理解线性代数核心思想：相似矩阵及左乘右乘的意义

线性代数到底在讲什么？

不理解的知识，当然不会用！

本课程是专栏《20堂课极速理解线性代数》的精华凝炼图文版，10堂课帮助您真正从直观角度理解、消化、吸收线性代数的核心概念与核心算法。

左乘和右乘分别是什么意义

对于矩阵乘法的本质意义有了初步的认识后，对于许多应用场景就非常清晰了，一般都是“方法x对象”，或者具体地讲几何意义，即“坐标系x坐标”。

解释一句：

坐标系 代表着运动，因为运动是相对的，坐标系的运动就意味着坐标的运动。

而运动，就是对于坐标这个对象，施加了一个方法，数学里称为“变换”。

但是，有时候还是会遇到一种特殊的应用，那就“坐标x坐标系”，这让人很糊涂，不知道什么时候左乘，什么时候右乘。

上个典型例子

咱们研究矩阵P（对象），对于P进行左乘，可视化后，比较容易理解：

P 左乘A，表示P 进行了A 变换，A 是在绝对坐标系I中表示的。

所以其实，AP 也可以写成 IAP，因为A就是在 I 中这么表示的。

而右乘呢？

注意看，PB 中的两个箭头，分别是P中箭头的1倍长和2倍长，而并没有改变方向，足以看出与上面左乘的区别。

还是研究矩阵P，这时P在左，B在右，意义是：

P 右乘B，表示P 进行了B 变换，B 是在相对坐标系P中表示的。

再解释一下，这里的B，并不是我们实际看到的B，而是在相对坐标系P中表示为B。

上面的A是在绝对坐标系I中表示为A。

左乘与右乘意义

无论左乘右乘，如果认定P是对象，那么A 和B 就都是“方法/坐标系”，惟一区别是，左乘的A是在绝对坐标系中表示的，而右乘的B是在相对坐标系中表示的。

再总结一下：

一个矩阵的意义，往往是，理解为它是在它左面那个矩阵的坐标系里表示的，比较好理解。

相似矩阵

上面我们研究了AP 和 PB，是为了由此引出相似矩阵的意义，如果有：