一人一书一代数，二次三次几大家——古阿拉伯人的“解方程”历史

公元8世纪，大唐帝国（唐玄宗在位期间）由极盛转衰，阿拉伯帝国扩张终止（面积一度达1340万平方公里），查理曼帝国将西欧大部分地区收入囊中。

公元8世纪末期的世界版图—图片来源网络

这一世纪的末期，阿拉伯数学家花拉子米（Al - Khwarizmi，约780～约850）出生于花拉子模(今乌兹别克斯坦)，后受马蒙（Ma'mūn）的任命，主持卡巴格达“智慧宫”的工作.并负责收集、整理、翻译大量散失的古希腊和东方的科学技术及数学著作[1]。

花拉子米（甚至整个阿拉伯数学）的数学成就深受古希腊、印度、亦或中国的影响，在解决方程问题上尤为明显。在《代数学》一书中，花拉子米先用配方法解一元二次方程，以得到答案——上一节说到印度数学家也如此，最后又使用几何法来严格证明——与古希腊的方法不同而思想类似。这是很了不起的一步，既体现运算的过程，又注重严格的逻辑证明。遗憾的是花拉子米的代数还没有严格的脱离几何。《代数》（Algebra）中的二次方程——和古希腊一样、与印度不同，并非是一般的形式，而分成了6类。

花拉子米（780A.-850A.D.）

“根的平方，和10个根等于39个dirhem（重量单位）”

解法如下：“取根数目的一半，然后让它自乘得结果为25，把这同39相加得64，开平方的8，再减掉根数的一半，得到3即为根。”

可以观察到这个方法用文字写成——但容易翻译成现代数学语言，同时，没有考虑到负根-13，尽管阿拉人从印度哪里学习到了“10进制”、“无理数”、“负数”等相关知识，但在解方程时它们并没有考虑到负根。但花拉子米并没有到此结束，而是进一步从几何上给予严格证明：

如上图，正方形ABCD面积

，边长BC=X+5=8，易得x=3.几何解释（2）同理可得。

在另一个题目，花拉子米考虑了一元二次方程的两个根的情况：

把10分成两份，各自自乘后相加，它们的和是58.问：这两分各是多少？

原题相当于解一元二次方程

通过根式求解得到两根x=3，x=7。这是以前数学家很难考虑到的——古埃及、巴比伦、希腊数学家只要找到一个根就心满意足了。花拉子米却有意的讨论了2个根的情况，这点值得注意，因为直到16世纪，卡丹在解三次方程时也仅讨论了一个根。

丢番图(约公元246—330年)

通过上面的分析，我们知道，解二次方程问题到花拉子米所在时代已近乎解决，数学家们继续向三次方程迈进。10世纪阿拉伯数学家模仿古希腊数学家阿基米德的几何方法——借助两圆锥曲线的交点——来解决，但属于数值计算的范畴，将在后面讲到。而真正三次方程求根公式的得到要直到16世纪才被意大利数学家解决。这是下一节的内容。

最后对两位“代数学之父”——花拉子米和丢番图的作品做一个简单的对比:

花拉子米的《代数》与丢番图的《算术》相比，首先是《代数》一书给了代数这门学科的名称、可见其影响之深远。其实，《代数》给了一元二次方程的一般性解法，承认无理根，并给出两根（不含负数根）【《算术》是一题一解，只有正有理根，解法不具一般性】。

但《代数》的缺点也是明显的，一是本书只讨论了一元一次、二次方程，对于《算术》处理的难度较大的不定方程，《代数》确很少涉及。二是与《算术》不同，《代数》全书没有使用到符号，全部用文字表示。