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中考必备:全面透视二次函数综合问题的满分技法,强烈建议收藏

2019-02-09  京津冀书馆

类型一 与线段、周长有关的问题

满分技法:线段、周长最值问题有两种形式:

1. 平行于坐标轴的线段的最值问题,常常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式, 然后运用二次函数性质求最值.解决这类问题的关键是:(1)确定线段的函数关系式,注意当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;当线段平行x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标;(2)确定函数最值,注意函数自变量取值范围要确定正确;

2.“将军饮马”型问题或其变形问题,这类问题一般是已知两个定点和一条定直线,然后在定直线上确定一点,使得这个点到两定点距离和最小.其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等;这类问题的解决方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,然后通过求直线解析式及直线交点坐标,计算最小值或点坐标.

类型二 与面积有关的问题

1.解决二次函数与三角形面积最值综合题,常见方法有:

(1)若三角形有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴,首先计算这条边的两个顶点的坐标;然后利用坐标的差表示这条边的长(若平行于x轴,用右边的点的横坐标减去左边点的横坐标可得边长;若平行于y轴,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标可得边长);再确定另一顶点到这条边的距离,一般是另一点的横(纵)坐标与已知边的点的横(纵)坐标的差;然后运用三角形面积公式计算.

(2)若三角形的边都不与坐标轴平行,解决问题的一般步骤为:

①根据三角形两定点确定这条边所在直线的解析式;

②过动点作坐标轴的平行线,与这条直线交于一点;

③分别用抛物线及直线的解析式表示出这两个点的坐标,并表示它们之间的距离;

④以所求距离为底边,以两定点的坐标差的绝对值为高,列出三角形面积的函数关系式;

⑤根据二次函数的性质确定最值、对应的点坐标.

2. 对于二次函数与四边形面积的综合题,常常会将其转化为三角形面积进行计算.

3.与图形面积数量关系有关的问题

(1).如果是面积的倍数关系,一般需要用等积变形来解决,即过三角形的一个顶点作它对边的平行线或是从图形中寻找出这样的直线,利用等底同高来进行等积变形,从而实现三角形顶点的转移;

(2).如果过某个顶点的线段平分三角形的面积,则该线段一定过该顶点对边的中点.

类型三 与特殊三角形有关的问题

探究直角三角形的存在性

①先假设结论成立,根据直角顶点的不确定性,分情况讨论;

②找点:当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时,需分情况讨论,具体方法如下:

a. 当定长为直角三角形的直角边时,分别以定长的某一端点作定长的垂线,与坐标轴或抛物线有交点时,此交点即为符合条件的点;

b.当定长为直角三角形的斜边时,以此定长为直径作圆,圆弧与坐标轴或抛物线有交点时,此交点即为符合条件的点;

③计算:把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来,从而表示出三角形的各个边(表示线段时,注意代数式的符号).再利用相似三角形的性质得出比例式,或者利用勾股定理进行计算,或者利用三角函数建立方程求点坐标.

类型四 与特殊四边形有关的问题

1.探究平行四边形的存在性具体方法如下:

(1)假设结论成立;

(2)找点:探究平行四边形的存在性问题,一般是已知两定点求未知点坐标,此时可以分两种情况,分别以这两点所构成的线段为边和对角线来讨论:①以这两点所构成线段为边时,可以利用平行四边形对边平行且相等,画出符合题意的图形;②以这两点所构成线段为对角线时,则该线段的中点为平行四边形对角线的交点,结合抛物线的对称性,画出符合题意的图形.

(3)建立关系式,并计算:根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后,可以利用平行四边形的性质进行计算,也可以利用抛物线的对称性、相似三角形或直角三角形的性质进行计算,要具体情况具体分析,有时也可以利用直线的解析式联立方程组,由方程组的解为交点坐标的方法求解.

2.探究矩形的存在性具体方法如下:

(1)假设结论成立;

(2)分情况讨论:分别以己知的两个定点连线的线段为矩形的长或宽或对角线作出所有的矩形;或者转化为探究直角三角形的存在性问题,分别以两个定点连线的线段为直角三角形的直角边或斜边作出所有符合条件的直角三角形,进而作出矩形;

(3)建立关系式,并计算:根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后,建立方程求解或利用全等三角形、直角三角形的性质进行计算.

3.探究菱形的存在性具体方法如下:

(1)假设结论成立;

(2)分情况讨论:已知两个定点去探究菱形时,以两个定点确定的线段作为要探究的菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形,结合题干要求找出满足条件的菱形;

(3)建立关系式,并计算:根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后,利用菱形的性质进行计算,也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算,要具体情况具体分析.有时也可以利用直线的解析式联立方程组,根据方程组的解为交点坐标的性质求解,在解答时要更好地利用菱形的对角线互相垂直平分,根据对称性可使个别点的坐标求解更简单.

(具体详细讲解及例题说明及练习,关注本人发布文章)

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