圆周率的畅想：对一个计算难题最意想不到的答案

作者：逃学博士

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开场白

这篇文章要感谢一直启发我的3Blue1Brown，今天我们一起来讨论一个隐藏在物体碰撞背后的π。

图1

问题如下：

在一个完全光滑的地面上，有方形物体1和2，物体1的初始速度为0，质量为m，物体2的初始速度假设为1，质量为M。假设物体1和2与地面之间没有摩擦力。

那么，物体1、2还有墙壁之间碰撞的总次数与π到底有什么关系呢？

系统的分析

中学的物理知识告诉我们，整体系统中动量和动能一定是守恒的。

图2

'Sometimes, Maths and Physics conspire in ways that just feel too good to be true.'

我们一步一步来分析：

当物体2初次碰撞到1后，物体2的速度变为y，物体1的速度从0变为x。

图3

• 动能守恒定理：

图4

我们看图4的公式是不是特别像椭圆的公式。

图5

我们根据动能守恒可以绘制出图4的椭圆，物体2的初始速度是y方向上1m/s。物体1的初始速度为0。

物体2和物体1的在第一次碰撞后的速度关系可以由动量守恒公式推导得到：

图6

图7

根据动能和动量守恒定理，我们得到了物体1和2在初始碰撞后的第二个状态点。

图8

图8中状态2变到状态3代表物体1与墙壁的碰撞。当物体1撞击墙面后，物体1的速度值不变，但是方向变成反向。即使系统的变量变化了，但是物体1的速度x和物体2的速度y之间的线性关系斜率不变，依然是 -m/M。

状态4代表的是物体1和物体2的再一次碰撞。

碰撞多次之后，我们依次在椭圆上画出状态点。当最后一次碰撞之后（不管是物体1和墙壁，还是物体2和物体1），斜直线（动量守恒）过终点（图9），物体1和物体2之后不会再次碰撞。

图9

上述推论，我们成功的将物体1、2和墙壁间的碰撞问题转化成了椭圆上的点了。为了便于分析，我们可以通过对X的变换将椭圆转换成圆形。由于质量m和M都是不变的，那么，我们将

图10

图11

在这种情况下，我们方便通过角度和斜率的关系作出以下分析：

图12

作出斜直线和水平夹角Φ，我们可以得到：

图13

有些微积分知识的读者朋友都知道，当一个角度α很小是，α~sinα~tanα。我们将所有的关系放在了图13，并得到了最后的结论。

物体1、2和墙壁碰撞的总次数与物体1、2的重量m和M还有π有关。

图14

总结

现在我们可以通过我们的公式来算π了。

假设M=m，则总归碰撞的次数约等于π（3）次。

假设M=100m，则总归碰撞的次数约等于10π（31）次。

假设M=10000m，则总归碰撞的次数约等于100π（314）次.

是不是很神奇，我们又推导出了π和物理世界的关系！

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