 题图：左图来自电影《大空头》，右图为张老师和自家娃。 作者：张新未，一土“数学俱乐部”的任课老师。北京大学数学系本硕博连读，博士毕业后在芝加哥，纽约等知名对冲基金从事金融量化模型和交易工作。 我，张新未，出生在江西一个四线小城市。父母在一个国有印染厂工作，初中文化，给我起名字是觉得我是家庭中新的未来，另外也是觉得我的出生让他们很欣慰吧。 如果，他们知道我后来通过数学竞赛进入国家集训队，顺利读到北大数学博士，而后在华尔街从事金融量化交易，他们可能真的会觉得欣慰。不过，对于这个儿子选择跨行跨国跨收入水平，前半生归零做起了小学教育，在三十多岁再一次面对“新（的）未（来）”，估计是他们当初怎么也没能想到的吧？ 温 暖 小时候的生活，不富裕但真幸福。父母在三班倒的年代楞是挤出了很多时间来陪伴我。我父亲常常骑车带我去买菜，有意无意的让我帮着给家里吃什么做做规划。路上是最开心的，他会带我探索不同的回家的路，走田间小路最有意思了。 他经常说条条大路通我家，大方向对了就行，我的空间感大概就是这么建立起来的。骑骑停停，夏天有时候抓抓蝉，顺带给我讲讲蝉的一生是什么样的，发声器在哪里；冬天水稻田间砸一块薄薄的冰，用水稻杆吹出一个小洞，然后再用水稻杆穿过冰块，打个结带着冰块回家给母亲炫耀。  ▲ Photo by Krishna Kant on Unsplash. 母亲再忙，就是上夜班，都会清晨请假回家给我做好带有一个鸡蛋的早饭，直到现在都会坚持我吃一个鸡蛋再出门上班。冬日的周末，她坐在太阳下织毛衣，我端个小座椅坐她边上写作业，偶尔让我帮忙缠毛线球球，教教我怎么织毛衣的，好神奇，一根线可以变成衣服。 家庭给小孩的温暖点滴，是一生的宝贵财富，不管外界风风雨雨，我内心觉得很安全。 启 蒙 父亲爱看书，家里有个五斗柜，他的书都摆在上面。一个下午，我爬到柜子的顶上好奇书里面都写的什么。我翻出了可能是影响人生轨迹的一套自然科学丛书 — 《动脑筋爷爷》，我好喜欢工程器械那一本，蹲在柜顶看了整整一个下午。 母亲敏感地发现了我的兴趣，那时候家附近正好在修路，第二天我父亲带着我在工地看了一下午的挖掘机，清楚地记得他给我讲液压装置。接下来的周末，家里又多了一套《小学生十万个为什么》，这套书我后来上厕所都抱着。   ▲ 童年的启蒙书。 有意无意的，父亲会给我说，你看啊，推土机，挖掘机啊，厂里的染布的机器，天体运行的规律都是数学的应用。在帮家里干活的时候也能体会到数学在生活中的应用。 小学四年级搬新家，阳台上要装老式的晾衣架，左右两边要用铁丝拉起来，父亲让我计算要用多长的铁丝，这也是我第一次接触勾股定理！竟然还有这么有意思、简洁美丽的规律存在。这是我第一次感受到知识应用带来的成就感。 还有一件事情让我印象深刻。小学时数学老师会布置一些附加题，我从来不愿意做，因为不是必须做的，又很难。一次，父亲说咱们做做看呗，一起做，应该挺有意思的，大概是这类题目。  ▲ 图片来自网络。 他跟我说：“做题目的时候我是你朋友，其它时候我是爸爸”。现在回忆起来，我很感激他的话，当时的自己虽然小，却是被完全尊重的。 第二天早上，我想出来了，激动地给他讲了思路。克服了困难原来是这么的开心啊！从此我一发不可收拾，所有的题目，都被我盯上，今天想不出，明天想，明天想不出，后天再来…… 足够的尊重，对好奇心的激发和保护，并站在小孩的角度一起思考问题，虽然父母文化层次不高，但他们做得优秀！ 奔 跑 五年级，在毫无准备的情况下，老师让我参加华罗庚数学比赛，我得了全市第三名。我的舅舅是一名中学数学老师，他认为孺子可教，开始刻意培养我了。 小学毕业的暑假，我把初中数学学完了，初中二年级我把高中数学学完了。初三开始参加高中的数学比赛，高三那年的比赛我拿到了江西省的第一名，后来进入了国家集训队，见到了真正的数学大师。再之后，我进入北京大学数学系继续数学学习，才有幸瞥见现代数学的惊鸿一角。 本科毕业以后，基于我小时候对工程器械的着迷，我选择了计算数学作为我的博士专业，这个专业是偏应用的，例如空气动力学，流体力学，高分子动力学等，可以应用在制造大飞机，火箭，潜艇等高科技行业。 临近博士毕业，我发现数学在金融领域也有极大的应用。博士毕业后美国的一家对冲基金给我发了 offer，做金融量化建模和交易，何不一试？ 这一试就是十年，2007 年北京下大雪的深夜里，拖着熬了两夜的疲惫身体回家；2009 年芝加哥的冬天顶着狂风，走一步退三步赶到公司上班；2014 年圣诞节路过五大道精美的橱窗确无心欣赏，跑去公司扫雷。 当生活的一切都开始像例行公事时，2015 年，时代广场地铁站的诗把我揍醒了： Overslept. 睡过头了？ So tired. 身心俱疲？ If late, 又要迟到了？ Get fired. 快被开除了？ Why bother? 为什么烦恼？ Why the pain? 为什么痛苦？ Just go home. 干脆回家吧， Do it again. 重新再来。  作为一个二级市场交易员，也许我让金融市场更有效了，也许我让资金到达了更需要的地方，但我深深的怀疑，我工作的意义是什么？带来了什么社会价值？什么事情才是更值得做的？要不去硅谷？要不去做公益？想不明白，也不敢改变。 手头事情轻车熟路，做得也很不错，折腾个啥？我慢慢又睡过去了，刻意回避不再思考。 转 身 2016 年万圣节，西奈山医院，我成了父亲。他那么小，那么脆弱，没牙的嘴笑起来那么无辜的样子，漫长的未知岁月在他的前方。 我要做一个什么样的父亲？心底的问题又躁动了起来，是什么让一个人成为“人”？How many roads must a man walk down, before you call him a man？（一个男人要走多少路才能称为一个人）我决定彻底停下认真思考。 和很多朋友聊过，看了很多书，得到的答案是 — 给予，把自己所学，解决问题的方法教给更多的人。恒予是我娃子的名字，“恒”是做把事做成的基本素养，“予”是获得幸福的最短路径。 我希望他按照自己的方式过幸福的一生，全世界有 20 亿小朋友，中国有 2 亿小朋友还有很长很长的人生要走，我希望他们都能够按照自己的方式度过幸福的一生。 教育，只有正确的教育才能给他们装上幸福的翅膀，以及渡过难关的能力。我想做教育。 最纠结的时候，我的夫人给了我最大的支持和勇气，她说：“放手去做吧，你合适的，加油，这个事情有意义。家里事和小孩儿你不用担心，我的工作你也不用担心，我有办法！”夫人排除我一切后顾之忧，谢谢你！ 2017 年我只身回国开始追求我新的梦想。2018 年，夫人携娃子也回到国内，去到上海。 非常幸运的是，一回国我了解和接触到一土学校，“内心充盈，爱己及人，乐天行动，创造奇迹”，这不正是每个人都应该具备的素养吗？我想给这个平台贡献自己一份力量。 今年 10 月份，我如愿变成了一土的志愿者，和学校的老师们一起，开发数学思维课程，希望能让小朋友感受到思考的乐趣和数学的力量。 思 考 从开始教小朋友加减乘除后，我开始重新思考，数学怎么才算“学会”了？ 网上流传着各种陪孩子写作业，特别是写数学作业的段子和小视频。大人们往往会百思不得其解，为什么这么简单的问题，孩子就是不会？为什么学不会？真的很难啊！ 孩子小时候学不会大人觉得显而易见的问题，其实很正常。刚开始学习数学，往往会遇到一些基本的关键概念，而越是基本的概念，越抽象，越难理解，对于完全没有经验的孩子来说，真的很难！ 比如，什么是“数”，什么是“十进制”，什么是加法，什么又是减法？小小数字的发明，其在人类文明的作用不亚于火的熟练使用。 人们最早开始用手指头计数，手指头不够用的时候，开始绳结计数，石头计数，刻痕计数；从第一个绳结打上后，人类便走上了一条快捷通道，我们建立起了羊和绳结的一一对应关系，这一一对应的思想是非常本质的，甚至是现代数学的基础。  ▲ Photo by Will O on Unsplash. 从一到二，这又是一次飞跃，一生二，二生三，三生万物，一和二的关系是次序的关系，是 f(n) = f(n-1) +1 的递归关系，从此之后才能说大小，才能说加减，才能说乘除。 后来，人们又发现一个一个的打结对于很多很多的数是很难记清楚的，于是有了进制系统，这又是一次飞跃。古埃及的象形数字和中国的甲骨文数字用的是十进制，古巴比伦的楔形数字用的是六十进制，玛雅文明用的是二十进制。 现代我们用的阿拉伯十进制计数法已成为全世界通用的语言符号。有了计数系统，在这个结构之上，我们才得以发展更高效的数数方法，加减乘除运算。 大数学家 Felix Klein 说过： 数学最困难的地方：不管任何人，想要进入它，就必须在自己心里，依靠自己的力量，一步一步的把它的发展再现一次。 所以，哪怕只是掌握一个数学概念，都需要把它赖以创立的所有的概念及它们的相互联系都加以消化。 我们要带着孩子在脑海中走完一遍数学发展的历史，让其在自我思考、提取抽象的过程当中更加顺利。这其中的不容易，作为大人，我们可能已经忘记了，但是这就是孩子们在这个年龄普遍需要经历的。  ▲ 在张老师数学思维课上，专心琢磨的孩子。 我教过一个孩子，他的计算速度总是很慢，原因在于对 10 进制没有理解到位。例如算 8+7，他会画上 7 个圈圈，然后从 8 开始数，9，10，11，12，13，14，15，答案是 15。 他理解了数字的次序，理解了加法的意义，可是问题在于他没有理解 10 进制，没有理解 8+7= 8+2+5= 10+5= 15 这个凑 10 的过程。 这个时候，老师可以有两种选择： 直接让小朋友把所有的个位数的加法答案都背下来帮他“过关”，这个对老师来说是比较省事的； 一个是通过游戏和具象化的方式，设置小朋友感兴趣的情境，在游戏中反复操练，让他们真正理解 10 的美妙之处。 针对这个孩子遇到的问题，我设计了一个游戏，将军出塞。外敌入侵我们要征兵克敌。筹码代表军队。一些筹码代表 1，1 代表士兵；一些筹码代表 10，10 代表将军，游戏还需要 1 个骰子。 每一轮游戏，都需要投骰子来决定征兵的数量，10 个小兵可以换一个将军，凑够 5 个将军就可以出塞打仗了。  ▲ Photo by Michał Parzuchowski on Unsplash. 开始时，当他手上有 8 个小兵，又投出了一个 6，他会再拿 6 个小兵出来，激动的说“我可以换一个将军了！将军出马天下无敌！”，迅速的数出十个小兵换出一个将军。随着玩的次数增加，他开始直接把手上的 8 个兵还回去直接拿出 1 个将军和 4 个小兵。 这个时候，我知道，他已经在心里完成了这个凑 10 的过程！从第一次课，计算 20 组个位数加法需要两分半的时间，到第三次课计算 20 组个位数加法只要一分半，对他来说是很大的进步啊，而且我知道，他是真的“学会”了。 现在，游戏可以进阶了。国家强胜了，但敌人也更厉害了。我们需要 10 个将军才可以出兵打仗，每次征兵的数量由两个骰子的总数决定。 这个升级版其实是在锻炼他三个能力： 一位数加法的口算：两个骰子的总数。 数位的概念或者说数字的结构：23 是 2 个将军和 3 个小兵，对应到数字上的解释就是 23 是两个 10 个 3 个 1 组成的。 两位数加法的初步：将军数相加，小兵数相加，小兵能凑到 10 就进位。 有了这些铺垫，竖式的计算就容易多了。在这个过程中，小朋友不但掌握了知识和技能之外，还对数学学习产生了自发的兴趣，在算的更快中发现了乐趣，很多速算的题目其实就是需要小朋友对数的构成有深刻的理解才能达到。 课后，他可能会忘了加法竖式怎么列，但这个游戏却已经深深的留在了他脑子那里，那他可以很快调出这个将军出塞的游戏，我是怎么加将军的，我是怎么小兵换将军的，他仍然可以通过自己的理解计算出正确答案。 忘了套路不怕，随时可以调用具体的经历现场推导，这才是更好的学会。  ▲ Photo by Christopher Rusev on Unsplash. 数学是对现实世界事物与事物之间关系的高度抽象概括，是极度的信息压缩。心中没有具体的案例，是无法调动相应的数学知识来解决新问题的，没有经历过从具体问题到抽象的过程，也无法达到对某个数学知识点的深度理解的，更谈不上自如运用。 小朋友抽象能力还没有那么强大，我们需要充分调动他们的手，眼，耳，最重要的，调动他们的学习兴趣，使得他们能够在具体的数学游戏中找到那些抽象的数学概念，建立起数学想象和图景。  ▲ 在张老师数学思维课上，专心琢磨的孩子。 数学这座大厦是有着严密的基础，很容易出现理解不到位，一步跟不上，步步跟不上的情况。 没有对十进制计数法的理解，就很难理解加减法的运算，没有组合，拆分的精确理解，就很难有乘除法的理解，进而影响到小数、分数的理解； 不能理解数量之间的关系，就很难建立起方程的概念； 没有方程的概念就很难建立起函数的概念； 没有函数的概念，就很难建立起解析几何的概念，到这里几何和代数终于统一了； 没有代数和几何的连接，就又很难建立起极限的概念，没有极限的概念，现代数学也就无从谈起了。 而超前学习，套路化学习时，被牺牲的往往是这种步步为营的学习过程。 ▲ Photo by Jeremy Thomas on Unsplash. 对于小学阶段的知识来说，靠背口诀，学套路，其实真的是可以“过关”的。但是，非常可惜的是，在这样的学习中，小朋友们错过的不仅是真的“学会”数学的时机，也是发展和培养思维能力，学习能力的机会。 怎么学习数学本身也是需要“学习“的。我们就是要不断的辅助小朋友独立完成思考，归纳，抽象的过程，才能真正培养起数学思维。 我们会找到最关键的数学概念，不断的加强，对于一些重要的数学思想，种下种子。我们会根据孩子们爱玩的天性，设计一系列有趣的游戏，在游戏中不知不觉的经验思考、归纳、总结的乐趣。 化数学知识和技能为“游戏”，让孩子在动手玩的过程中，在一个个挑战性的任务里，去理解和内化这些抽象的概念，归纳总结出解决这些问题的一般方法。 当孩子经历了这一切，面对新的问题时，就会自动与这些游戏发生联结，调动对应的知识来来解决新问题。做到了这一步，我们认为，这个数学，孩子学“会”了。 做还是不做 这个学期，在一土学校的课堂上，我们和三年级的师生们共同开展了一次卡牌游戏课，针对小朋友刚刚学会的两位数乘一位数的口算和估算设计的，小朋友玩得不亦乐乎。 在游戏当中，小朋友不仅体验到了把知识应用在新场景下的成就感，更难能可贵的是，在游戏过程当中，他们自觉的引入了有序思考的思维方式。让我们再次感叹，给小朋友探索的空间，他们真的是无限潜能！ 以上大概说了说，我们在课堂上做了什么。在课堂上，“不会”做什么，同样重要。 不讲套路：例如你看到题目中的数字一定出现在等式的左边。这种讲法是对小朋友天生就有的探索精神的扼杀，伤害孩子的探索欲，相当于剥夺了孩子一半的学习乐趣，大人们还有什么理由责怪孩子们不爱学习呢？ 不表扬对，不批评错：我们更关心的是思考过程，帮助小朋友正确认识对与错，错是很好的学习机会。 不强调胜负：学习的乐趣原应属于每一个孩子，但胜负心又是孩子们的天性，那么如何既顺应他们喜欢比赛的天性，又保护每一个孩子的学习积极性呢？我们采用了在竞争性游戏中，引入随机性的做法，不会出现强者恒强的情况。 很多游戏中有扔骰子这个设计，可能也是为了让游戏更像游戏，而不是智力竞赛吧。在上面所说的卡牌游戏课当中，我们也充分考虑到了这一点，设计了随机性，在竞赛游戏中保护孩子们的自尊，而不至于因为输赢心失去了游戏的快乐和自信，失去了游戏学习的本意。 ▲ 一土的孩子们。 在一个学生可以高效学习的课堂上，作为老师，我们会： 鼓励参与（Engagement）：创造学生积极参与游戏和问题解决的学生主导的课堂。 个性化（Differentiation）：帮助学生创造适合各自水平的问题或者任务。 促进思考（Thinking）：促进学生思考，提出可以稍微思考就能解决的问题（productively stuck）。 积极环境（Positive Environment）：创造师生之间，生生之间相互信任和支持的课堂，在这里可以犯错、可以问问题，并鼓励这些行为。 我们希望孩子们在游戏当中获得发现问题的能力；通过探索获取知识的能力；面对新问题，产生联想的能力；学习到如何学习，进而变成真正的思想者，创造者，问题解决者，从而终生受益。 作为一个从小喜欢数学，因数学而受益的人，我一直在享受数学给我带来的乐趣，也希望把这份快乐带给更多的孩子，体会到数学之美，思考之乐。在他们心里埋下思辨的种子，精心的呵护，静待花开。 幸 福 此时，我坐在京沪高铁窗边，去上海和家人过新年，冬日阳光暖人，更暖的是我手里捧着学生送给我娃子的精美小玩具，还有什么比此刻更美好的呢？ |
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