七年级下学期几何知识点

Hilbert的《几何基础》的五组公理之一：

1.欧氏几何的平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

任何两点都是平行的，任何一点与任何一平面都是平行的。

2郭氏几何的平行公理：过一条直线之外的点，有且只有一条直线和已知的直线平行。

编辑本段平行公理的推论

概念：平行于同一条直线的两条直线平行

证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c

证明:假使b、c不平行

则b、c交于一点O

又因为a‖b,a‖c

所以过O有b、c两条直线平行于a

这就与平行公理矛盾

所以假使不成立

所以b‖c

由同位角相等，两直线平行，可推出：

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

因为 a‖b,a‖c,

所以 b‖c （平行公理的推论）

编辑本段平行线性质定理

1.两直线平行，同位角相等。

2.两直线平行，内错角相等。

3.两直线平行，同旁内角互补。 4.两线平行并且不在一条直线上的直线 平行线： 1. 平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 AB平行于CD ，AB∥CD 2. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3. 平行公理的推论（平行的传递性）： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ∵a∥c，c ∥b ∴a∥b 平行线的判定

１. 两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成：同位角相等，两直线平行。 ２. 两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行　简单说成：内错角相等，两直线平行。 3 . 两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

平行线的性质 1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等。 ２. 两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 。 3 . 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等。

两个角的数量关系两直线的位置关系　垂直于同一直线的两条直线互相平行 平行线间的距离，处处相等 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 平行线 双绞线的两端采用相同的线序制作出来的称为平行线，使用不同线序制作的称为交叉线。

七年级下学期数学知识梳

第五章 相交线与平行线

一、知识结构图

相交线

相交线 垂线

同位角、内错角、同旁内角

平行线

平行线及其判定

平行线的判定

平行线的性质

平行线的性质

命题、定理

平移

二、知识定义

1.邻补角：有公共顶点且有一条公共边 的，他们的另一边互为反向延长线，两个角是邻补角。 同角的补角相等

2.对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 对顶角相等

3.垂线：垂直是相交的特殊情形。两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，焦点为垂足。

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

4.同位角、内错角、同旁内角：

同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

5.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

6.命题：判断一件事情的语句叫命题。

命题可以写成“如果.....那么.....‘

命题由题设和结论组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推迟的事项。

7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

判断平移的两个条件：1 形状大小不变

2 对应点之间的线段平行且相等

对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动 后得到的，这样的两个点叫做对应点。

第六章

1.有序数对的定义

有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对.记作（a，b）。

2.平面直角坐标系

平面直角坐标系的定义及其基本元素

平面上有公共原点且相互垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.

①水平方向的数轴称为x轴或横轴。

②竖直方向的数轴称为y轴或纵轴.

③x轴、y轴统称为坐标轴。

④公共原点称为坐标原点.

⑤象限的概念：两坐标轴将平面分成四个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限.（图形）

3.坐标：（1、3）只能在平面内有一点，这点P我们就用（1、3）表示，这样的有序实数对叫做点的坐标.

4.象限：各象限内点的坐标符号的特点

第一象限的点的坐标为（+、+）第二象限的点的坐标为（-、+）

第三象限的点的坐标为（-、-）第四象限的点的坐标为（+、-）

坐标轴上的点不在任何一个象限内.

5.规律。拓展延伸

①点P（a，b）到x轴的距离为│b│，到y轴距离为│a│，到原点距离为

；

②点P（a，b）：若点P在x轴上 -----a为任意实数，b=0；

P在y轴上 ----- a=0，b为任意实数；

P在一，三象限坐标轴夹角平分线上----a=b；

P在二，四象限坐标轴夹角平分线上----a=－b；

③A（x₁，y₁），B（x₁，y₂）：

A，B关于x轴对称------x₁=x₂，y₁=－y₂；

A、B关于y轴对称------ x₁=－x₂，y₁=y₂；

A，B关于原点对称------x₁=－x₂，y₁=－y₂．

在平面直角坐标系中，

P（x，y） 向右（或左）平移a个单位 --对应点（x＋a，y）（或x－a，y）； P（x，y）向上（或下）平移b个单位 --对应点（x，y＋b）（或x，y－b）.

第七章三角形

1. 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边.

3. 三角形的表示：三角形用符号“△”表示， 读做“三角形”.

如图：图中AB、BC、CA是三角形的边，有时也用a，b，c表示；点A、B、C是三角形的顶点；∠A、∠B、∠C是三角形的角；三角形ABC记作“△ABC”，读做“三角形ABC”.

1.三角形的边：三角形的两边之和大于第三边（多用于判断）

a-b<c<a+b （a-b>0）

2.三角形的高，中线和角平分线

三角形的高：由三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间线段，叫做这个三角形的高.

三角形的高及其有关结论

1.画出三角形ABC的三条高.

三角形高的位置与三角形的形状有关，锐角三角形的三条高在三角形内部；钝角三角形的三条高有两条高在三角形的外部；直角三角形有两条高与直角边重合.

2.锐角三角形ABC的三条高交于一点，交点在三角形内部；钝角三角形ABC三条高不交于一点，但高所在的直线交于一点；直角三角形ABC的三条高交于一点，交点为直角顶点A.

3.因为S＝

BC×AD=

AC×BE=

AB×CF，所以BC×AD=AC×BE=AB×CF.

三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线.

1.在三角形ABC中画出所有中线.

2.无论什么形状的三角形，三条边上的中线均在三角形内，并交于一点.

3.由AF=BF=

AB，BD=DC=

BC，AE=CE=

AC，所以S_△ACF=S_△BCF=S_△ABD=S_△ADC=S_△ABE=S_△BCE.

三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线.

、三角形角平分线及其有关结论

1.画出△ABC所有的角平分线.

【注意】三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.

2.无论什么形状的的三角形，三个角的平分线都在三角形内部，并相交于一点.

内容直接考的很少，但是经常与其他知识综合考查，像什么作高求面积，利用角平分线求角度，利用中线求线段等等.

多边形内角和镶嵌

3.三角形的稳定性

四与三角形有关的角

1 三角形内角和定理：三角形内角和等于180°.

三角形内角和反映了三角形三个内角之间的关系，是解决任意三角形关于内角的证明和计算问题的重要依据之一，利用它可以解决以下问题：

（1）计算角度的大小，以及利用求出的角度来判断三角形的形状和证明直线垂直.解决这样的问题常常需要设未知数列方程求解.

（2）证明角相等.

（3）证明角的和、差、倍、分关系.

（4）证明角之间的不等关系.

2.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

1.三角形的外角必须满足三个条件：

（1）顶点与三角形的一个内角的顶点重合（即共顶点）；

（2）一边是三角形的一边（即共边）；

（3）另一边是三角形一边的延长线（即共线）.

如图，∠ACD是三角形ABC的外角，与三角形ABC有公共顶点C，公共边AC，CD在BC的延长线上.

2.三角形外角的个数

一个三角形共有六个外角，它们是三对对顶角，在研究和外角有关的问题时，通常在一个顶点处只取一个外角.

如图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6都是三角形ABC的外角.

3.三角形的外角与相邻的内角是邻补角的关系，与不相邻的内角是不等的关系.

如上图，∠1是三角形ABC的外角，∠1与∠A是邻补角.因为∠1＝∠B+∠C，所以∠1与∠B、∠1与∠C都是不等关系.

4.三角形的外角和是360°.

如下图，因为∠1和∠BAC是邻补角，所以∠1＋∠BAC＝180°.同理∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°.所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.

又因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.即三角形ABC的外角和是360°.

3.三角形外角的性质

（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

4.常用辅助线的做法：

（1）说明角的关系时，如果没有现存的外角可以使用，通常要延长某个角的一边.

（2）在进行角度计算时，为了能使用三角形内角和定理和外角性质，通常要构造三角形，这时需要连结某些线段或延长某些线段.

多边形及其内角和

1.多边形的有关概念

（1）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

（2）多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.

（3）多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

（4）连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

（5）凸四边形

2.正多边形：各角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形.

3.从n边形一个顶点出发,有n-3条对角线，它们把n边形分为n-2个三角形

3.n边形内角和：n边形的内角和为（n－2）×180°.

4.多边形外角和：多边形的外角和等于360°.

对于n边形的内角和公式：n边形的内角和＝（n－2）×180°，其推导方法主要有以下几种：

课本方法：从一个顶点出发引n边形的（n－3）条对角线，把n边形分割为（n－2）个三角形（如图1），则这（n－2）个三角形的内角和就是n边形的内角和，从而得到：n边形的内角和＝（n－2）×180°；

方法二：在n边形内任取一点，然后把这一点与各顶点连结，将n边形分割为n个三角形（如图2），这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多了一个周角360°，因此n边形的内角和＝180°×n－360°＝（n－2）×180°；

方法三：在n边形的一边上取一点，把这一点与各顶点连结，把n边形分割为（n－1）个三角形（如图3），这些三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个平角，因此，n边形的内角和＝（n－1）×180°－180°＝（n－2）×180°；

方法四：在n边形外任取一点，然后把这一点与各顶点连结，将n边形分割为n个三角形（如图4），这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多出了两个三角形内角和，因此n边形的内角和＝n×180°－2×180°＝（n－2）×180°.

5.平面镶嵌：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行衔接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.