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| 高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法） |
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高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会
考·高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有
更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。第一·认识导数概念和几何意义1.导数概念及其
几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。（2）能利用给出的
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。3．导数在研究
函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2
）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最
大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5．定积分与微积分基本定理（1）了解定
积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更
好地运用其解题技巧！第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几
年各省市高考命题的热点。2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
解题技巧：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。2．求曲线切线
方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。注：①当曲线
在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。例1：（20
10·海南高考·理科T3）曲线在点处的切线方程为（）（A）（B）（C）（D）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟
练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选A.因为，所以，在点
处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.二、利用导数研究导数的单调性考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市
高考中的单调性问题，几乎均用它解决。2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构
，多以解答题形式考查，属中高档题目。解题技巧：利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）①若求
单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式＞0或＜0。②若已知的单调性，则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上
恒成立问题求解。例2：（2010·山东高考文科·Ｔ21）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.【
命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.【思路
点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择
.【规范解答】（1）当所以因此，,即曲线又所以曲线（2）因为,所以,令当时，所以当时，>0，此时，函数单调递减；当时，
<0，此时，函数单调递增.当时，由，即，解得.①当时，，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;②当时，，时，,
此时,函数单调递减时，<0,此时,函数单调递增时，，此时，函数单调递减③当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，<0,此时,函
数单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增；
函数在上单调递减.【方法技巧】1、分类讨论的原因(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；(2)数的运算：如除法运算中除
式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；(3)含参数的函数、方
程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题
的结果有多种可能.2、分类讨论的原则(1)要有明确的分类标准；(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时
，应分层次进行.3、分类讨论的一般步骤(1)明确讨论对象，确定对象的范围；(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；(
3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；(4)归纳总结，得出结论.三、利用导数研究函数的极值与最值考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值
问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法。2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为
含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。解题技巧：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确定定
义域。（2）求导数。（3）①或求极值，则先求方程=0的根，再检验在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）②
若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程=0的根的大小或存在情况，从而求解。2．求函数的极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个
是最大值，最小的一个是最小值。例3：（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数的图象与
函数的图象关于直线对称，证明当时，（III）如果，且，证明【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基
础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。【思路点拨】利用导数及函数的性质解题。【规范解答】（Ⅰ）解：f’，令f’(x)
=0,解得x=1，当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表x()1()f’(x)+0-f(x)极大值[来源:学。科。网]所
以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=
f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（
x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).(Ⅲ)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）
得由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2。四、
利用导数研究函数的图象考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几
年高考命题专家的新宠。2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，
多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。例4：（2010·福建高考理科·Ｔ20）(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C.
（i）求函数f(x)的单调区间；(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P
2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形
的面积分别记为S1,S2，则为定值：（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)
的正确命题，并予以证明。【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方
程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的
斜率，写出切线方程，并利用定积分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。【规范
解答】（Ⅰ)(i)，令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；单调递减区间为；(ii)，，，因此过点的切线方程为：，即，由得，
所以或，故，进而有，用代替，重复上面的计算，可得和，又，，因此有。（Ⅱ）【命题】若对于任意函数的图像为曲线，其类似于(I)(ii)
的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，则。【
证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，，，，因此过点的切线方程为：，联立，得到：，化简：得到从而所
以同样运用(i)中方法便可以得到所以。【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值
、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分
类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。例5．（2010·江西高考理科·Ｔ１２）如图，一个正五角星
薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为【命题立意】本题将各知识点有
机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数
学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力．【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先
求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判断.【规范解答】选A．方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变
化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函
数图像中其图像应下降，排除选项C，故选A.方法二：设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为1，且设，则依据题意可得
：其导函数故选A.【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法
适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条
件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选
择题中考查较多.例6．（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则[来（A）64（B）32（C）16（D）8【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。【规范解答】选A，所以曲线在点处的切线：所以，【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。（2）“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，再求切点坐标。今天先分享到这里了，高中数学的解题技巧还有很多有需要的可以私信我。 |
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