 引子 1879年，是不寻常的一年：爱因斯坦出生、麦克斯韦去世、爱迪生发明了电灯泡、冯特创立了现代心理学……。但我这里要说的是一个普通的研究生，一位约翰·霍普金斯大学的研究生，在专心地做物理实验——就是在通有电流的导体中，施加了一个垂直于电流方向的磁场，竟然发现导体中产生出一个垂直于电流方向的横向电压。 惊讶！导体中有电流通过，那是因为有纵向电压，所以才有了纵向电流。但加了一个磁场后，导体竟然出现了横向电压。如此重大的发现，令这位研究生兴奋不已，这位研究生的名字是大厅（Hall），音译为霍尔。这个发现就是霍尔效应（Hall Effect）。 实验本身 现在我们要展开说说这个实验，让大家清清楚楚地感受这个效应。 先设置一个三维直角坐标系，三个互相垂直的坐标轴X\Y\Z，然后将一个长方体的金属板沿着X轴方向放置，就是把金属板的长度方向与X轴方向保持一致，宽度方向与Y轴保持一致，厚度方向与Z轴保持一致。以后我们把这个金属板就叫做导体板。 如果我们在金属板两端施加电压，则会有电流从导体板通过，电流I的方向就是X轴方向，也就是说电流是沿着导体板长度方向走的。 正当电流沿着X轴方向轻轻松松走着的时候，这位名叫霍尔的研究僧起了坏心思，他要对这个载流导体板加一个磁场，而且这个外加磁场的方向是垂直于这个板子的，也就是说这个磁场B是沿着Z轴方向的，所以这个磁场B也是垂直于电流I的方向的。 一旦加了这个外磁场后，霍尔发现导体板两侧就出现了横向电势差（电势差就是电压），我们将之记做U。 这个发现就是霍尔效应，令当时的科学界很震动：纵向电流中竟然出现了横向电势差，你霍尔是相当的效应啊。 看到这里，很多读者不免冷笑起来：这有什么呀。不就是运动电荷受到了磁场的洛伦兹力嘛，有什么大惊小怪的。 朋友，话不能这样说！霍尔发现霍尔效应的时候，那是在1879年，汤姆生（约瑟夫·约翰·汤姆逊）才发现电子。也就是说，霍尔所处的时代，根本不知道世间有电子这个玩意儿，更不知道金属导电的原理。所以科学界觉得霍尔效应非常神奇。而现在，一个高中生都可以很好地解释霍尔效应，因为高中生都知道，磁场对运动电荷会产生洛伦兹力，力的方向由左手定则来判断。
霍尔效应的解释 我们刚才将导体板沿着X轴方向放置，电流I的方向就是X轴的方向，这意味着金属导体板受到X轴方向的电场，记做Ex，然后我们又外加了一个磁场，磁场方向是沿着Z轴的，所以记做Bz。 这个外加磁场Bz就会对导体板内的电流产生作用。确切地说，会对导体板内运动的电子产生洛伦兹力，导致电子的运动发生偏转，由左手定则判断，电子会沿着负Y轴方向运动。 此时，有人陷入困惑，有人略显震惊，当然也有人不看了。本来电子在横向电场Ex的作用下，沿着X轴反向运动（因为电子的运动方向与电流的方向的相反的），外加磁场Bz一上，电子又要沿着负Y轴做纵向运动，那岂不乱了套？ 最多乱一会儿，马上就会恢复正常，为啥呢？当电子在磁场作用下，沿着负Y轴纵向偏转，也就是电子向导体板下端运动，不断地在导体板下端聚集负电荷，与此同时，导体板上端就不断地聚集起了正电荷。如此这般，就在Y轴方向形成了一个电场，此所谓霍尔电场，记做Ey。电子在这个纵向霍尔电场中会受到一种力，当然是电场力，方向就是Y轴方向。现在就有意思了，一方面磁场对运动电子有洛伦兹力，是负Y轴方向。而新形成的霍尔电场对电子又产生了电场力，是Y轴方向。这两种力可谓是针锋相对，相互拉扯。 随着导体板两端的正负电荷越聚越多，这个纵向的霍尔电场就越来越大，它所产生的霍尔电场力就会阻止电子进一步向下端偏转。一旦电子所受到的霍尔电场力大到了与洛伦兹力相等，也就是双方势均力敌了，那这个这两个方向相反的力就会达到一种平衡，电子的向下移动就会终止，那电子就又会老老实实地沿着X轴反方向(原方向)运动了，最终导体板中就只有沿着X轴方向的电流了。
但纵向的霍尔电场始终保持着，一直抵消这洛伦兹力。既然有霍尔电场，当然就会有相应的霍尔电压，我们将之记做UH。 那么，这个霍尔电压是多少呢？总应该有个理论计算公式吧。那就是： 公式中UH是霍尔电压，I是电流强度，B是外加磁场的磁感应强度，d是导体板的厚度，K是比例系数。 由此我们明白，霍尔电压UH与导体电流I成正比，与磁感应强度B成正比，与导体板的厚度d成反比。 这个霍尔电压为什么直到霍尔才被发现，就是因为它的数值很小、很小，不太容易测出来。我们从公式可以看出来，要想让霍尔电压足够大，就要让分母d特别小。d是啥，导体板的厚度，所以我们必须要用特别薄的板子，要薄到让我们觉得它就没有厚度，这板子无厚的境界，就是从三维将到二维的板子，仿佛只有长度和宽度，只有霍尔电压才明显，才能感受到霍尔效应。 霍尔精神 看到这里，有人会有这样的感觉，这个研究僧霍尔就是运气好，随便加了个磁场，顺便测了一下电压，结果发现了霍尔效应。事情真的是如此吗？ 首先，我们要知道，在霍尔发现霍尔效应之前，科学界早就发现磁场对通电导线有作用力，就是安培力，就是安培这位物理学家在1820年发现磁场对电流有作用。 但是大物理学家麦克斯韦对此有自己的解读，他认为“在磁场中的通电导体受到的机械力不是作用于电流上的，而是作用在导体上的”，大家能明白麦克斯韦的意思吧，这个力不是作用在电流上的，而是作用在导体上的。作为研究僧的霍尔捧着麦克斯韦的经典巨著《电和磁》，读到这一句的时候，不禁满腹狐疑，这麦克斯韦是在胡说吧？
不过，麦克斯韦毕竟是电磁学的大权威，研究僧霍尔还是有点儿心虚，又去请教自己的导师罗兰。罗兰一听自己学生的质疑，非常高兴:我也觉得麦克斯韦是在胡说，我当初做过实验想反驳他，但没弄成，你赶快去做！ 有导师的支持，至少毕业不成问题了，所以霍尔就开始大干了起来。前面我们说过，当时电子还没发现，金属经典电子理论更没有建立，那霍尔怎么思考问题的呢？ 记得很小的时候我看过一个电影：
注意是只有趋势，并没有实际发生侧向移动，但是会对管壁有压力，若在管子直径方向开上小孔、装上细管，连通小孔的细管里也会流出水来。于是霍尔就开始类比了，电流在磁场作用下，有侧向运动趋势，但并没有真正运动，若在导体两侧对应点上连接细导线，在侧向电压作用下，细导线里会有电流。于是霍尔在这样的思路下设计了实验装置，取得了成功。现在我们当然知道，这个所谓的侧向运动趋势就是霍尔电压。 霍尔不但能想，而且能做；我们前面说过，这个霍尔电压非常小，所以能侧向引出的电流也会特别小，一般人根本就测不出来。而霍尔的实验能力超强，能制作出贼厉害的实验设备，在当时就搞出了能测量10的-9次方数量级的电流强度，从而感受到了霍尔效应。 人家霍尔的确不是白给的。导师一看霍尔这么厉害，实验结果如此牛叉，直接就授予博士学位。 远在英国的开尔文（威廉·汤姆逊）大赞霍尔效应，声称它可以与法拉第电磁感应这一伟大发现相媲美。 霍尔电阻 其实，霍尔效应只是一个伟大的开端，这个开端就在于霍尔电阻。 既然有了霍尔电压UH，还有电流强度I，那我们就可以定义一种电阻，名曰霍尔电阻，记做RH。 这个霍尔电阻确实是有些奇怪，竟然是用纵向的霍尔电压除以横向的电流I，算是什么玩意儿。的确不是个玩意儿，但以后大家对物理了解的越来越深入之手，会发现，物理概念是玩意儿的就没几个。
霍尔电阻之所以成为固体物理中的重要概念，是人家特别有用，我们下次要讲的量子霍尔效应，玩得就是这个霍尔电阻。 好，我们再体会一下这个霍尔电阻的定义式：RH= UH/I 其中的霍尔电压UH 于是我们经过一番换算，最后可得这样一个公式： 其中q是就是电荷量，ns是载流子面密度（载流子就是电流的载体，金属中的载流子就是电子，半导体中的载流子有电子和空穴，电解液中是正、负离子）。 从这个公式，我们不难发现，霍尔电阻与外磁场的磁感应强度B是线性关系。 但是这种线性关系并不能总是保持，一旦磁场强度极高、温度极低的时候，霍尔电阻将与磁场变成非线性关系。其实所谓线性关系，那不过是一种近似而已，真实的物理世界都是非线性的。 但我这里要强调的是，一旦磁场极强、温度极低的时候，霍尔电阻与磁场岂止变成非线性，而是要出现量子化平台，从而产生震惊全球的量子霍尔效应。
是的，本期所讲的霍尔效应只是一个伟大的开端，随后的物理学家前赴后继，不断投入到霍尔开启的道路，为霍尔家族平添了更多、更精彩的效应，这些效应正在影响着我们的生活，更要深刻地影响我们未来的生活。 |
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