中学数学好教师 二次函数是初中数学的重点也是难点内容之一,它的图象是一条抛物线,其形状、开口方向、位置等与表达式中的系数的关系非常密切。所以,二次函数图象与a、b、c的关系是非常重要的一个知识点,今天,小培就为大家总结一下二次函数图像与系数的关系变化。 1. a决定抛物线的开口方向及大小 具体内容:
我们知道抛物线平移前后形状及开口方向不变,只是位置发生改变,那么只要两个二次函数的a相同,那么就可以由其中一个二次函数通过平移得到另一个二次函数. 图象:抛物线开口向上,a>0,抛物线开口向下,a<0,开口大的抛物线的|a|小于开口小的抛物线的|a|. 图象示例: 2. a、b共同决定抛物线对称轴的位置 对称轴 的位置 具体内容:
上述当b≠0时,a、b的符号及对称轴与y轴的位置可简记为“左同右异” 图象:对称轴在y轴,则b=0,对称轴在y轴左侧,根据“左同右异”判断a、b同号,对称轴在y轴右侧,根据“左同右异”判断a、b异号. 图象示例: 3. c决定抛物线与y轴交点的位置 具体内容:
可根据c是抛物线与y轴交点的纵坐标来理解记忆这一点内容 图象示例: 4. b2-4ac决定抛物线与x轴的交点的个数 具体内容:
图象示例: 5. 特例
从上述中我们可以得出从二次函数的图象也可以得出关于系数a、b、c的相关信息,做此类问题一定要注意数形结合. 例题讲解 例1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点 在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】根据图象开口向下可得a<0,根据对称轴在y轴右侧可得a、b异号,则b>0,抛物线与y轴交于正半轴,可得c>0,所以 <0,则点M(b, )符合第四想象点的坐标特征(+,-),故选D. 例2 若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点,则a的取值范围是 ( ) A.a>0 B.a>- 4/9 C.a> 9/4 D.a<9/4且a≠0 【分析】根据抛物线与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,即32-4a×1>0,解得a<9/4,根据二次函数定义可知a≠0.故选D. ▲易错警示▲不要忽视二次函数表达式中二次项系数不为0这一条件. 例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论: ① a+b+c<0,②a-b+c>0; ③ abc>0;④b=2a 中正确个数为( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【分析】
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