精要复习前两课我们首先讲了导数/微分： 导数的“导”，理解为“方向”。 方向决定了函数的运行，所以“导数”是函数的原因，函数是“导数”的结果。 进一步，借助泰勒展开公式加深了对导数“原因”作用的认识。 泰勒展开公式，是对展开点附近的函数，进行的一个“误差可控多项式仿真”。  导数（原因），把结果和现状联系在了一起 不定积分函数 F(x) 的导函数为 F''(x)，如果定义 F''(x)=f(x)，则： f(x) 是 F(x) 的导函数； F(x) 是 f(x) 的原函数。 这里注意，F(x) +C 的导数也是 f(x)，所以 f(x) 有一族原函数—— F(x) +C （C在数学里表示常数，常数的导数为0） 表示为：  等号左边那堆，叫做 f(x) 的“不定积分”。 为啥“不定”呢？ 主要是为了相对于下面要讲的“定积分”，而且不定积分有“一族”而不是“一个”（下面会讲）。 重要的微积分维度意义思考一个问题，为什么从原函数 F 到 导函数 f ，没有常数C的出现；而从导函数 f 到原函数 F 就突然多出来一个 常数 C 呢？ 因为，原函数与导函数不在一个维度上！ 维度不同，角度完全不同！ 原函数比导函数低一个维度！ 为什么这么说？ 举个例子，一个灯下的三维物体，比如如一个橄榄球，向墙面上的投影可能是一个椭圆，但是换一个角度再去投影，影子完全可能是另一个大小/形状，有可能变成一个圆形！ 即，三维物体有无穷多个二维的投影。 正如，导函数有无穷多个原函数！ 低维的原函数 是 高维的导函数 的投影。 投影，将三维信息降为了二维信息 常数 C ，就是代表灯与物所成的一系列角度罢了。 原因在高维 结果在低维原因（导函数）在高维，比如小车的速度 v，这是本身一个高维的信息，因为它：
第三条详细解释一下，这个原理叫： 高维低阶 举个例子，位移 s=x^2 +x+1，则速度v=2x+1。 发现什么了？v比s的阶低，v是1次多项式，s是2次多项式。 高维下的表达，往往就比低维下简单！ 二维到三维，是工程制图的升维飞跃 学过工程制图的同学深有体会，一个复杂结构，如果画在平面图中，需要有：正视图/左视图/上视图/甚至斜视图/剖面图等等，特别复杂，但如果在三维作图软件中作三维模型，一个模型就足够了。 就是这个道理。 物理学发展史中，这样的故事层出不穷。最开始探索的物理学家的理解比较浅也比较局限，提出的理念往往很复杂，后来的物理学家在他们基础上，统一整合了一类理论，提出新的理论反而是形式简洁美妙，这就是升维思维的奇功。 简洁的物理公式，其实是最高级的 MATLAB求不定积分不定积分，在数学上最大的意义就是求原函数，手算方法很多： 换元积分法 分部积分法 等 教材上都一样，咱们直接用MATLAB解决问题： F=int(fun,x) % 求函数fun关于x的不定积分 SO EASY! 定积分提问，如何求一个曲线 f(x) 下包围的面积？ 我们采用分割法，把曲线下分割成许多小矩形，如图：  当分割得越来越小，面积就越来越接近真实值。 然后把它们加起来，这就是“定积分”。  这就是定积分在书本上的定义，从中也能看出，积分其实就是求和，你看积分号长得就像一个拉长的 S 啊，S就是 sum 呗！ 定积分的真正内含定积分到底在算啥？ |
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