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函数的零点定理不仅在初等函数中应用广泛，在导数中更占有重要位置。导数中的“隐点零”题型中，也要用到零点定理。下面先将函数零点定理的解题模型及应用技巧归纳如下。 1.零点存在性定理 2.判断函数的零点(方程的根)所在的区间的方法 a.解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上. b.利用函数的零点存在性定理：利用定理进行判断. c.数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断. 3.判断函数零点个数的方法 a.直接法：令f(x)=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. b.利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. c.图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)=0⇔h(x)=g(x),则函数f(x)的零点个数就是函数y=h(x)和y=g(x)的图象的交点个数. d.利用函数性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可得函数的零点个数. 经典例题： 思路分析:可以直接建立方程求解零点，也可以画出函数图像确定零点个数. 解析: （直接法）由f（x）=0得 解得x=-2或x=e。 因此函数f（x）共有2个零点。 （图像法）函数f（x）的图像如下图所示， 由图象知函数f（x）共有2个零点。 答案：B 总结：f(a)·f(b)<0与函数f(x)存在零点的关系 1.不满足f(a)·f(b)<0的函数也可能有零点(如图). 2.由函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图.所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 经典例题： 若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 解析:令y1=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=(x-b)[2x-(a+c)],y2=-(x-c)(x-a),由a<b<c作出函数y1,y2的图象(图略),由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,即函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.故选A. 答案:A 总结：函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,不能判断不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件,不是必要条件,所以在判断一个函数在某个区间上是否存在零点时,不能完全依赖函数的零点存在性定理,要综合函数性质进行分析判断. |
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