二次函数图象与系数的关系最全总结！

中学数学好教师

二次函数是初中数学的重点也是难点内容之一，它的图象是一条抛物线，其形状、开口方向、位置等与表达式中的系数的关系非常密切。所以，二次函数图象与a、b、c的关系是非常重要的一个知识点，今天，小培就为大家总结一下二次函数图像与系数的关系变化。

1. a决定抛物线的开口方向及大小

具体内容：

• a>0，抛物线开口向上

• a<0，抛物线开口向下

• |a|越大，抛物线的开口越小

• |a|越小，抛物线的开口越大

我们知道抛物线平移前后形状及开口方向不变，只是位置发生改变，那么只要两个二次函数的a相同，那么就可以由其中一个二次函数通过平移得到另一个二次函数.

图象：抛物线开口向上，a>0，抛物线开口向下，a<0,开口大的抛物线的|a|小于开口小的抛物线的|a|.

图象示例：

2. a、b共同决定抛物线对称轴的位置

对称轴

的位置

具体内容：

• b=0时，对称轴为y轴

• b/a>0，对称轴在y轴左侧（即a、b同号，则对称轴在y轴左侧，简记为“左同”）

• b/a<0，对称轴在y轴右侧（即a、b异号，则对称轴在y轴右侧，简记为“右异”）

上述当b≠0时，a、b的符号及对称轴与y轴的位置可简记为“左同右异”

图象：对称轴在y轴，则b=0,对称轴在y轴左侧，根据“左同右异”判断a、b同号，对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”判断a、b异号.

图象示例：

3. c决定抛物线与y轴交点的位置

具体内容：

• c=0，抛物线过原点

• c>0，抛物线与y轴交于正半轴

• c<0，抛物线与y轴交于负半轴

可根据c是抛物线与y轴交点的纵坐标来理解记忆这一点内容

图象示例：

4. b²-4ac决定抛物线与x轴的交点的个数

具体内容：

• b²-4ac=0时，与x轴有唯一交点（即顶点）

• b²-4ac>0时，与x轴有两个交点（即开口向上时顶点在x轴下方，开口向下顶点在x轴上方）

• b²-4ac<0时，与x轴没有交点（即开口向上时顶点在x轴上方，开口向下顶点在x轴下方）

图象示例：

5. 特例

• 当x=1时，y=a+b+c

• 当x=-1时，y=a-b+c

• 当x=2时，y=4a+2b+c

• 当x=-2时，y=4a-2b+c

• 若a+b+c<0，即当x=1时，y<0

• 若a-b+c>0，即当x=-1时，y>0

• 当对称轴为直线x=1时，则2a+b=0

• 当对称轴为直线x=-1时，则2a-b=0

从上述中我们可以得出从二次函数的图象也可以得出关于系数a、b、c的相关信息，做此类问题一定要注意数形结合.

例题讲解

例1二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则点

在 （ ）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【分析】根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴右侧可得a、b异号，则b>0，抛物线与y轴交于正半轴，可得c>0，所以

<0，则点M（b，

）符合第四想象点的坐标特征（+，-），故选D.

例2 若抛物线y=ax²+3x+1与x轴有两个交点，则a的取值范围是 （ ）

A.a＞0 B.a＞- 4/9

C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0

【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0，即3²-4a×1>0，解得a＜9/4，根据二次函数定义可知a≠0.故选D.

▲易错警示▲不要忽视二次函数表达式中二次项系数不为0这一条件.

例3 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论：

① a+b+c＜0，②a-b+c＞0； ③ abc＞0；④b=2a 中正确个数为（ ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

【分析】

• a+b+c是当x=1时y的值，根据图象可知当x=1时，图象上对应的点在x轴下方，则y=a+b+c<0，故①正确；

• a-b+c是当x=-1时y的值，根据图象可知当x=-1时，图象上对应的点在x轴上方，则y=a-b+c>0，故②正确；

• 根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴左侧，可得a、b同号，故b<0，根据图象与y轴交于正半轴可得c>0，所以abc>0，故③正确；

• 由图象得抛物线的对称轴为直线

• x=-b/2a=-1，则b=2a，故④正确；故本题选A.

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