神经网络-全连接层（3）

高教帮 2019-03-12

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上一回我们聊完了算法，这回我们正式开始写代码。上回在做公式推导的时候，我们实际上只是针对一个数据样本进行推导，而实际中，计算和训练都是一批一批完成的。大多数机器学习训练都有batch的概念，而训练中batch的计算不是一个一个地算，而是一批数据集中算，那么就需要用上矩阵了。

首先给出Loss的代码，这里y和t都是按列存储的，每一列都是一个样本：

class SquareLoss:
def forward(self, y, t):
self.loss = y - t
return np.sum(self.loss * self.loss) / self.loss.shape[1] / 2
def backward(self):
return self.loss

为了代码的简洁，我们在前向运算的时候就把一些后向计算的信息都保存起来，这样在后向计算的时候就能简单点。这样这个类就不能具备多线程的特性了，不过想支持多线程的功能还有别的办法。后面的全连接层也会采用同样的思路——前向为后向准备运算数据。

上一节我们讲了1个例子，输入有2个元素，第一层有4个输出，第2层有1个输出。我们假设训练数据有N个，我们对所有相关的训练数据和参数做以下的约定：

所有的训练数据按列存储，也就是说如果把N个数据组成一个矩阵，那个矩阵的行等于数据特征的数目，矩阵的列等于N
线性部分的权值w由一个矩阵构成，它的行数为该层的输入个数，列数为该层的输出个数。如果该层的输入为2，输出为4，那么这个权值w的矩阵就是一个2*4的矩阵。
线性部分的权值b是一个行数等于输出个数，列数为1的矩阵。

基于上面的规则，我们把上一节的例子以批量数据的形式画成了下面一张图：

这张图从左往右有三个部分：

最左边是神经网络的结构图，可以看出里面的数据x,z和参数w,b都符合我们刚才对数据组织的定义。
中间是神经网络前向的过程。一共分为5步，其中最后一步用来计算Loss。
最右边是神经网络反向的过程。这里需要仔细看一下。为了表达上的简洁，我们用残差符号表达Loss对指定变量的偏导数。同时为了更加简洁地表达梯度计算的过程，在这个过程中我们对其中一个矩阵做了矩阵转置，这样可以确保最终输出维度的正确。

对于上图右边的部分，需要认真地看几遍，最好能仔细地推导一遍，才能更好地掌握这个推导的过程，尤其是为了维度对矩阵做转置这部分。

看懂了上面的图，接下来要做的就是对上面的内容进行总结，写出最终的矩阵版后向传播算法：

class FC:
def __init__(self, in_num, out_num, lr = 0.1):
self._in_num = in_num
self._out_num = out_num
self.w = np.random.randn(in_num, out_num)
self.b = np.zeros((out_num, 1))
self.lr = lr
def _sigmoid(self, in_data):
return 1 / (1 + np.exp(-in_data))
def forward(self, in_data):
self.topVal = self._sigmoid(np.dot(self.w.T, in_data) + self.b)
self.bottomVal = in_data
return self.topVal
def backward(self, loss):
residual_z = loss * self.topVal * (1 - self.topVal)
grad_w = np.dot(self.bottomVal, residual_z.T)
grad_b = np.sum(residual_z)
self.w -= self.lr * grad_w
self.b -= self.lr * grad_b
residual_x = np.dot(self.w, residual_z)
return residual_x

好了，现在我们有了Loss类和全连接类，我们还需要一个类把上面两个类串联起来，这里为了后面的内容我们定义了许多默认变量：

class Net:
def __init__(self, input_num=2, hidden_num=4, out_num=1, lr=0.1):
self.fc1 = FC(input_num, hidden_num, lr)
self.fc2 = FC(hidden_num, out_num, lr)
self.loss = SquareLoss()
def train(self, X, y): # X are arranged by col
for i in range(10000):
# forward step
layer1out = self.fc1.forward(X)
layer2out = self.fc2.forward(layer1out)
loss = self.loss.forward(layer2out, y)
# backward step
layer2loss = self.loss.backward()
layer1loss = self.fc2.backward(layer2loss)
saliency = self.fc1.backward(layer1loss)
layer1out = self.fc1.forward(X)
layer2out = self.fc2.forward(layer1out)
print 'X={0}'.format(X)
print 't={0}'.format(y)
print 'y={0}'.format(layer2out)

代码是写完了，可是我们还需要验证一下自己的代码是不是正确的。一般来说我们会采用一些近似方法计算验证梯度是否正确，而现在，有一个博客为我们做了这件事情：

A Step by Step Backpropagation Example

http://link.zhihu.com/?target=https%3A//mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/

把我们的代码用博客上数据和结果做一下验证，就可以帮助我们修正代码做好debug。其实上面的代码本来也不多，可能犯错的地方也不多。

一些具体的例子

一个经典的例子就是用神经网络做逻辑运算。我们可以用一个两层神经网络来模拟模拟与运算。下面就是具体的代码：

# and operation

X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]]).T

y = np.array([[0],[0],[0],[1]]).T

net = Net(2,4,1,0.1)

net.train(X,y)

以下是调用代码给出的结果，可以看出最终的结果效果还不错，经过10000轮的迭代，最终模型给出的结果和我们的期望结果十分相近，实际上如果我们继续进行迭代，这个算法的精度还可以进一步地提高，Loss可以进一步地减少：

iter = 0, loss =0.105256639066

=== Label vs Prediction ===

t=[[0 0 0 1]]

y=[[ 0.40930536 0.4617139 0.36923076 0.4299025 ]]

iter = 1000, loss =0.0229368486589

=== Label vs Prediction ===

t=[[0 0 0 1]]

y=[[ 0.04445123 0.22684496 0.17747671 0.68605373]]

iter = 2000, loss =0.00657594469044

=== Label vs Prediction ===

t=[[0 0 0 1]]

y=[[ 0.01057127 0.11332809 0.11016211 0.83411794]]

iter = 3000, loss =0.00322081318498

=== Label vs Prediction ===

t=[[0 0 0 1]]

y=[[ 0.00517544 0.07831654 0.07871461 0.88419737]]

iter = 4000, loss =0.00201059297485

=== Label vs Prediction ===

t=[[0 0 0 1]]

y=[[ 0.00336374 0.06171018 0.0624756 0.90855558]]

iter = 5000, loss =0.00142205310651

=== Label vs Prediction ===

t=[[0 0 0 1]]

y=[[ 0.00249895 0.05189239 0.05257126 0.92309992]]

iter = 6000, loss =0.00108341055769

=== Label vs Prediction ===

t=[[0 0 0 1]]

y=[[ 0.00200067 0.04532728 0.04585262 0.93287134]]

iter = 7000, loss =0.000866734887908

=== Label vs Prediction ===

t=[[0 0 0 1]]

y=[[ 0.00167856 0.04058314 0.04096262 0.9399489 ]]

iter = 8000, loss =0.000717647908313

=== Label vs Prediction ===

t=[[0 0 0 1]]

y=[[ 0.00145369 0.03696819 0.0372232 0.94534786]]

iter = 9000, loss =0.000609513241467

=== Label vs Prediction ===

t=[[0 0 0 1]]

y=[[ 0.00128784 0.03410575 0.03425751 0.94962473]]

=== Final ===

X=[[0 0 1 1]

[0 1 0 1]]

t=[[0 0 0 1]]

y=[[ 0.00116042 0.03177232 0.03183889 0.95311123]]

记得初始化

初始化是神经网络一个十分重要的事情，我就不说三遍了，来个实验，如果我们把所有的参数初始化成0，会发生一个可怕的事情：

X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]]).T

y = np.array([[0],[0],[0],[1]]).T

net = Net(2,4,1,0.1)

net.fc1.w.fill(0)

net.fc2.w.fill(0)

net.train(X,y)

print "=== w1 ==="

print net.fc1.w

print "=== w2 ==="

print net.fc2.w

直接看结果：

=== Final ===X=[[0 0 1 1][0 1 0 1]]t=[[0 0 0 1]]y=[[ 3.22480024e-04 2.22335711e-02 2.22335711e-02 9.57711099e-01]]=== w1 ===[[-2.49072772 -2.49072772 -2.49072772 -2.49072772][-2.49072772 -2.49072772 -2.49072772 -2.49072772]]=== w2 ===[[-3.373125][-3.373125][-3.373125][-3.373125]]

不但没有训练出合理的结果，而且每一层的参数还都是一样的。

但是如果把每层参数设为不同的固定值呢？

X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]]).T

y = np.array([[0],[0],[0],[1]]).T

net = Net(2,4,1,0.1)

net.fc1.w.fill(1)

net.fc2.w.fill(0)

net.train(X,y)

print "=== w1 ==="

print net.fc1.w

print "=== w2 ==="

print net.fc2.w