∈R，均有x2＋x＋1≥0.
A.1B.2C.3D.4
【解析】①正确；②由p∨q为真可知，p，q至少有一个是真命题即可，所以p∧q不一定是真命题；反之，p∧q是真命题，p，q均为真命题，所以p∨q一定是真命题，②不正确；③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，③不正确；④正确.【答案】B
4.函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为()
A.f(－1)＝f(1)B.f(－1)
C.f(－1)>f(1)D.无法确定
【解析】f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，f(1)＝－3，f(－1)＝5.∴f(－1)>f(1).【答案】C
5.命题“x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()
A.x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B.x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C.x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D.x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
【解析】故原命题的否定为：x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.故选C.【答案】C
6.已知双曲线的离心率e＝2，且与椭圆＋＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()
A.y＝±xB.y＝±x
C.y＝±xD.y＝±2x
【解析】双曲线的焦点为F(±4,0)，e＝＝2，∴a＝2，b＝＝2，∴渐近线方程为y＝±x＝±x.【答案】C
7.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝()
A.1B.C.2D.3
【解析】因为双曲线的离心率e＝＝2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，与抛物线的准线x＝－相交于A，B，所以△AOB的面积为××p＝，又p＞0，所以p＝2.【答案】C
8.点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，过点P的切线的倾斜角的取值范围为()
A.[0，π)
B.∪
C.∪
D.∪
【解析】f′(x)＝3x2－1≥－1，即切线的斜率k≥－1，所以切线的倾斜角的范围为∪.【答案】B
9.椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a＞c＞0)，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是()
A.2(a－c)B.2(a＋c)
C.4aD.以上答案均有可能
【解析】如图，本题应分三种情况讨论：
当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.【答案】D
10.设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0的实数解x0，则称(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数g(x)＝x3－x2＋3x－，则g＋g＋g＋…＋g＝()
A.2011B.2012
C.2013 D.2014
【解析】(1)∵g(x)＝x3－x2＋3x－，∴g′(x)＝x2－x＋3，g″(x)＝2x－1，令g″(x)＝2x－1＝0，得x＝，∵g＝×－×＋3×－＝1，∴g(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，∴g(x)＋g(1－x)＝2，∴g＋g＋g＋…＋g＝2×1006＝2012.【答案】B
11.若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为()
A.(1,)B.(，＋∞)
C.(1,]D.[，＋∞)
【解析】双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝x.由条件知，应有>2，故e＝＝＝>.【答案】B
12.若0
A.e－e>lnx2－lnx1
B.e－e
C.x2e>x1e
D.x2e
【解析】设f(x)＝ex－lnx(0g(x2)，∴x2e>x1e.
【答案】C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________.
【解析】a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.【答案】若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
14.曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________.
【解析】y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.【答案】3x－y＋1＝0
15.如图1为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)＜0的解集为________________.
图1
【解析】当x＜0时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数，由图象可知x∈(－∞，－)；当x＞0时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数，由图象可知x∈(0,).∴xf′(x)＜0的解集为(－∞，－)∪(0,).【答案】(－∞，－)∪(0,)
16.设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足1·2＝0，则的值为________.
【解析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，则|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2.平方相加得|PF1|2＋|PF2|2＝2a＋2a.又∵1·2＝0，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴a＋a＝2c2，∴＋＝2，即＋＝＝2.【答案】2
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设命题p：方程＋＝1表示的曲线是双曲线；命题q：x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围.
【解】对于命题p，因为方程＋＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m)(m＋4)<0，解得m<－4或m>，则命题p：m<－4或m>.对于命题q，因为x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0，即不等式3x2＋2mx＋m＋6<0在实数集R上有解，所以Δ＝(2m)2－4×3×(m＋6)>0，解得m<－3或m>6.则命题q：m<－3或m>6.因为命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以命题p与命题q有且只有一个为真命题.若命题p为真命题且命题q为假命题，即得
18.(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数.
(1)求b，c的值；
(2)求g(x)的单调区间与极值.
【解】(1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.从而g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c∵g(x)是奇函数，∴－x3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c＝－[x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c]得(b－3)x2－c＝0对x∈R都成立.∴得b＝3，c＝0.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，从而g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，－)和(，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间；(－，)是函数g(x)的单调递减区间.g(x)在x＝－时，取得极大值，极大值为4，g(x)在x＝时，取得极小值，极小值为－4.
19.(本小题满分12分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋b所得的弦长为|AB|＝3.
(1)求b的值；
(2)在x轴上求一点P，使△APB的面积为39.
【解】(1)联立方程组消去y，得方程：4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝1－b，x1x2＝，|AB|＝＝＝3，解得b＝－4.(2)将b＝－4代入直线y＝2x＋b，得AB所在的直线方程为2x－y－4＝0，设P(a,0)，则P到直线AB的距离为d＝.△APB的面积S＝××3＝39，则a＝－11或15，所以P点的坐标为(－11,0)或(15,0).
20.(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【解】(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)·(432＋kx2)，又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30].(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f′(x) － 0 ＋ 0 －f(x) ↘ 极小值 极大值 故x＝12时，f(x)取到极大值.因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.
21.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x>1时，g(x)>0；
(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立.
【解】(1)解：由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增.(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，从而g(x)＝－>0.(3)解：由(2)知，当x>1时，g(x)>0.当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.当01.由(1)有f0，所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立.当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1).当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0.因此，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增.又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立.综上，a∈.
22.(本小题满分12分)如图2已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2.
图2
(1)求椭圆C的方程.
(2)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.
①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；
②求直线AB的斜率的最小值.
【解】(1)设椭圆的半焦距为c.由题意知2a＝4,2c＝2，所以a＝2，b＝＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)①证明：设P(x0，y0)(x0>0，y0>0).由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m).所以直线PM的斜率k＝＝，直线QM的斜率k′＝＝－.此时＝－3.所以为定值－3.②解：设A(x1，y1)，B(x2，y2).由①知直线PA的方程为y＝kx＋m，则直线QB的方程为y＝－3kx＋m.联立整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0.由x0x1＝，可得x1＝，所以y1＝kx1＋m＝＋m.同理x2＝，y2＝＋m.所以x2－x1＝－＝，y2－y1＝＋m－－m＝，所以kAB＝＝＝.由m>0，x0>0，可知k>0，所以6k＋≥2，等号当且仅当k＝时取得.此时＝，即m＝，符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为.
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