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【通信技术基础第9讲】 从信号处理角度来看，傅里叶变换建立了从时间域到频率域的变换关系。一个时间域的信号可以分解为多个不同频率的正弦波信号，每个频率的正弦波信号可在频率轴进行表示，正如图1所示。 图1时域与频域 频域率给我们提供了另外一种看问题的视角，世界如此纷繁复杂，换个角度可能会海阔天空。傅里叶变换让我们从频域看问题，拉普拉斯变换亦是如此，它建立了从时间信号到复频域的关系。 图2复平面，来源网络 函数可积角度还记得傅里叶变换中绝对可积的条件吗？傅里叶变换公式是积分运算，当然需要里面的函数可以积分。文章中变量有时会用时间t，有时会用x，是班长思维混乱导致，不影响阅读。 在引入积分的时候，我们用“曲线面积”这一经典案例作为引子，然后通过计算长方形的面积去逼近曲线面积。当长方形的宽度逐渐变小，长方形的数量逐渐变多，我们计算的面积越精确，如图3所示。 所以说积分运算，可以不严谨的认为区间内“面积”计算。当面积无穷大之时，表示不可积分。这样看来，我们要保证f(t)绝对可积，那么f(t)覆盖的面积不能无限大。 图3积分的定义，用不断多的矩形去逼近曲线覆盖面积 但实际情况是，很多类似像e^at(a>0)的指数函数，其曲线覆盖的面积无穷大，不可积。具体可以从指数函数图像4看出，当a>0之时，这是一个递增函数。 图4指数函数的性质 既然不可积，不想愉快的玩耍，得想辙！ 给它乘以一个因子，相乘之后可积不就完事了。这个因子已经有人想好了，就是e^-σt。根据傅里叶变换公式，我们得到了s=σ+jω。 OK，s是个复数，所以我们说拉普拉斯变换是将时域变换到复频域，见图2。在通过简单的变量替换，我们可以得出拉普拉斯反变换： 引入一个e^-σt，可以解决绝对可积的问题，我们把它叫做衰减因子。从这个角度看，拉普拉斯变换就是f(t)*e^σt的傅里叶变换。 图5引入衰减因子，X^2的函数“倒下了”，来源网络 总结除了信号处理与通信领域，似乎在经典控制理论中，更热衷于使用拉普拉斯变换。因引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。 最后，再让我们看一看拉普拉斯变换的历史。在19世纪末，英国有一位工程师叫做赫维赛德，他发明了一种算子，可以方便的解决电气工程的一些问题。但是你知道的，工程师吗？不会有严格的数学证明。直到拉普拉斯在自己的著作中给出了明确的数学依据，这一方法开始在电学、力学等众多的工程与科学领域中得到广泛应用。
图5拉普拉斯
图6拉普拉斯变换简化微分方程，来源网络 拉普拉斯变换可以把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，求解后再还原为时间函数。它是求解常微分方程的利器哦。微分、积分通过拉式变换后，会变成乘法、除法，整个微分方程也会变成代数方程。所以这也是考研中必考的一道答题！ 至于标题的问题，一种说法是傅里叶先有，拉普拉斯还是傅里叶的论文评委呢；还一种说法是拉普拉斯先有：
所以你们自己决定吧，嘿嘿。 |
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