第2讲基本初等函数、函数与方程高考定位1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真题感悟解析f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，答案C答案D解析函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.答案C4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.答案30考点整合1.指数式与对数式的七个运算公式2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当00，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()解析(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称.因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.(2)∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，答案(1)B(2)A探究提高1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝lnt的单调性，忽视t>0的限制条件.【训练1】(1)函数y＝ln|x|－x2的图象大致为()解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.答案(1)C(2)3探究提高1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.2.判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f(x)＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.解析f(x)＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin2x与y2＝x2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.答案2答案(4，8)探究提高1.求解本题的关键在于转化为研究函数g(x)的图象与y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)的交点个数问题：常见的错误是误认为y＝2a，y＝a是两条直线，忽视x的限制条件.2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】(2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是________.此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.∴隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.探究提高解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.答案B1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a>0，且a≠1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标. (2)零点存在性定理注意两点： ①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.3.利用函数的零点求参数范围的主要方法： (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：1.(2017·全国卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()
A.－B. C. D.1
∴2a－1＝0，解得a＝.
2.(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log，则a，b，c的大小关系是()
A.a>b>cB.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
解析c＝log＝log23，a＝log2e，由y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，知c>a>1.又b＝ln2<1，故c>a>b.
3.(2018·全国卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()
A.[－1，0)B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)
解析一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)loga＝logaM－logaN；
(5)logaMn＝nlogaM；
(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).
.
(2)(2018·济南质检)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g(x)＝在R上有最大值，则a的取值范围为()
A.B.
C. D.∪
当x≤时，g(x)＝4x(0，2]，又g(x)＝在R上有最大值，
∴log|a|≤2，|a|2≤，则|a|≤，又a≤－，－≤a≤－.
∴∴a≤－，a(a＋1)≠0，|a|∈∪(1，＋∞).
则当x>时，log|a|x≤2，且|a|，
(2)(2018·西安调研)设函数f(x)＝则满足f[f(t)]＝2f(t)的t的取值范围是________.
若f(t)<1，由f[f(t)]＝2f(t)，可知f(t)＝－1，所以t＋＝－1，得t＝－3.
解析(1)易知y＝ln|x|－x2是偶函数，排除B，D.当x>0时，y＝lnx－x2，则y′＝－2x，当x时，y′＝－2x>0，y＝lnx－x2单调递增，排除C.A项满足.
(2)若f(t)≥1，显然成立，则有或解得t≥－.
综上，实数t的取值范围是.
答案(1)A(2)
热点二函数的零点与方程
考法1确定函数零点个数或其存在范围
【例2－1】(1)函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为()
A.B. C.(1，2)D.(2，3)
(2)(2018·全国卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________.
f(1)＝log21－＝0－1＜0，
f(3)＝log23－＞1－＝＞0，即f(1)·f(2)＜0，
f＝log2－＝－1－2＝－3＜0，
f(2)＝log22－＝1－＝＞0，
∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1，2)内.
(2)由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，kZ，所以x＝＋，kZ，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.
【训练2】函数f(x)＝2sinxsin－x2的零点个数为________.
考法2根据函数的零点求参数的取值或范围
【例2－2】(2018·天津卷)已知a>0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________.
解析当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x>0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝作出y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a<<2a，解得4
答案－
解析令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
热点三函数的实际应用
【例3】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.令3x＋5＝t，t[5，35]，
解(1)当x＝0时，C＝8，k＝40，C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
则y＝2t＋－10≥2－10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，
【训练4】(2018·大连质检)某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为()
A.5海里B.海里
C.5海里D.10海里
解析设中转站M到B处的距离为x海里，修造管道的费用为y，陆地上单位长度修建管道的费用为a，依题意，y＝a(3＋100－x)，0≤x≤100，则y′＝a＝a.令y′＝0，得3x＝，解得x＝.当x＝时，y取得最小值.
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.
(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.
(3)构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.
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