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小学数学应用题21种类型总结(下)(附例题、解题思路)

2019-02-28  eln

列车问题


【含义】

这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】

火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速

火车追及:追及时间=(甲车长+乙车长+距离)

÷(甲车速-乙车速)

火车相遇:相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)

÷(甲车速+乙车速)

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?

火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。

(1)火车3分钟行多少米?900×3=2700(米)

(2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米)

列成综合算式900×3-2400=300(米)

答:这列火车长300米。

例2

一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米?

火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒,所走的路程是(8×125)米,这段路程就是(200米+桥长),所以,桥长为

8×125-200=800(米)

答:大桥的长度是800米。

例3

一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶,一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间?

从追上到追过,快车比慢车要多行(225+140)米,而快车比慢车每秒多行(22-17)米,因此,所求的时间为

(225+140)÷(22-17)=73(秒)

答:需要73秒。

例4

一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶,有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来,那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间?

如果把人看作一列长度为零的火车,原题就相当于火车相遇问题。

150÷(22+3)=6(秒)

答:火车从工人身旁驶过需要6秒钟。


时钟问题


【含义】

就是研究钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】

分针的速度是时针的12倍,

二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】

变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1

从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合?

钟面的一周分为60格,分针每分钟走一格,每小时走60格;时针每小时走5格,每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整,时针在前,分针在后,两针相距20格。所以

分针追上时针的时间为20÷(1-1/12)≈22(分)

答:再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2

四点和五点之间,时针和分针在什么时候成直角?

钟面上有60格,它的1/4是15格,因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候,分针在时针后(5×4)格,如果分针在时针后与它成直角,那么分针就要比时针多走(5×4-15)格,如果分针在时针前与它成直角,那么分针就要比时针多走(5×4+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。

(5×4-15)÷(1-1/12)≈6(分)

(5×4+15)÷(1-1/12)≈38(分)

答:4点06分及4点38分时两针成直角。

例3

六点与七点之间什么时候时针与分针重合?

六点整的时候,分针在时针后(5×6)格,分针要与时针重合,就得追上时针。这实际上是一个追及问题。

(5×6)÷(1-1/12)≈33(分)

答:6点33分的时候分针与时针重合。


盈亏问题


【含义】

根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】

一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有:

参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差

如果两次都盈或都亏,则有:

参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差

参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差

【解题思路和方法】

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?

按照“参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差”的数量关系:

(1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人)

(2)有多少个苹果?3×12+11=47(个)

答:有小朋友12人,有47个苹果。

例2

修一条公路,如果每天修260米,修完全长就得延长8天;如果每天修300米,修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?

题中原定完成任务的天数,就相当于“参加分配的总人数”,按照“参加分配的总人数=(大亏-小亏)÷分配差”的数量关系,可以得知

原定完成任务的天数为

(260×8-300×4)÷(300-260)=22(天)

这条路全长为300×(22+4)=7800(米)

答:这条路全长7800米。

例3

学校组织春游,如果每辆车坐40人,就余下30人;如果每辆车坐45人,就刚好坐完。问有多少车?多少人?

本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”,于是就有

(1)有多少车?(30-0)÷(45-40)=6(辆)

(2)有多少人?40×6+30=270(人)

答:有6辆车,有270人。


工程问题


【含义】

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】

解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量=工作效率×工作时间

工作时间=工作量÷工作效率

工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)

【解题思路和方法】

变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1

一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成?

题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成,每天完成这项工程的1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。

由此可以列出算式:1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)

答:两队合做需要6天完成。

例2

一批零件,甲独做6小时完成,乙独做8小时完成。现在两人合做,完成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个?

解一

设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6-1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小时,这个时间内,甲比乙多做24个零件,所以

(1)每小时甲比乙多做多少零件?

24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(个)

(2)这批零件共有多少个?

7÷(1/6-1/8)=168(个)

答:这批零件共有168个。

解二

上面这道题还可以用另一种方法计算:

两人合做,完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3

由此可知,甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7

所以,这批零件共有24÷1/7=168(个)

例3

一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成,丙独做15小时完成。现在甲先做2小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成?

必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示,就会给计算带来方便,因此,我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数,例如最小公倍数60,则甲乙丙三人的工作效率分别是

60÷12=560÷10=660÷15=4

因此余下的工作量由乙丙合做还需要

(60-5×2)÷(6+4)=5(小时)

答:还需要5小时才能完成。

例4

一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满,至少要打开多少个进水管?

注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程,水的流量就是工作量,单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满,即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1,其余两个量便可由条件推出。

我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为(1×4×5),2个进水管15小时注水量为(1×2×15),从而可知

每小时的排水量为(1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1

即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知

一池水的总工作量为1×4×5-1×5=15

又因为在2小时内,每个进水管的注水量为1×2,

所以,2小时内注满一池水

至少需要多少个进水管?(15+1×2)÷(1×2)

=8.5≈9(个)

答:至少需要9个进水管。


正反比例问题


【含义】

两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】

判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。

【解题思路和方法】

解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1

修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?

由条件知,公路总长不变。

原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12

现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12

比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于(4-3)份,从而知公路总长为300÷(4-3)×12=3600(米)

答:这条公路总长3600米。

例2

张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?

做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X

28X=91×4X=91×4÷28X=13

答:91分钟可以做13道应用题。

例3

孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完?

书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设X天可以看完,就有24∶36=X∶15

36X=24×15X=10

答:10天就可以看完。


按比例分配问题


【含义】

所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。

【数量关系】

从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和

【解题思路和方法】

先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。

例1

学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?

总份数为47+48+45=140

一班植树560×47/140=188(棵)

二班植树560×48/140=192(棵)

三班植树560×45/140=180(棵)

答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2

用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?

3+4+5=1260×3/12=15(厘米)

60×4/12=20(厘米)

60×5/12=25(厘米)

答:三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3

从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。

如果用总数乘以分率的方法解答,显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解,则很容易得到

1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

9+6+2=1717×9/17=9

17×6/17=617×2/17=2

答:大儿子分得9只羊,二儿子分得6只羊,三儿子分得2只羊。

例4

某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人?

80÷(12-8)×(8+12+21)=820(人)

答:三个车间一共820人。


百分数问题


【含义】

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是1%,两个百分点就是2%。

【数量关系】

掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系:

百分数=比较量÷标准量

标准量=比较量÷百分数

【解题思路和方法】

一般有三种基本类型:

(1)求一个数是另一个数的百分之几;

(2)已知一个数,求它的百分之几是多少;

(3)已知一个数的百分之几是多少,求这个数。

例1

仓库里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的与剩下的各占原重量的百分之几?

(1)用去的占720÷(720+6480)=10%

(2)剩下的占6480÷(720+6480)=90%

答:用去了10%,剩下90%。

例2

红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,男职工人数比女职工少百分之几?

本题中女职工人数为标准量,男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)÷525=0.2=20%

或者1-420÷525=0.2=20%

答:男职工人数比女职工少20%。

例3

红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,女职工比男职工人数多百分之几?

本题中以男职工人数为标准量,女职工比男职工多的人数为比较量,因此

(525-420)÷420=0.25=25%

或者525÷420-1=0.25=25%

答:女职工人数比男职工多25%。

例4

红旗化工厂有男职工420人,有女职工525人,男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?

(1)男职工占420÷(420+525)=0.444=44.4%

(2)女职工占525÷(420+525)=0.556=55.6%

答:男职工占全厂职工总数的44.4%,女职工占55.6%。


“牛吃草”问题


【含义】

“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】

草总量=原有草量+草每天生长量×天数

【解题思路和方法】

解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1

一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?

草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5天内的草总量要5天吃完的话,得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:

(1)求草每天的生长量

因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以

1×10×20=原有草量+20天内生长量

同理1×15×10=原有草量+10天内生长量

由此可知(20-10)天内草的生长量为

1×10×20-1×15×10=50

因此,草每天的生长量为50÷(20-10)=5

(2)求原有草量

原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100

(3)求5天内草总量

5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125

(4)求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃完草需要牛的头数125÷5=25(头)

答:需要5头牛5天可以把草吃完。

例2

一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘

水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?

这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:

(1)求每小时进水量

因为,3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量

10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量

所以,(10-3)小时内的进水量为1×5×10-1×12×3=14

因此,每小时的进水量为14÷(10-3)=2

(2)求淘水前原有水量

原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30

(3)求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是

30÷(17-2)=2(小时)

答:17人2小时可以淘完水。


鸡兔同笼问题


【含义】

这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】

第一鸡兔同笼问题:

假设全都是鸡,则有

兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)

假设全都是兔,则有

鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)

第二鸡兔同笼问题:

假设全都是鸡,则有

兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)

假设全都是兔,则有

鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)

【解题思路和方法】

解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。

例1

长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?

假设35只全为兔,则

鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)

兔数=35-23=12(只)

也可以先假设35只全为鸡,则

兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

鸡数=35-12=23(只)

答:有鸡23只,有兔12只。

例2

2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?

此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜,则有

白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)

答:白菜地有10亩。

例3

李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本3.20元,日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?

此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本,则有

作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)

日记本数=45-15=30(本)

答:作业本有15本,日记本有30本。

例4

(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?

假设100只全都是鸡,则有

兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)

鸡数=100-20=80(只)

答:有鸡80只,有兔20只。

例5

有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人?

假设全为大和尚,则共吃馍(3×100)个,比实际多吃(3×100-100)个,这是因为把小和尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数100不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此,共有小和尚

(3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)

共有大和尚100-75=25(人)

答:共有大和尚25人,有小和尚75人。


方阵问题


【含义】

将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】

(1)方阵每边人数与四周人数的关系:

四周人数=(每边人数-1)×4

每边人数=四周人数÷4+1

(2)方阵总人数的求法:

实心方阵:总人数=每边人数×每边人数

空心方阵:总人数=(外边人数)?-(内边人数)?

内边人数=外边人数-层数×2

(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:

总人数=(每边人数-层数)×层数×4

【解题思路和方法】

方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。

例1

在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?

22×22=484(人)

答:参加体操表演的同学一共有484人。

例2

有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。

10-(10-3×2)?

=84(人)

答:全方阵84人。

例3

有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是28人,这队学生共多少人?

(1)中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14(人)

(2)中空方阵内层每边人数=28÷4-1=6(人)

(3)中空方阵的总人数=14×14-6×6=160(人)

答:这队学生共160人。

例4

一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?

(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)

(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷2=7(只)

(3)原有棋子数=7×7-9=40(只)

答:棋子有40只。

例5

有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?

第一种方法:1+2+3+4+5=15(棵)

第二种方法:(5+1)×5÷2=15(棵)

答:这个三角形树林一共有15棵树。

小学数学应用题21种类型总结(下)(附例题、解题思路)

小学数学应用题21种类型总结(下)(附例题、解题思路)

小学数学应用题21种类型总结(下)(附例题、解题思路)

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