数学教授讲解：一道与正方形相关证明题的10种证法！收藏！

【原题再现】

正方形ABCD中，E是AB的中点，BF⊥CE，垂足为F，连接DF，求证：DF=CD

---

【注】

设数值(而不设字母)可以最大限度的简化计算量，并不影响线段关系

---

【注】

利用矩形转移边的关系，结合勾股定理求解

---

【注】

本题也可以分别取FC、BC中点利用中位线证明，当然需要说明D、G、H三点共线

---

【注】

通过3个直接三角形的全等，将边进行转移

---

【注】

该方法中，能看出F、C、D、G四点共圆是关键

---

【注】

正方形相关的线段关系、线段长度等问题可以利用建系的方法

---

【注】

1、本方法的关键是能看到：CD²=BC²=CF·CE(即射影定理)，通过CD=BC的将原本两个直角三角形的比例关系，转换成两个共边三角形的比例关系，再结合公共角(∠1)，实现了相似转换

2、副产品——'广义射影定理'

---

【注】

同【方法7】类似，通过两个直角三角形边的比例关系，得到8字相似三角形(△EFH和△CFD)，实现了相似变换

---

【注】

思路同【方法7】

---

【注】

思路同【方法7】

---

【谈谈反思与收获】

1、王黎之老师提供的4种方法很是巧妙，它们有一个共同特点：其构造方法都是通过下侧的3个直角三角形的线段比例关系(相似)，以及与所求△DFC的线段比例关系的练习，结合'两边对应成比例且夹角相等，则两个三角形相似'判定定理，实现了相似转换。

2、'一题多解'——本题方法大致分为3类：全等构造、相似变换和计算法

3、'多解归一'——本例的核心条件或者突破口是什么？

我们发现无论是全等构造、相似转换还是计算法，关键条件在于——tan∠BCE=1/2，以此为基础得到比例关系，得到线段关系，构造全等三角形或相似三角形。、

领取更多学习资料，请在评论下方留言！袁老师亲自回复！