“预解式”妙解三次方程，“置换群”拉开群论序幕

18世纪中期，在欧洲，发源于英格兰的“工业革命”迅速向欧洲大陆传播，机器生产逐步取代手工生产；在亚洲，平定准噶尔汗国[乾隆]的清朝疆域达到极盛——1316万平方公里；同时，横跨欧亚两洲的俄罗斯帝国与横跨欧亚非三洲的奥斯曼帝国之间爆发“俄土战争”，俄罗斯帝国取胜。

1763年的欧洲

18世纪的数学，无论在分析还是代数上较17世纪都有了更大的发展。参与研究数学的人越来越多，数学家之间的交流也越来越方便——不用像15、16世纪一样秘密集会、也不用像17世纪一样主要依靠“书信”来往。

18世纪，诞生了许多像欧拉（1707～1783）、拉格朗日（1736~1813）、高斯（1777~1855）这样顶级的数学家。

高斯（1777~1855）

18世纪，更多科学院的成立让数学家之间的交流变得更容易。1700年，由腓特烈一世支持的“柏林科学院”成立——莱布尼茨担任第一任院长，1724年，由彼得大帝支持的“圣彼得堡科学院”成立——早期主要成员有欧拉Euler、丹尼尔Daniel、小尼古拉Nicolaus I 等，1795年，法兰西研究院建立——拉格朗日为首届科学院数理委员会主席。

Euler （1707年4月15日～1783年9月18日）

18世纪，代数的符号表示已经相当成熟（自16世纪韦达以后），三次、四次方程的求根问题（16世纪卡丹以后）也已经解决，x^n-1=0的n个根n等分圆问题也有了一定程度上的突破。数学家们希望进一步解决一元五次方程的求根问题，范德蒙Vandermonde和拉格朗日Lagrange在这方面的工作是首要的。

拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）

Lagrange在研究了多种求解三次、四次方程的方法后，发现一种叫做“预解式”的方法来探寻求根的“内在统一性”，并希望为“五次方程”求根提供启示。

一、预解式的引入

解三次方程

时，无论何种解法都会得到一个6次方程

，这个方程有6个解，但同时

是关于y^3的二次方程，故y^3有两个解。具体的，

注意，y的值被分成了两类：

Lagrange通过运算发现，

，同理，交换式子中的x1,x2,x3的位置可以得到其他5个y值。式子

，因为置换x,能表示出所有的y，Lagrange将其叫做“预解式”。

交换换“预解式”中x1,x2,x3的位置有3！=6种排列形式。其中，置换

交换了所有的xi,而置换

定了一个而变换其他两个。这也是三次方程可以转换为二次方程的缘由。

二、“预解式”解三次方程

所以，A和B是方程

的两根。

由此解出A和B。再根据预解式方程组

三个式子相加得

同理解出x2,x3的值。

三、“预解式”解四次方程

关于四次方程，Lagrange设预解式为

，交换xi可以得到4!=24种排列方式，但是可以分成三类，即四次方程可以转化为y的三次方程。可解。

接下来，Lagrange决定向5次进军，但是却转换成了一个6次方程。这个方法失效了。但是“Lagrange的著作依然是一切关于群论的著作的先导”（《古今数学思想》）

五次方程求根不成，数学家们便开始证明“5次方程无一般求根公式”，19世纪的阿贝尔成功做到了——在Lagrange代换群的基础上，伽罗瓦则更进一部。这部分内容属于高等数学，小编能力有限，不能一一道来。关于“解方程”的历史，我们也以Lagrange的“预解式”作为结尾。

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