… … … 似乎有这种可能,对于所有的正整数n,在上的因式分解成不可约多项式的乘积后各项系数都为1或者-1,不难验证对n在1-20之间都是正确的。 据说有人曾经算到了,均没有发现反例,终于放心大胆地猜想: 对于所有的正整数n,在上因式分解后各项系数都为1或者-1! 反例: 在 n = 105 时,的分解式为 出现了两个-2 注: 在数学中,n次分圆多项式是指唯一的n次整系数不可约多项式,使得其为的因子,不为的因子,k为任意比n小的正整数。可以证明: 然后对有因式分解: 也就是最后因式分解得到的因子均为分圆多项式。 为什么会出现n=105的反例呢? 来看一些分圆多项式 他们的系数都是-1,1,这种情况一直持续到n=104。 而n=105时: 所以我们分解时,因子中的导致了反例。 关于怎么计算n次分圆多项式的中系数,目前还没有一目了然的公式,但是有定理:
这是一个常用的经典超大数产生的反例。 考虑对自然数列的质因数分解 3 = 3 4 = 2 × 2 5 = 5 6 = 2 × 3 7 = 7 8 = 2 × 2 × 2 9 = 3 × 3 10 = 2 × 5 11=11 12=2 x 2 x 3 13=13 14=2x7 15=3x5 16=2x2x2x2 17=17 …… 在写出的数种可以看到,4、6、9、10、14、16 这6个数 包含偶数个质因子,其余11个数都含奇数个质因子。(不区分相同的质因子)可以感觉到包含偶数个质因子的数要明显小一些。也就是对每一个给定不小于2的正整数2,3,……,n这n-1个数中含偶数个质因数的数的个数小于一半。 严格来说,n有质因数分解,令,f(n)取0或1 对每一个给定不小于2的正整数2,3,……,n这n-1个数中含偶数个质因数的数的个数小于一半 这个猜想对1亿之内的数都成立! 反例: 不幸的是……
这个反例充分说明,不能随便假定某个猜想是正确的,哪怕它对于很小的数再怎么正确。 数列递推公式 数列 a(1) = 8,a(2) = 55,并且 a(n) 定义为最小的使得 的正整数 8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081, 279942687, 1929384798, 13297456486, 91647010581, 631637678776, 4353291555505, 30003193292641, 206784130187015, 1425170850320396, 9822378297435246,…… 定义数列 bn=6kn-1+7bn-2-5bn-3-6bn-4 b1=8,b2=55,b3=379,b4=2612
对n为正整数,a(n)=b(n),这个对n<1000可以验证均成立 当你在OEIS上搜索8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081时, 在n不超过11056时,a(n)=b(n) 本来想给出两个数列的值,但是发现太大了… 只要注意到a(n)定义中的最小性即可,另外b(n)的递推公式可由特征方程给出。 尝试寻找到一个简单而高效的素数生成公式一直是人们的理想之一,而素数之类的公式如果要能用简单的数列定义该多好啊。 an=an-2+an-3,n>2 a0=3,a1=0,a2=2 我们来借助OEIS看一下它的值 好像对于素数p,均有a(p)是p的倍数,这件事已经被成功证明了。 a(n) 是n的倍数,当且仅当 n 是一个素数。 反例: 直到 1982 年, Adams 和 Shanks 才发现第一个反例 n = 271 441 ,它等于 521 × 521 ,却也能整除 f(271 441) 。 求导不难知其有一个实根ρ,两个共轭复根α、β,可以用二分法来查找零点,估计出1<ρ<2 韦达定理给出 α+β+ρ=1 αβ+αρ+βρ=0 αβρ=1 结合关于ρ的估计我们知道共轭复根α,β模均小于1。 当n充分大时,由于α,β模均小于1 这个公式可以让我们估算大的an。事实上,由三次方程求根公式有 ρ≈1.324718 这是一个著名的常数,称为Plastic number 于是a2015大概为 再注: 难道我们就没有数列能生成素数么? 定义dn=an+1 -an 那么dn每一项均为素数。 Perrin素数 Fermat 大定理:
都没有正整数解。 k=2,即为费马大定理,命题成立 1.当k=3时,就有反例
1986 年由Noam Elkies 给出。
(不得不说他们运气也很不错,能够发现一组较小的反例解,如果反例太大当时的计算机肯定无法完成循环搜索) 注: 这些反例难道是别人随意就想出来的麽?
但是这个不符合方程结构,给不出反例;
可惜这个是n=3,k=3的情况。 举个例子,关于方程,如果一个个尝试x,y,z,w,就算每一组数据平均只需要的10秒计算,要测试x,y,z,w上界到达100万的情况,就至少需要10亿亿秒,也就是年! 环。 那么Noam Elkies 是怎么给出构造无穷多个反例的方法呢? 用到了代数曲线上的有理点,模函数等知识,做了一些分类讨论,化归成了简单一些的情况 还有一些类似的美妙的恒等式可以用来给出某些类似的方程的解(来自wiki): |
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