贝叶斯定理：做对了99%的事情为何依然失败？癌症检测靠谱吗？

我们先来聊一聊托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes，1702-1761）的生平。作为18世纪英国著名的学者，托马斯·贝叶斯可谓是集万千荣誉于一身。他是18世纪英国神学家、数学家、数理统计学家和哲学家。貌似那时候的英国的科学大能都在神学和哲学方面大有造诣，譬如牛顿大神。

贝叶斯一身最突出的贡献就是在1763年提出了贝叶斯公式以及在1785年发表的著作《机会的学说概论》。这些贡献直接奠定了现代概率论和数理统计的基石。贝叶斯统计的创立者，练就一门“洞悉万物”的神技，能够“从特殊推论一般、从样本推论全体“。

贝叶斯定理

酒鬼到底在哪？隐藏在概率背后的贝叶斯定理-先验后验概率分析

在酒鬼问题中，我粗浅的介绍了下贝叶斯定理。现在我们回顾一下：

假设有事件 A 和事件 B，概率用 P(A) 和 P(B) 表示，P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发的概率。如果 A 与 B 是相互独立的事件，那么 P(AB) = P(A) * P(B)。

P(B|A) 表示 A 事件发生以后，B 事件发生的概率，这个就叫做条件概率。同时，P(AB) = P(B|A) * P(A)。

通过条件概率的定义，可以得到 P(B|A) * P(A) = P(AB) = P(A|B) * P(B)。贝叶斯定理如下所示：

P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)

大家先了解一下，后续会有大用。

关于癌症检测的问题

这是逃学博士亲身经历的一道面试题，题目是这样的：

话说A公司历时数年，呕心沥血研制出了一款先进的癌症检测仪，并且官方声称误差率在1%。 也就是说：

• 100个健康的人做癌症检测，有1个人结果呈阳性，99个呈阴性。

• 100个癌症患者做癌症检测，有1个人结果呈阴性，99个呈阳性。

那么，问题来了，A公司随便在街上找到了你做志愿者，免费给你做了癌症检测，结果是阳性，你到底是应该立马去医院做治疗，还是先大骂一声A公司是骗子呢？结果是阳性但是你却没有患病的概率是多少呢？

根据贝叶斯公式，我们首先定义A和B都代表什么：

• A: 患癌；

• B: 结果呈阳性；

这样的话，P(B|A）表示患癌的人经过检测结果呈阳性的概率是99%。

P(B|A）= 99%。

那我们的目标是计算P(A|B)：结果呈阳性并且患癌的概率（注意，这两种表达式不一样的）。

这就相当于，“喝了咖啡，嘴里有咖啡味的概率” 和“嘴里有咖啡味的，喝了咖啡概率（因为有可能是吃了咖啡味的东西）”。

通过贝叶斯公式：

P(A|B) =P(B|A）* P(A) / P(B)

我们假设一下地球污染特别严重，癌症的患病率高达1/1000。也就是每1000个人就有一个人得癌症。那么，P(A) = 1/1000。

重点来了，怎么计算P(B）呢？

我们知道P(B)：结果呈阳性有两种可能，真有病和被误诊。

• 真有病的情况：

P(B|A）* P(A) = 1/1000 * 99% = 9.9 * 10^(-4)

• 误诊的情况：

P(B|(1-A)) * P(1-A) = 999% * 1% = 0.999

所以，P(B) = P(B|A）* P(A) + P(B|(1-A)) * P(1-A) = 0.99999。

P(A|B) =P(B|A）* P(A) / P(B) = 9.9 * 10^(-4) / 0.99999 = 9.9 * 10^(-4) = 0.099% ~ 万分之一。

也就是说检测结果是阳性，真正患癌的概率才有万分之一。是不是意料之外，是不是要抄起棒子砸了A公司的仪器，大骂一声骗子，心情是不是像过山车？

谋事在人成事在天

很多人抱怨，我明明很努力，做事情务必亲力亲为以求完美，但是为什么我还是不成功？

这个问题呢是有科学的解释的。

A：成功

B：做对事

假设你一辈子做对了99%的事情，P(B) = 99%，那么P(A|B)在做对事的情况下，成功的概率会有多少呢？

P(A|B) = P(B|A）* P(A) / P(B)

那么我们还有P(B|A）和P(A)是不知道的。

P(B|A）代表最后成功，过程中做对事的概率，考虑特殊原因（有些人走了狗屎运等等），大部分成功的人都是做对事情的吧。这一项我们认为是99%，P(B|A) = 99%。

那么带入到贝叶斯公式：

P(A|B) = P(B|A）* P(A) / P(B) = 99% * P(A) / 99% = P(A)

也就是说，你即使一辈子做对了99%的事，你成功的几率依然不大，这就叫做“谋事在人成事在天”。

总结

人活着不就是小概率事件最让人兴奋吗？那么注重结果，何必来世间走一遭。牛顿还被苹果砸过脑袋呢，我刮刮乐还中过50块钱呢。以后的事，谁知道呢？

尽人事，听天命。多好的总结

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