八年级丨数学重点难点突破：三角形的分类讨论（附课后练习题）

三角形的全等和等腰三角形的性质：

1．复习全等三角形的判定定理及相关性质；

2．理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论，能够运用其解决简单的几何问题．(重点，难点)

例1.如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是( )

A．∠1＝∠2 B．AC＝CA C．∠D＝∠B D．AC＝BC

解析：由△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，AC和CA是公共边，可知∠1和∠2，∠D和∠B是对应角．全等三角形的对应角相等，对应边相等，因而前三个选项一定正确．AC和BC不是对应边，不一定相等．∵△ABC≌△CDA，AB＝CD，∴∠1和∠2，∠D和∠B是对应角，∴∠1＝∠2，∠D＝∠B，∴AC和CA是对应边，而不是BC，∴A、B、C正确，错误的结论是D.故选D.

方法总结：本题主要考查了全等三角形的性质；根据已知条件正确确定对应边、对应角是解决本题的关键．

例2.如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝( )

A．80° B．100° C．140° D．160°

解析：先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B＋∠BCD＋∠D的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，从而得到∠BCD的值．∵∠BAD＝80°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝280°.∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，∴∠BCD＝280°÷2＝140°，故选C.

方法总结：求角的度数时，①在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；③两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180°.

例3.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数。

解析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC.

解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，

∴∠CDE＝55°，

∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.

又∵CD平分∠ACB，

∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝70°，

∴∠BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40°.

方法总结：利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底边上的高与其他两线互相重合．

例4.如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上任意一点，延长BA到E使得AE＝AD，连接DE，求证：DE⊥BC.

等边三角形的性质：

1．进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线(两腰上的高，中线)的性质；

2．学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．(重点、难点)

例1.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．

解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵∠ABE＝40°，

∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.

∵BE＝DE，

∴∠D＝∠EBC＝20°，

∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.

方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．

例2.△ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，求∠BQM的度数．

解析：先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN＝∠ABC＝60°.

方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．

等腰三角形的判定与反证法：

1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点)

2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．

例1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．

解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．

解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠B＋∠BAC＝90°.

∵CD是AB边上的高，

∴∠ACD＋∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAE＝∠EAC，

∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF，

∴△CEF是等腰三角形．

方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．

例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.

(1)求证：△DEF是等腰三角形；

(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．

解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.

方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．

例3.求证：△ABC中不能有两个钝角．

解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．

证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，

所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．

方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

等边三角形的判定：

1．学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题；(重点、难点)

例1.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a²＋c²＝2ab＋2bc－2b²，试说明△ABC是等边三角形．

解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解．

解：移项得a²＋c²－2ab－2bc＋2b²＝0，

∴a²＋b²－2ab＋c²－2bc＋b²＝0，

∴(a－b)²＋(b－c)²＝0，

∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，

∴a＝b＝c.

故△ABC是等边三角形．

方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

例2.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理由．

解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝60°，从而可得△ODE是等边三角形．

解：△ODE是等边三角形，

理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°.

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.

∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.

∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.

∴△ODE是等边三角形．

方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而判定这个三角形是等边三角形．

例3. 如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE＝1/2∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，从而得出△ABC是等边三角形．

解：△ABC是等边三角形．

理由如下：

∵CE＝CD，

∴∠CED＝∠D.

又∵∠ECB＝∠CED＋∠D.

∴∠ECB＝2∠D.

∵BE＝DE，

∴∠CBE＝∠D.

∴∠ECB＝2∠CBE.

∴∠CBE＝1/2∠ECB.

∵BE⊥CE，

∴∠CEB＝90°.

又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，

∴∠ECB＋1/2∠ECB＋90°＝180°，

∴∠ECB＝60°.

又∵AB＝BC，

∴△ABC是等边三角形．

方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．

直角三角形的性质与判定：

1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；

2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点)

例1.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )

A．∠A＋∠B＝∠C

B．∠A－∠B＝∠C

C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3

D．∠A＝∠B＝3∠C

解析：由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，同理，B，C中均为直角三角形，D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D.

方法总结：在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°.

例2.如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝1/4AD，求证：CE⊥EF.

证明：连接CF，设正方形的边长为4.

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，

∵点E为AB中点，AF＝1/4AD，

∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.

由勾股定理得EF²＝1²＋2²＝5，EC²＝2²＋4²＝20，FC²＝4²＋3²＝25.∵EF²＋EC²＝FC²，∴△CFE是直角三角形，

∴∠FEC＝90°，即EF⊥CE.

方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法．

例3.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．

解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将△ABC和△ACD这两个直角三角形的面积求出，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．

方法总结：此题将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用．

直角三角形全等的判定：

1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”；(重点)

2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)

例1.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.

解析：根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.

证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．

∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，

∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．

∴BD＝BF.

∴BD－CD＝BF－EF.

即BC＝BE.

方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．

例2.如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合．那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？

解析：本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．

解：根据三角形全等的判定方法HL可知：

①当P运动到AP＝BC时，

∵∠C＝∠QAP＝90°，

∴在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP＝BC，PQ＝AB，

∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；

②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．

综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．

方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．

例3.如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.

解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC可知∠1＝∠2，然后根据AAS证得△AOD≌△AOE，△BOD≌△COE，即可证得OB＝OC.

温馨提示：全等的证明方法较多，同学们好好练习~

线段的垂直平分线：

1．掌握线段垂直平分线的性质；(重点)

2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点)

例1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.

求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.

解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．

证明：(1)∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠ECF.

∵E是CD的中点，

∴DE＝EC.

又∵∠AED＝∠CEF，

∴△ADE≌△FCE，

∴FC＝AD.

(2)∵△ADE≌△FCE，

∴AE＝EF，AD＝CF.

∵BE⊥AE，

∴BE是线段AF的垂直平分线，

∴AB＝BF＝BC＋CF.

∵AD＝CF，

∴AB＝BC＋AD.

方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．

例2.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．

解析：先利用角平分线的性质得出DE＝DF，再证△AED≌△AFD，易证AD垂直平分EF.

方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．

角平分线：

1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点)

2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)

例1.如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.

解析：由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．

例2.如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．

解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．

方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．

例3.如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．

解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．

证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.

∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，

∴DE＝DF.同理DG＝DF，

∴DE＝DG，

∴点D在∠BAC的平分线上，

∴AD是∠BAC的平分线．

方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．

例4.在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC的度数为( )

A．110°

B．125°

C．130°

D．140°

解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝1/2∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝1/2∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°，∠OBC＋∠OCB＝55°，∠BOC＝180°－55°＝125°，故选B.

方法总结：由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．