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这是我童年时代最喜欢的一本书，书的名字叫《从一到无穷大》，作者是著名的美国天文学家 乔治.盖莫夫。 虽然这本书的出版时至今日已经有二十多年的时间了，但这本书的内容也许在今天看来仍然不算落伍，事实上，其中的部分内容我至到今天也没有完全弄懂。正如当年的译者所说的－－这是一本很值得一读乃至于一读再读的书。 由于原书已经过于破旧，出于保留的目的我进行了扫校。但其中的部分附图由于空间的原因，很难在网上发出来，不能不说是一个遗憾。如果可能，我将陆续将这本书的内容一一贴上来，希望能找到志趣相同的爱好 者。 第一部分 做做数字游戏 第一章 大 数 １。你能数到多少？ 有这么一个故事，说的是两个贵族决定做计数游戏－－谁说出的数字大谁赢。 “好，”一个贵族说，“你先说吧！” 另一个绞尽脑汁想了好几分钟，最后说出了他所想到的最大数字：“三”。 现在轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后，他表示弃权说：“你赢啦.” 这两个贵族的智力当然是不很发达的。再说，这很可能只是一个挖苦人的故事 而已。然而，如果上述对话是发生在原始部落中，这个故事大概就完全可信了。有 不少探险家证实，在某些原始部族里，不存在比三大的数词。如果问他们当中的一 个人有几个儿子，或杀死过多少敌人，那么，要是这个数字大于三，他就会回答说 ：“许多个。”因此，就计数这项技术来说，这些部族的勇士们可要败在我们幼儿 园里的娃娃们的手下了，因为这些娃娃们竟有一直数到十的本领呢！ 现在，我们都习惯地认为,我们想把某个数字写成多大,就能写成多大－－战争 的经费以分为单位来表示啦，天体间的距离用英寸来表示啦，等等－－只要在某个 数字的后面加上一串零就是了。你可以一直这样写下去，直到手腕发酸为止。这样 ，尽管目前已知的宇宙1)中所有原子的数目已经很大，等于300,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000, 000,000,000，但是，你还可以写出比这更大的数目来。 上面这个数可以改写的短一些，即写成 exp(３Ｘ１０,７４) 在这里，10的右上角的小号数字74表示应该写出多少个零。换句话说，这个数 字意味着3要用10乘上74次。 但是在古代，人们并不知道这种简单的“算术简示法”。这种方法是距不到两 千年的某个佚名的印度数字家发明的。在这个伟大发明－－这确实是一项伟大的发 明，尽管我们一般意识不到这一点－－出现之前，人们对每个数位上的数字，是用 专门的符号反复书写一定次数的办法来表示的。例如，数字8732在古代埃及人写来 是这样的：(贴不上来：｛ ) 而在凯撒（Julius Caesar）*的衙门里，他的办事员会把这个数字写成 MMMMMMMMDCCXXXII 这后一种表示法你一定比较熟悉，因为这种罗马数字直到现在还有些用场－－ 表示书籍的卷数或章数啦，各种表格的栏次啦，等等。不过，古代的计数很难得超 过几千，因此，也就没有发明比一千更高的数位表示符号。一个古罗马人，无论他 在数学上是何等训练有素，如果让他写一下“一百万”，他也一定会不知所措。他 所能用的最好的办法，只不过是接连不断地写上一千个M，这可要花费几个钟点的艰 苦劳动啊（图１）。 在古代人的心目中，那些很大的数目字，如天上的星星的颗数，海里游鱼的条 数，岸边砂子的粒数等等，都是“不计其数”，就像“５”这个数字对原始部族来 说也是“不计其数”，只能说成“许多”一样。 阿其米德（Archimedes），公元前三世纪大名鼎鼎的大科学家，曾经开动他那 出色的大脑，想出了书写巨大数字的方法。在他的论文〖计砂法〗中这样写着： 有人认为，无论是在叙拉古*，还是在整个西西里岛，或者在世界所有有人烟和 无人迹之处，砂子的数目是无穷的。也有人认为，这个数目不是无穷的，然而想要 表达出比地球上砂粒数目还要大的数字是做不到的。很明显，持有这种观点的人会 更加肯定地说，如果把地球想象成一个大砂堆，并在所有的海洋和洞穴里装满砂子 ，一直装到与最高的山峰相平，那么，这样堆起来的砂子的总数是无法表示出来的 。但是，我要告诉大家，用我的方法，不但能表示出占地球那么大的砂子的数目， 甚至还能表示出占据整个宇宙空间的砂子的总数。 阿基米德在这篇著名的论文中所提出的方法，同现代科学中表达大数目字的方 法相类似。他从当时古希腊算术中最大的数“万”开始，然后引进一个新数“万万 ”（亿）作为第二阶单位，然后是“亿亿”（第三阶单位）、“亿亿亿”（第四阶 单位），等等。 写个大数字，看来似乎不足挂齿，没有必要专门用几页的篇幅来谈论。但在阿 基米德那个时代，能够找到写出大数字的办法，确实是一项伟大的发现，使数学向 前迈出了一大步。 为了计算填满整个宇宙空间所需的砂子总数，阿基米德首先得知道宇宙的大小 。按照当时的天文学观点，宇宙是一个嵌有星星的水晶球。阿基米德的同时代人， 著名的天文学家，萨摩斯的阿里斯塔克斯（Aristarchus）**求得从地球到天球面的 距离为10,000,000,000斯塔迪姆，即约为1,000,000,000英里1)。 阿基米德把天球和砂粒的大小相比，进行了一系列足以把小学生吓出梦魇症来 的运算，最后他得出结论说： 很明显，在阿里斯塔克斯所确定的天球内所能装填的砂子粒数，不会超过一千 万的第八阶单位2)。 这里要注意，阿斯米德心目中的宇宙的半径要比现代科学家们所观察到的小得 多。十亿英里，这只不过刚刚超过从太阳到土星的距离。以后我们将看到，在望远 镜里，宇宙的边缘是在5,000,000,000,000,000,000,000英里的地方，要填满这样一 个已被观测到的宇宙，所需要的砂子数超过 exp(１０,１００)粒（即１的后面有１００个零） 这个数字显然比前面提到的宇宙间的原子总数３Ｘ１０ ７４大多了。这里因为 宇宙间并非塞满了原子。实际上，在一立方米的空间内，平均才只有一个原子。 要想得到大数目字，并不一定要把整个宇宙倒满砂子，或进行诸如此数的剧烈 活动。事实上，在很多乍一看来似乎很简单的问题中，也常会遇到极大的数字，尽 管你原先决不会想到，其中会出现大于几千的数字。 有一个人曾经在大数目字上吃了亏，那就是印度的舍罕王(Shirham)。根据古老 的传说，舍罕王打算重赏象棋*的发明人和进贡者、宰相西萨＠班＠达依尔(Sissa ben Dahir)。这位聪明的大臣的胃口看来并不大，他跪在国王面前说：“陛下，请 您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格 内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋 盘上所有６４格的麦粒，都赏给您的仆人罢！” “爱卿，你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这样一件奇妙的发明 所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。“你当然会如愿所偿的。”说着，他令人 把一袋麦子拿到了宝座前。 计数麦粒的工作开始了。第一格内放一粒，第二格内放两粒，第三格内放四粒 ，。。。。。。还没到第二十格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面 前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那么迅速，很快就可以看出，即使拿来全 印度的粮食，国王也兑现不了他对西萨。班许下的诺言了，因为这需要有18,446,7 44,073,709,551,615颗麦粒1)呀！ 这个数字不象宇宙间的原子总数那样大， 作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 17:49:00 在世界中心贝拿勒斯**的圣庙里，安放着一个黄铜板，板插着三根宝石针。每 根针高约一腕尺（1腕尺大约合20英寸），象韭菜叶那样粗细。梵天***在创造世界 的时候，在其中的一根针上从下到上放下了由大到小的六十四片金片。这就是所谓 的梵塔。不论白天黑夜，都有一个值班的僧侣按照梵天不渝的法则，把这些金片在 三根针上移来移去：一次只有移一片，并且要求不管在哪一根针上，小片永远在大 片的上面。当所有六十四片都从梵天创造世界时所放的那根针移到另外一根针上时 ，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。 图３是按照故事的情节所作的画，只是金片少画了一些。你不妨用纸板代表金 片，拿长钉代替宝石针，自己搞这么一个玩具。不难发现，按上述规则移动金片的 规律是：不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数总要比移动上面一片增加一倍 。第一片只需要一次，下一片就按几何级数加倍。这样，当把第六十四片也移走后 ，总的移动次数便和西萨。班。达依尔所要求的麦粒数一样多了１）！ 把这座梵塔全部六十四片金片都移到另一根针上，需要多长时间呢？一年有31 ,558,000秒。假如僧侣们每一秒钟移动一次，日夜不停，节假日照常干，也需要将 近58万亿年才能完成。 把这个纯属传说的寓言和按现代科学得出的推测对比一下倒是很意思的。按照 现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星（包括地球）是在大约三十亿年前由不定形 物质形成的。我们还知道，给恒星，特别是给太阳提供能星的“原子燃料”还能维 持100--150亿年（见“创世的年代”一章）。因此，我们太阳系的整个寿命无疑要 短于二百亿年，而不象这个印度传说中所宣扬的那样长！不过，传说毕竟只是传说 啊！ 在文学作品中所提及的最大数字，大概就是那个有名的“印刷行数问题”了。 假设有一台印刷机器可以连续印出一行行文字，并且每一行都能自动换一个字 母或其它印刷符号，从而变成与其它行不同的字母组合。这样一架机器包括一组圆 盘，盘与盘之间像汽车里程表那样装配，盘缘刻有全部字母和符号。这样，每一片 轮盘转动一周，就会带动下一个轮盘转动一个符号。纸卷通过滚筒自动送入盘下。 这样的机器制造起来没有的困难，图4是这种机器的示意图。 现在，让我们开始这架印刷机，并检查印出的那些没完没了的东西吧。在印出 的一行行字母组合当中，大多数根本没有什么意思，如： aaaaaaaaaa... 或者 booboobooboo... 或者 zawkporpkossscilm... 但是，既然这台机器能印出所有可能的字母及符号的组合，我们就能从这堆玩 艺中找出有点意思的句子。当然，其中又有许多是胡说八道，如： horse has six legs and...（马有六条腿，并且....) 或者 I like apples cooked in terpentin...（我喜欢吃松节油炒苹果......) 不过，只要找下去，一定会发现莎士比亚（William Shakespear）*的每一行著 作，甚至包括被他扔进废纸篓里去的句子！ 实际上，这台机器会印出人类自从能够写字以来所写出的一切句子：每一句散 文，每一行诗歌，每一篇社论，每一则广告，每一卷厚厚的学术论文，每一封书信 ，每一份订奶单..... 不仅如此，这架机器还将印出今后各个世纪所要印出的东西。从滚筒下的纸卷 中，我们可以读到三十世纪的诗章，未来的科学发现，2344年星际交通事故的统计 ，还有一篇篇尚未被作家创作出来的长、短篇小说。出版商们只要搞出这么一台机 器，把它安装在地下室里，然后从印出的纸卷里寻找好句子来出版就是了－－他们 现在所干的也差不多就是这样嘛！ 为什么人们没有这样干呢？ 来，让我们算算看，为了得到所有字母和印刷符号的组合，该印出多少行来。 英语中有二十六个字母、十个数码（0,1,2....,9)、还有十四个常用符号（空 白、句号、逗号、冒号、分号、问号、惊叹号、破折号、连字符、引号、省字号、 小括号、中括号、大括号），共五十个字符。再假设这台机器有六十五个轮盘，以 对应每一印刷行的平均字数。印出的每一行中，排头的那个字符可以是五十个字符 当中的每一种，第二个字符又有五十种可能性，因此共有５０Ｘ５０＝２５００种 。对于这前两个字符的每一种可能性，第三个字符仍有五十种选择。这样下去，整 行进行安排的可能性的总数等于 或者５０65，即等于１０110。 要想知道这个数字有多么巨大，你可以设想宇宙间的每个原子都变成一台独立 的印刷机，这样就有3X１０74部机器同时工作，再假定所有这些机器从地球诞生以 来就一直在工作，即它已经工作了三十亿年或１０17秒。你还可以假定这些机器都 以原子振动的频率进行工作，也就是说，一秒钟可以印出 １０15行。那么，到目前 为止，这些机器印出的总行数大约是 这只不过是上述可能性总数的三千分之一左右而已。 看来，想要在这些自动印出的东西里面挑选点什么，那确实得花费非常非常长 的时间了。 作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 17:52:00 不过也已经够可观了。蒲式尔*小麦约有5,000,000颗，照这个数，那就得给西 萨。班拿来四万亿蒲式尔才行。这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所生产 的全部小麦。 这么一来，舍罕王发觉自己欠了宰相好大一笔债。要嘛是忍受西萨。班没完没 了的讨债，要嘛是干脆砍掉他的脑袋。据我猜想，国王大概选择了后面这个办法。 另一个由大数目字当主角的故事也出自印度，它是和“世界末日”的问题有关的。 偏爱数学的历史学家鲍尔(Ball)是这样讲述这段故事的２）： 上边的跟贴丢了一段内容，这里补上 作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 17:55:00 上一节我们谈了一些数字，其中有不少是毫不含糊的大数。但是这些巨大的数 字，例如西萨、班所要求的麦子粒数，虽然大得难以令人置信，但毕竟还是有限的 ，也就是说，只要有足够的时间，人们总能把它们从头到尾写出来。 然而，确实存在着一些无穷大的数，它们比我们所能写出的无论多长的数都还 要大。例如，“所有整数的个数”和“一条线上所有几何点的个数”显然都是无穷 大的。关于这类数字，除了说它们是无穷大之外，我们还能说什么呢？难产我们能 够比较一下上面那两个无穷大的数，看看哪个“更大些”吗？ “所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数，究竟哪个更大些？”－－这 个问题有意义吗？乍一看，提这个问题可真是头脑发昏，但是，著名数学家康托尔 （Georg Cantor）首先思考了这个问题。因此，他确实可被称为“无穷大数算术” 的奠基人。 当我们要比较几个无穷大的数的大小时，就会面临这样的一个问题：这些数既 不能读出来，也无法写出来，该怎样比较呢？这下子，我们自己可有点像一个想要 弄清自己的财物中，究竟是玻璃珠子多，还是铜币多的原始部族人了。你大概还记 得，那些人只能数到三。难道他会因为数不清大数而放弃比较珠子和铜币数目的打 算？根本不会如此。如果他足够聪明，他一定会通过把珠子和铜币逐个相比的办法 来得出答案。他可以把一粒珠子和一枚铜币放在一起，另一粒珠子和另一枚铜币放 在一起，并且一直这样做下去。如果珠子用光了，而还剩下些铜币，他就知道，铜 币多于珠子；如果铜币先用光了，珠子却还有多余，他就明白，珠子多于铜币；如 果两者同时用光，他就晓得，珠子和铜币数目相等。 康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法正好与此相同：我们可以给两组无穷 大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩，这两组无穷大就是相等 的；如果有一组还有些没有配出去，这一组就比另一组大些，或者说强些。 这显然是合理的、并且实际上也是唯一可行的比较两个无穷大数的方法。但是 ，当你把这个方法讨诸实用时，你还得准备再吃一惊。举例来说，所有偶数和所有 奇数这两个无穷大数列，你当然会直觉地感到它们的数目相等。应用上述法则也完 全符合，因为这两组数间可建立如下的一一对应的关系。 在这个表中，每一个偶数都与一个奇数相对应。看，这确实再简单，再自然不 过了！ 但是，且慢。你再想一想：所有整数（奇偶数都在内）的数目和单单偶数的数 目，哪个大呢？当然，你会说前者大一些，因为所有的整数不但包含了所有的偶数 ，还要加上所有的奇数啊。但这不过是你的印象而已。只有应用上述比较两个无穷 大数的法则，才能得出正确的结果。如果你应用了这个法则，你就会吃惊地发现， 你的印象是错误的。事实上，下面就是所有整数和偶数的一一对应表： 按照上述比较无穷大数的规则，我们得承认，偶数的数目正好和所有整数的数 目一样大。当然，这个结论看来是十分荒谬的，因为偶数只是所有整数的一部分。 但是不要忘了，我们是在与无穷大数打交道，因而就必须做好遇到异常的性质的思 想准备。 在无穷大的世界里，部分可能等于全部！关于这一点，著名德国数学家希尔伯 特（David Hilbert）有一则故事说明的再好不过了。据说在他的一篇讨论无穷大的 演讲中，他曾用下面的话来叙述无穷大的似非而是的性质： 我们设想有一家旅店，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了位 新客，想订个房间。“对不起，”旅店主说，“所有的房间都住满了。”现在再设 想另一家旅店，内设无限个房间，所有的房间也都客满了这时也有一位新客来临， 想订个房间。 “不成问题！”旅店主说。接着，他就把一号房间里的旅客移至二号房间，二 号房间的旅客移到三号房间，三号房间的旅客移到四号房间，等等，这一来，新客 就住进了已被腾空的一号房间。 我们再设想一座有无限个房间的旅店，各个房间也都住满了。这时，又来了无 穷多位要求订房间的客人。 “好的，先生们，请等一会儿。”旅店主说。 他把一号房间的旅客移到二号房间，把二号房间的旅客移到四号房间，三号房 间的旅客移到六号房间，等等，等等。 现在，所有的单号房间都腾出来了。新来的无穷多位客人可以住进去了。 由于希尔伯特讲这段故事时正值世界大战期间，所以，即使在华盛顿，这段话 也不容易被人们所理解。但这个例子却确实举到了点子上，它使我们明白了：无穷 大数的性质与我们在普通算术中所遇到的一般数字大不一样。 按照比较两个无穷大数的康托尔法则，我们还能证明，所有的普通分数（如等 ）的数目和所有的整数相同。把所有的分数按照下述规则排列起来：先写下分子与 分母之和为2的分数，这样的分数只有一个，即；然后写下两者之和为3的分数，即 和；再往下是两者之和为4的，即，，。这样做下去，我们可以得到一个无穷的分数 数列，它包括了所有的分数（图5)。现在，在这个数列旁边写上整数数列，就得到 了无穷分数与无穷整数的一一对应。可见，它们的数目又是相等的！ 你可能会说：“是啊，这一切都很妙，不过，这是不是就意味着，所有的无穷 大数都是相等的呢？如果是这样，那还有什么可比的呢？” 不，事情并不是这样。人们可以很容易地找出比所有整数和所有分数所构成的 无穷大数还要大的无穷大数来。 如果研究一下前面出现过的那个比较一条线段上的点数和整数的个数的多少的 问题，我们就会发现，这两个数目是不一样大的。线段上的点数要比整数的个数多 得多。为了证明这一点，我们先来建立一段线段（比如说1寸长）和整数数列的一一 对应关系。 这条线段上的每一点都可用这一点到这条线的一端的距离来表示，而这个距离 可以写成无穷小数的形式，如 0.7350624780056...... 或者 0.38250375632...... 现在我们所要做的，就是比较一下所有整数的数目和所有可能存在的无穷小数 的数目。那么，上面写出的无穷小数和，，这类分数有什么不同呢？ 大家一定还记得在算术课上学过的这样一条规则：每一个普通分数都可以分成 无穷循环小数。如。我们已经证明过，所有分数的数目和所有整数的数目相等，所 以，所有循环小数的数目必定与所有整数的数目相等。但是，一条线段上的点可不 能完全由循环小数表示出来，绝大多数的点是由不循环的小数表示的。因此就很容 易证明，在这种情况下，一一对应的关系是无法建立的。 假定有人声称他已经建立了这种对应关系，并且，对应关系具有如下形式： 当然，由于不可能把无穷多个整数和无穷多个小数一个不漏地写光，因此，上 述声称只不过意味着此人发现了某种普遍规律（类似于我们用来排列分数的规律） ，在这种规律的指导下，他制定了上表，而且任何一个小数或迟或早都会在这张表 上出现。 不过，我们很容易证明，任何一个这类的声称都是站不住脚的，因为我们一定 还能写出没有包括在这张无穷表格之中的无穷多个小数。怎么写呢？再简单不过了 。让这个小数的第一小数位（十分位）不同于表中第一号小数的第一小数位，第二 小数位（百分位）不同于表中第二号小数的第二小数位，等等。这个数可能就是这 个样子（还可能是别的样子）： 这个数无论如何在上表中是找不到的。如果此表的作者对你说，你的这个数在 他那个表上排在第一百三十七号（或其他任何一号），你就可以立即回答说：“不 ，我 作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 17:56:00 这个数不是你的那个数，因为这个数的第一百三十七小数位和你那个数的第一 百三十七小数位不同。” 这么一来，线上的点和整数之间的一一对应关系就建立不起来了。也就是说， 线上的点数所构成的无穷大数大于（或强于）所有整数或分数所构成的无穷大数。 刚才所讨论的线段是“1寸长”。不过很容易证明，按照“无穷大数算术”的规 则，不管多长的线段都是一样。事实上，1寸长的线段也好，1尺长的线段也好，1里 长的线段也好，上面的点数都是相同的。只要看看图6即可明了，AB和AC为不同长度 的两条线段，现在要比较它们的点数。过AB的每一个点做BC的平行线，都会与AC相 交，这样就形成了一组点。如D与D，E与E，F与F等。对AB上的任意一点，AC上都有 一个点和它相应，反之亦然。这样，就建立了一一对应的关系。可见，按照我们的 规则，这两个无穷大数是相等的。 通过这种对无穷大数的分析，还能得到一个更加令人惊异的结论：平面上所有 的点数和线段上所有的点数相等。为了证明这一点，我们来考虑一条长1寸的线段A B上的点数和边长1寸的正方形CDEF上的点数（图7）。 假定线段上某点的位置是0.7512036......。我们可以把这个数按奇分位和偶分 位分开，组成两个不同的小数： 0.7108...... 和 0.5236...... 以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向，得出一个点，这个点就叫 做原来线段上那个点的“对偶点”。反过来，对于正方形内的任意一点，比如说由 0.4835，0.9907这两个数描述的点，我们把这两个数掺到一起，就得到了线段上的 相应的“对偶点”0.49893057。 很清楚，这种做法可以建立那两组点的一一对应关系。线段上的每一个点在平 面上都有一个对应的点，平面上的每一个点在线段上也有一个对应点，没有剩下来 的点。因此，按照康托尔的标准，正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点 数的无穷大数相等。 用同样的方法，我们也容易证明，立方体内所有的点数和正方形或线段上的所 有点数相等，只要把代表线段上一个点的无穷小数分作三部分，并用这三个新小数 在立方体内找“对偶点”就行了。和两条不同长度线段的情况一样，正方形和立方 体内点数的多少与它们的大小无关。 尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大，但数学家们还知道比它更大的数 。事实上，人们已经发现，各种曲线，包括任何一种奇形怪状的样式在内，它们的 样式的数目比所有几何点的数目还要大。因此，应该把它看作是第三级无穷数列。 按照“无穷算术”的奠基者康托尔的意见，无穷大数是用希伯来字母（读作阿 莱夫）表示的，在字母的右下角，再用一个小号数字表示这个无穷大数的级别。这 样一来，数目字（包括无穷大数）的数列就成为 我们说“一条线段上有个点”或曲线的样子有种“，就和我们平常说“世界有 七大洲”或“一付扑克牌有五十四张”一样。 在结束关于无穷大数的讨论时，我们要指出，无穷大数的级只要有几个，就足 够把人们所能想象出的任何无穷大数都包括进去了。大家知道，表示所有整数的数 目，表示所有几何点的数目，表示所有曲线的数目，但到目前为止，还没有人想得 出一种能用来表示的无穷大数来。看来，头三级无穷大数就足以包括我们所能想到 的一切无穷大数了。因此，我们现在的处境，正好跟我们前面的原始部族人相反： 他有许多个儿子，可却数不过三；我们什么都数得清，却又没有那么多东西让我们 来数！ 第二章 自然数和人工数 １．最纯粹的数学 数学往往被人们，特别是被数学家们奉为科学的皇后。贵为皇后，它当然不能屈尊俯就其它学科。因此，在一次“纯粹数学和应用数学联席会议上”，当有人邀请希尔伯特作一次公开演讲，以求消除在于这两种数学家之间的敌对情绪时，他这样说： ☆经常听到有人说，纯粹数学和应用数学是互相对立的。这是不符合事实的，纯粹数学和应用数学不是互相对立的。它们过去不曾对立过，将来也不会对立。它们是对立不起来的，因为在事实上它们两者毫无共同之处。☆ 然而，尽管数学喜欢保持自己的纯粹性，并尽力远离其它学科，其他学科却一直打算尽量同数学“亲善”，特别是物理学。事实上，纯粹数学的几乎每一个分支，包括诸如抽象群、不可逆代数、非欧几何等一向被认为是纯而又纯、决不能派任何用场的数学理论，现在也都被用来解释物质世界的这个性质或那个性质了。 但是，迄今为止，数学还有一个大分支没找到什么用途（除了起智力体操的作用以外），它真可以戴上“纯粹之王冠”哩。这就是所谓“数论”（这里的数指整数），它是最古老的一门数学分支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。（录入者，在计算机加密方面已经有所应用） 说来也怪，这门最纯粹的科学，从某种意义上说，又可以称为经验科学，甚至可称为实验科学。事实上，它的绝大多数定理都是靠用数学试着干某些事情而建立起来的，正如物理学定律是靠用物体试着干某些事情而建立起来一样。并且，数论的一些定理已“从数学上”得到了证明，而另一些却还停留在经验的阶段，至今仍在使最卓越的数学家绞尽脑汁，这一点也和物理学一样。 我们可以用质数问题作为例子。所谓质数，就是不能用两个或两个以上（１除外）较小的整数的乘积来表示的数，如１，２，３，５，７，１１，１３，１７，等等。而１２可以写成2×2×3，所以就不是质数。 质数是没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积呢？这个问题是欧几里得（Euclid）最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数的展延是不受任何限制的。 ☆为了研究这个问题，不妨暂时假设已知质数的个数是有限的，最大的一个用Ｎ来表示。现在让我们把所有质数都乘起来，再加上１。这写成数学式是： （1×2×3×5×7×11×13×……×N）＋1 这个数当然比我们所假设的“最大质数”N大得多。但是，十分明显，这个数不能被到N为止（包括N在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除它，都会剩下1。 因此，这个数要嘛本身也是个质数，要嘛就是能被比Ｎ还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于N为最大质数的假设相矛盾。☆ 这种证明方式叫做反证法，是数学家们爱用的工具之一。 我们既然知道质数的数目是无限的，自然就会想问一问，是否有什么简单方法可以把它们一个不漏地挨个写出来。古希腊的哲学家兼数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）提出了一种名叫“过筛”的方法。这就是把整个自然数列１，２，３，４......统统写下来，然后去掉所有２的倍数、３的倍数、５的倍数等等。前１００个数“过筛”后的情况如图９所示，共剩下二十六个质数。用这种简单的过筛方法，我们已经得到了十亿以内的质数表。 如果能导出一个公式，从而能迅速而自动地推算出所有的质数（并且仅仅是质数），那该多简便啊，１６４０年，著名的法国数学家费马（Pierre Fermat）认为自己找到了一个这样的公式。这个公式是 exp(2,exp(2,n))+1，n取自然数的各个值１，２，３，４等等。从这个公式我们得到： exp(2,exp(2,1))+1=5 exp(2,exp(2,2))+1=17 exp(2,exp(2,3))+1=257 exp(2,exp(2,4))+1=65,537 这几个数都是质数。但在费马宣称他取得这个成就以后一个世纪，德国数学家欧拉（Leonard Euler）指出，费马的第五个数不是个质数，而是6,700,417和641的乘积。因此，费马这个推算质数的经验公式被证明是错的。 还有一个值得一提的公式，用这个公式可以得到许多质数，这个公式是： exp(n,2)-n+41 n也取自然数各个值１，２，３等等。已经发现，在n为１到40的情况下，用这个公式都能得出质数。但不幸得很，到了第四十一步，这个公式也不得了。 事实上， exp(41,2)-41+41 这是一个平方数，而不是质数。 人们还试验过另一个公式，它是： exp(n,2)-79n+1601 这个公式在n从１到79时都能得到质数，但当n=80时，它又不成立了！ 因此，寻找只给出质数的普遍公式的问题至今还没有解决。 作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 21:01:00 数论定理另一个有趣的例子，是1742年提出的所谓“哥德巴赫（Goldbach）猜想” 这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻的定理，内容是：任何一个大于2的偶数都能表示为两个质数之和。 从一些简单的例子，你很容易看出这句话是对的。例如,12=7+5,24=17+7,32=29+3，但是数学家们在这方面做了大量工作，却仍然既不能做出肯定的断语，也不能找出一个反证。1931年，苏联数学家史尼雷尔曼（Schnirelman）朝着问题的最终解决迈出了建设性的第一步。他证明了，每个偶数都能表示为不多于300,000个质数的和。“300,000个质数之和”和“2个质数之和”之间的距离，后来又被另一个苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了。他把史尼雷尔曼那个结论改成了“四个质数之和”。但是，从维诺拉多夫的“四个质数”到哥德巴赫的“2个质数”，这最后两步大概是最难走的。谁也不能告诉你，到底是需要几年还是需要几个世纪。(※我国青年数学工作者陈景润又把这个结果推进了一步。他的结论是：任何一个大于2的偶数都可以表示为一个质数和不多于两个质数的乘积之和※) 可见，谈到推导能自动给出直到任意大的所有质数的公式的问题，从现在来看，我们离这一步还远得很哩！目前我们甚至连到底存在不存大这样的公式，也都还没有把握呢！ 现在，让我们换个小一点的问题看一看－－在给定的范围内质数所能占的百分比有多大。这个比值是随着数的增长加大还是减小，或者是近似为常数呢？我们可以用经验的方法，即通过查找各种不同数值范围内质数数目的方法，来解决这个问题。这样，我们查出，100之内有26个质数，在1,000之内有168个，在1,000,000之内有78,498个，在1,000,000,000之内有50,847,478个。把质数个数除以相应范围内的整数个数，得出下表： 数值范围 质数数目 比率 1/ln(n) 偏差（ %） 1－100 26 0.260 0.217 20 1－1000 168 0.168 0.145 16 1－exp(10,6) 78,498 0.078498 0.072382 8 1－exp(10,9) 50，847，478 0.050847478 5 从这张表上首先可以看出，随着数值范围的扩大，质数的数目相对减少了。但是，并不存在质数的终止点。 有没有一个简单方法可以用数学形式表示这种质数比值随范围的扩大而减小的现象呢？有的。并且，这个有关质数平均颁的规律已经成为数学上最值得称道的发现之一。这条规律很简单。就是：从1到任何自然数Ｎ之间所含质数的百分比，近似由Ｎ的自然对数的倒数所表示。Ｎ越大，这个规律就越精确。 从上表的第四栏，可以看到Ｎ的自然对数的倒数。把它们和前一栏对比一下，就会看出两者是很相近的，并且，Ｎ越大，它们也就越相近。 有许多数论上的定理，开始时都是凭经验作为假设提出，而在很长一段时间内得不到严格的证明的。上面这个质数定理也是如此。直到上世纪末，法国数学家阿达马(Jacques Solomon Hadamard）和比利时数学家布散（deLa Vallee Poussin）才终于证明了它。由于证明的方法太繁难，我们这里就不介绍了。 既然谈到整数，就不能不提一提著名的费马大数定理，尽管这个定理和质数没有必然的联系。要研究这个问题，先要回溯到古埃及。古埃及的每一个好木匠都知道，一个边长为3:4:5的三角形中，必定有一个角是直角。现在有人把这样的三角形叫做埃及三角形。古埃及的木匠就是用它作为自己的三角尺的。 作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 21:06:00 公元三世纪，亚历山大里亚城的刁番都（Diophante）开始考虑这样一个问题：从两个整数的平方和等于另一整数的平方这一点来说，具有这种性质的是否只有3和4这两个整数？他证明了还有其他具有同样的整数（实际上有无穷多组）并给出了求这些数的一般规则。这类三个边都是整数的直角三角形称为毕达哥拉斯三角形。简单说来，求这种三角形的三边就是解方程 exp(x,2)+exp(y,2)=exp(z,2) 式中的x，y，z必须是整数。 1621年，费马在巴黎买了一本刁番都所著〖算术学〗的法文译本，里面提到了毕达哥拉斯三角形。当费马读这本书的时候，他在书的空白处作了一些简短的笔记，并且指出， exp(x,2)+exp(y,2)=exp(z,2) 有无穷多组整数解，而形如 exp(x,n)+exp(y,n)=exp(z,n) 的方程，当n大于2时，永远没有整数解。 他后来说：“我当时想出了一个绝妙的证明方法，但是书上的空白太窄了，写不完。” 费马死后，人们在他的图书室里找到了刁番都的那本书，里面的笔记也公诸于世了。那是在三个世纪以前。从那时候以来，各国最优秀的数学家们都尝试重新作出费马写笔记时所想到的证明，但至今都没有成功。当然，在这方面已有相当大的进展，一门全新的数学分支－－“理想数论”－－在这个过程中创建起来了。欧拉证明了，方程 exp(x,3)+exp(y,3)=exp(z,3) 和 exp(x,4)+exp(y,4)=exp(z,4) 不可能有整数解。狄里克莱（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）证明了exp(x,5)+exp(y,5)=exp(z,5)也是这样。依靠其它一些数学家的共同努力，现在已经证明，在N小于269的情况下，费马的这个方程都没有整数解。不过，对于指数N在任何值下都成立的普遍证明，却一直没能作出。人们越来越倾向于认为，费马不是根本没有进行证明，就是在证明过程中有什么地方搞错了。为征求这个问题的解答，曾经悬赏过十万马克。那时，研究这个问题的人真是不少，不过，这些拜金的业余数学家都一事无成。 这个定理仍然有可能是错误的，只要能找到一个实例，证实两个整数的某一次幂的和等于另一个整数的同一次幂的和就行了。不过，这个幂次一定要在比269大的数目中去找，这可不是一件容易事啊。 （录入者：这个定理于1995年？我记不清了，已经有数学家给出了证明，现在可以肯定地说，费马大定理是正确的了 神秘的sqrt(-1)（根号负一） 现在，让我们来搞点高级算术。二二得四，三三见九，四四一十六，五五二十五，因此，四的平方根为二，九的平方根为三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。 然而，负数的平方根是什么样呢？sqrt(-5)和sqrt(-1)之类的表达式有什么意义呢？ 如果从有理数的角度来揣想这样的数，你一定会得出结论说，这样的式子没有任何意义，这是可以引用十二世纪的一位数学家拜斯.迦罗(Brahmin Bhaskara)的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，一个正数的平方根是两重的：一个正数和一个负数。负数没有平方根，因为负数并不是平方数。” 可是数学家的脾气倔强得很。如果有些看起来没有意义的东西不断在数学公式中冒头，他们就会尽可能造出一些意义来。负数的平方根就在很多地方冒过头，既在古老而简单的算术问题上出现，也在二十世纪相对论的时空结合问题上露面。 第一个将负数的平方根这个“显然”没有意义的东西写到公式里的勇士，是十六世纪的意大利数学家卡尔丹(Cardan)。在讨论是否有可能将10分成两部分，使两者的乘积等于40时，他指出，尽管这个问题没有有理解，然而，如果把答案写成5＋sqrt(-15)和5-sqrt(-15)这样两个怪模怪样的表达式，就可以满足要求了。 尽管卡尔丹认为这两个表达式没有意义，是虚构的、想象的，但是，他毕竟把它们写下来了。 既然有人敢把负数的平方根写下来，并且，尽管这有点想入非非，却把10分成两个乘起来等于40的事办成了；这样，有人开了头，负数的平方根－－卡尔丹给它起了个大号叫“虚数”－－就越来越经常地被科学家们所使用了，虽则总是伴有很大保留，并且要提出种种借口。在著名瑞士科学家欧拉1770年发表的代数著作中，有许多地方用到了虚数。然而，对这种数，他又加上了这样一个掣肘的评语：“一切如sqrt(-1)的数学式，都是不可能有的、想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都是不是少些什么。它们纯属虚幻。” 但是，尽管有这些非难和遁辞，虚数还是迅速成为分数和根式中无法避免的东西。没有它们，简直可以说寸步难行。 不妨说，虚数构成了实数在镜子里的幻象。而且，正象我们从基数1可以得到所有实数一样，我们可以把sqrt(-1)作为虚数的基数，从而得到所有的虚数。通常写作i。 不难看出 sqrt(-9)=sqrt(9)×sqrt(-1)=3i sqrt(-7)=sqrt(7)×sqrt(-1)=2.646…..i ….. 这么一来，每一个实数都有自己的虚数搭档。此外，实数和虚数结合起来，形成单一的表达式，例如5+sqrt(-15)=5+sqrt(15)i。这种表示方法是卡尔丹发明的，而这种混成的表达式通常称做复数。 虚数闯进数学的领地之后，足足有两个世纪的时间，一直披着一张神秘的、不可思议的面纱。直到两个业余数学家给虚数作出了简单的几何解释后，这张面纱才被揭去，这两个人是：测绘员威塞尔(Wessel)，挪威人；会计师阿尔刚(Robert Argand)，法国巴黎人。 按照他们的解释，一个复数，例如3＋4i，可以象图10(录入者，就是一个复平面，这个大家应该都知道了)那样表示出来，其中3是水平方向的座标，4是垂直方向的座标。 所有的实数（正数和负数）都对应于横轴上的点，而纯虚数则对应于纵轴上的点。当我们把位于横轴上的实数3乘以虚数单位i时，就得到位于纵轴上的纯虚数。因此，一个数乘以i，在几何上相当于逆时针旋转90（见图10） 如果把再乘以i，则又须再逆转90，这一下又回到横轴上，不过却位于负数那一边了。因为3i×I=3×exp(i,2)=-3 或exp(i,2)=-1 “i的平方等于-1”这个说法，比“两次旋转90(都旋时针进行)便变成反向”更容易理解。 这个规则同样适用于复数。把3+4i乘以i，得到 (3+4i)I=3i+4exp(i,2)=3i-4=-4+3i 从图10可立即看出，正好相当于这个点绕原点逆时针旋转了90。同样的道理，一个数乘上-i就是它绕原点顺时针旋转90。这一点从图10也能看出. 如果你现在仍然觉得虚数带有一张神秘的面纱，那么，让我们通过一个简单的，包含有虚数的实际应用的习题来把这张面纱揭去吧。 （录入者：乔治先生在下边给出的这个例子中的故事非常有意思，有兴趣的话大家可以自己做一下试验，这非常有助于你对复数的威力的理解） 作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-25 12:06:00 ☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 从前，有个富于冒险精神的年轻人，在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面指出了一项宝藏。它是这样写着的： 乘船到北纬（＿）、西经（＿），即可找到一座荒岛，岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树。还有一座绞架，那是我们过去用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右拐个直角再走这么多步，在这里打个桩。然后回到绞架那里，朝松树走去，同时记住所走的步数，到松树向左拐个直角再走这么多步。在这里也打个桩。在两个桩的正当中挖掘，就可找到宝藏。 ☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 这道指示很清楚、明白。所以，这位年轻人就租了一条船开往目的地。他找到了这座岛，也找到了橡树和松树。但使他大失所望的是，绞架不见了。经过长时间的风吹日晒，绞架已糟烂成土，一点痕迹与看不出了 我们这位年轻的冒险家陷入了绝望。在狂乱中，他在地上乱掘起来。但是，地方太大了。一切只是白费力气。他只好两手空空，启帆回程。因此，那项宝藏恐怕还在那岛上埋着呢！ 这是一个令人伤心的故事。然而，更令人伤心的是：如果这个小伙子懂得点数学。特别是虚数，他本来是有可能找到这项宝藏的。现在我们来为他找找看，尽管已经为时太晚，于他无补了。 我们把这个岛看成一个复数平面，过两棵树干画一轴线（实轴），过两树中点与实轴垂直作虚轴（见图11)，并以两树距离的一半作为长度单位。这样，橡树位于实轴上的-1点上，松树则位于+1点上。我们不晓得绞架在何处，不妨用大写的希腊字母Γ（这个字母的样子倒象个绞架！）表示它的假设位置。这个位置不一定在两根轴上，因此，应该是个复数，即 Γ=a+bi 现在来搞点小计算，同时别忘记了我们以前讲过的虚数的乘法。既然绞架在Γ，橡树在-1，两者的距离和方位便为-1-Γ。同理，绞架与松树相距1-Γ。将这两段距离分别顺时针和逆时针旋转90，也就是按上述规则把两个距离分别乘以-i和i。这样便得出两根桩的位置为： 第一根：(-i)[-(1+Γ)]+1=i(Γ+1)+1 第二根：(+i)(1-Γ)-1=i(1-Γ)-1 (这一部分作者使用了向量减法，大家最好在纸上画一画，就明白这两个算式的意义了) 宝藏在两根桩的正中间，因此，我们应该求出上述两个复数之和的一半，即 (1/2)[i(Γ+1)+1+I(1-Γ)-1]=(1/2)[iΓ+i+1+i-IΓ-1]=(1/2)(2i)=i 现在可以看出，所表示的未知绞架的位置Γ已经在运算过程中消失了。不管这绞架在何处，宝藏都在i这个点上。 瞧，如果我们这位年轻的探险家能做这么一点点数学运算，他就无须在整个岛上挖来挖去，他只要在图11中打处×一挖，就可以把宝贝弄到手了。 如果你还是不相信要找到宝藏，可以完全不知道绞架的位置，你不妨拿一张纸，画上两棵树的位置。再在不同的地方假设几次绞架的位置。然后按羊皮纸文件上的方法去做。不管做多少次，你一定总是得到复数平面中那个位置。 依靠-1的平方根这个虚数，人们还找到了另一个宝藏，这就是发现普通的三维空间可以和时间结合，从而形成遵从四维几何学规律的四维空间。下一章在介绍爱因斯坦的思维和他的相对论时，我们将再讨论这一发现。 第二部分 空间、时间与爱因斯坦 第三章 空间的不寻常的性质 大家都知道什么叫空间，不过，如果要抠这个词的准确意义，恐怕又会说不出个所以然来。你大概会这样说：空间乃包含万物，可供万物在其中上下、前后、左右运动者也。三个互相垂直的独立方向的存在，描述了我们所处的物理空间的最基本的性质之一；我们说，这个空间是三个方向的，即三维的。空间的任何位置都可利用这三个方向来确定。如果我们到了一座不熟悉的城市，想找某一家有名商号的办事处，旅店服务员就会告诉你：“向南走过五条街，往右拐，再过两条马路，上第七层楼。”这三个数一般称为座标。在这个例子里，坐标确定了大街、楼的层数和出发点（旅店前厅）的关系。显然，从其他任何地方来判别同一目标的方位时，只要采用一套能正确表达新出发点和目标之间的关系的坐标就行了。并且，只要知道新、老坐标系统的相对位置，就可以通过简单的数学运算，用老坐标来表示出新坐标。这个过程叫做坐标变换。这里得说明一句，三个坐标不一定非得是表示距离的数不可，在某些情况下，用角度当坐标要方便得多。 举例来说，在纽约，位置往往用街和马路来表示，这是直角坐标；在莫斯科则要换成极坐标。从城堡辐射出若干街道，环城堡又有若干条同心的干路。这时，如果说某座房子位于克里姆林宫正东北方向第二十条马路上，当然会很便当。 图12给出了几种用三个坐标表示空间中某一点的位置的方法，其中有的坐标是距离，有的坐标是角度。但不论什么系统，都需要三个数。因为我们所研究的是三维空间。 （录入者，这个图中给出了三种坐标，一种是直角坐标，一种极坐标，还有一种是双极坐标――似乎不很常见，据说在航海中很有用，这种坐标用某点与已知两点所成的角度来表示点的位置的，故坐标值是两个角度，很明显。它无法表示与已知的两点共线的所有点） 对于我们这些具有三维空间概念的人来说，要想象比三维多的多维空间是困难的，而想象比三维少的低维空间则是容易的。一个平面，一个球面，或不管什么面，都是二维空间，因为对于面上的任意一点，只要用两个数就可以描述。同理，线（直线或曲线）是一维的，因为只需要一个数便可以描述线上的各点的位置。我们还可以说，点是零维的，因为在一个点上没有第二个不同的位置。可是话说回来，谁对点感兴趣呢！ 作为一种三维的生物，我们觉得很容易理解线和面的几何性质，这是因为我们能“从外面”观察它们。但是，对三维空间的几何性质，就不那么容易了，因为我们是这个空间的一部分。这个原因解释了为什么我们不费什么事就理解了曲线和曲面的概念，而一听说有弯曲的三维空间就大吃一惊。 不过，在讨论弯曲的三维空间之前，还是先来做几节有关一维曲线、二维曲面和普通三维空间的脑力操吧。 作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-25 12:22:00 ２、不量尺寸的几何学 你在学校里早就与几何学搞得很熟了。在你的记忆中，这是一门量度的科学，它的大部分内容，是一大堆叙述长度和角度的各种数值关系的定理（例如，毕达哥拉斯定理就是叙述直角三角形三边长度的关系的）。然而，空间的许多最基本的性质，却根本用不着测量长度和角度。几何学中有关这一类内容的分支叫拓朴学。 现在举一个简单的典型拓扑学的例子，设想有一个封闭的几何面，比如说一个球面，它被一些线分成许多区域。我们可以这样做：在球面上任选一些点，用不相交的线把它们连接起来。那么，这些点的数目、连线的数目和区域的数目之间有什么关系呢。 首先，十分明显的一点是：如果把这个圆球挤成南瓜样的扁球，或拉成黄瓜那样的长条，那么，点、线、块的数目显然还和圆球时的数目一样。事实上，我们可以取任何形状的闭曲面，就象随意拉挤压扭一个气球时所能得到的那么曲面（但不能把气球撕裂或割破）一样。这时，上述问题的提法和结论都没有丝毫改变。而在一般几何学中，如果把一个正方体变成平行六面体，或把球形压成饼形，各种数值（如线的长度、面积、体积等）都会发生很大变化。这一点是两种几何学的很大不同之处。 我们现在可以将这个划分好的球的每一区域都展平，这样，球就变成了多面体（图13），相邻区域的界线变成了棱，原先挑选的点就成了顶点。 这样一来，我们刚才那个问题就变成（本质上没有任何改变）：一个任意形状的多面体的面、棱和顶点的数目之间有什么关系？ 图14示出了五种正多面体（即所有各个面都有同样多边和顶点）和一个随意画出的不规则多面体。 我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、棱数和面数，看看它们之间有没有什么关系。 数一数以后，我们得到下面的表。 ━━━━━━━┯━━━━━┯━━━━━┯━━━━┯━━━━━┯━━━━ 多面体名称 │ 顶点数Ｖ│ 棱数Ｅ │ 面数Ｆ│ Ｖ＋Ｆ │Ｅ＋２ ───────┼─────┼─────┼────┼─────┼──── 四面体 │ ４ │ ６ │ ４ │ ８ │ ８ ───────┼─────┼─────┼────┼─────┼──── 六面体 │ ８ │ １２ │ ６ │ １４ │ １４ ───────┼─────┼─────┼────┼─────┼──── 八面体 │ ６ │ １２ │ ８ │ １４ │ １４ ───────┼─────┼─────┼────┼─────┼──── 二十面体 │ １２ │ ３０ │ ２０ │ ３２ │ ３２ ───────┼─────┼─────┼────┼─────┼──── 十二面体 │ ２０ │ ３０ │ １２ │ ３２ │ ３２ ───────┼─────┼─────┼────┼─────┼──── 古怪体 │ ２１ │ ４５ │ ２６ │ ４７ │ ４７ ━━━━━━━┷━━━━━┷━━━━━┷━━━━┷━━━━━┷━━━━ 前面三栏的数据，乍一看来好象没有什么相互关系。但仔细研究一下，就会发现，顶点数和面数之和总是比棱数大2。因此，我们可以写出这样一个关系式： Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２ 这个是适用于任何多面体呢，还是只适用于图14上这几个特殊的多面体？你不妨再画几个其它样子的多面体，数数它们的顶点、棱和面。你会发现，结果还是一样。可见，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２是拓扑学的一个普遍适用的数学定理，因为这个关系式并不涉及到棱的长短或面的大小，它只牵涉到各种几何学单位（顶点、面、棱）的数目。 这个关系是十七世纪法国的大数学家笛卡尔（Rene descartes）最先注意到的，它的严格证明则由另一位数学家欧拉作出。这个定理现在被称为欧拉定理。 下面就是欧拉定理的证明，引自古朗特（R.Courant）和罗宾斯（H.Robbins）的著作〖数学是什么？〗。我们可以看一看，这一类型的定理是如何证明的。 为了证明欧拉的公式，我们可以把给定的简单多面体想象成用橡皮薄膜作成的中空体（图15a）。如果我们割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面（图15b）。当然，这么一来，面积和棱间的角度都会有所改变。然而这个平面网络的顶点数和边数都与原多面体一样，而多边形的数目则比原来多面体的面数少了一个（因为割去了一个面）。下面我们将证明，对于这个平面网络，V’-E+F=1。这样，在加上割去的那个面以后，结果就成为：对于原多面体，V-E+F=2。 首先，我们把这个平面网络“三角形化”，即给网络中不是三角形的多边形加上对角线。这样，Ｅ和Ｆ的数目都会增加。但由于每加一条对角线，Ｅ和Ｆ都增加１，因此V-E+F仍保持不变。这样添加下去，最后，所有的多边形都会变成三角形（图15C）。在这个三角形化了的网络中，V-E+F仍和三角形化以前的数值一样，因为添加对角线并不改变这个数值。 有一些三角形位于网络边缘，其中有的（如）只有一条边位于边缘，有的则可能有两条边。我们依次把这些边缘三角形的那些不属于其它三角形的边、顶点和面拿掉（图）。这样，从，我们拿去了边和这个三角形的面，只留下顶点和两条边，从，我们拿去了平面、两条边和顶点。 在式的去法中，Ｅ和Ｆ都减少１，但Ｖ不变，因而V-E+F不变。在式的去法中，Ｖ减少１，Ｅ减少２，Ｆ减少１。因而V-E+F仍不变。以适当方式逐个减少这些边缘三角形。直到最后只剩下一个三角形。一个三角形有三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网络，V-E+F＝3-3+1=1。我们已经知道，V-E+F并不随三角形的减少而改变，因此，在开始的那个网络中，V-E+F也应该等于1。但是，这个网络又比原来那个多面体少一个面，因此，对于完整的多面体，V-E+F=2。这就证明了欧拉的公式。 欧拉公式的一条有趣的推论就是：只可能有五种正多面体存在，就是图14中那五种。 作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-25 12:23:00 如果把前面几页的讨论仔细推敲一下，你可能就会注意到，在画出图14上所示的“各种不同”的多面体，以及在用数学推理证明欧位定理时，我们都作了一个内在的假设，它使我们在选择多面体时受了相当的限制。这个内在假设就是：多面体必须没有任何透眼。所谓透眼，不是气球上撕去一块后所形成的形状。而是象面包圈或橡皮轮胎正中的那个窟窿的模样。 这只要看图16就清楚了。这儿有两种不同的几何体，它们和图14所示的一样，也都是多面体。 现在我们来看看，欧拉定理对这两个新的多面体适用不适用。 在第一个几何体上，可数出16个顶点、32条棱和16个面；这样，V+F=32，而E+2=34，不对了。第二个有28个顶点、54条棱和30个面;V+F=58,E+2=56，这就更不对了。 为什么会这样呢？我们对欧位定理作一般证明时的推理对于这两个例子错在哪里呢？ 错就错在；我们以前所考虑到的多面体可以看成一个球胆或气球，而现在这种新型多面体却应看成橡皮轮胎或更为复杂的橡胶制品。对于这类多面体，无法进行上述证明过程所必需的步骤－－“割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面。” 如果是一个球胆，那么，用剪刀剪去一块之后，就很容易完成这个步骤。对于一个轮胎，却无论如何也不会成功。要是图16还不能使你相信这一点，你找条旧轮胎动手试一试也可以！ 但是不要认为对于这类较为复杂的多面体，Ｖ，Ｅ和Ｆ之间就没有关系了。关系是有的，说得科学一点，即对于环状圆纹曲面型的多面体，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ。而对于那种蜜麻花型的，则Ｖ＋Ｆ＝Ｅ－２。一般说来，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２－２Ｎ，Ｎ表示透眼的个数。 另一个典型的拓扑学问题与欧拉定理密切有关，它是所谓“四色问题”。假设有一个球面划分成若干区域；把这球面涂上颜色，要求任何两个相邻的区域（即有共同边界的区域）不能涂上同一种颜色。问完成这项工作，最少需要几种颜色？很容易看出，两种颜色一般来说是不够用的。因为当三条边界交于一点时（比如美国的弗吉尼亚、西弗吉尼亚和马里兰三州的地图，见图17），就需要三种颜色。 要找到需要四种颜色的例子也不难（图17）。这是过去德国吞并奥地利时的瑞士地图。 但是，随你怎么画，也得不到一张非得用四种以上颜色不可的地图，无论在球面上还是在平面上都是如此。看来，不管是多么复杂的地图，四种颜色就足以避免边界两边的区域相混了。 不过，如果这种说法是正确的，就应该能够从数学上加以证明。然而，这个问题虽经几代数学家的努力，至今仍未成功。这是那种实际上已无人怀疑。但也无人能证明的数学问题的又一个典型实例、现在，我们只能从数学上证明有五种颜色就足够了。这个证明是将欧拉关系应用于国家数、边界数和数个国家碰到一块的三重、四重等等交点数而得出的。 这个证明过程太复杂，写出来会离题太远，在这里就不赘述了。读者可以在各种拓扑学的书中找到它，并借以渡过一个愉快的晚上（说不定还得一夜不眠）。如果有谁能够证明无需五种、而只用四种颜色就足以给任何地图上色，或研究出一幅四种颜色还不够用的地图，那么，不论哪一种成功了，他的大名就会在纯粹数学的年鉴上出现一百年之久。 说来好笑，这个上色问题，在球面和平面的简单情况下怎么也证不出来；而在复杂的曲面，如面包圈形和蜜麻花型中，却比较顺利地得到了证明。比如，在砚面包圈型中已经得出结论说，不管它怎样分划，要使相邻区域的颜色不至相同，至少需要七种颜色。这样的也做出来了。 读者不妨在费点脑筋，找一个充气轮胎，再弄到七种颜色的油漆，给轮胎上漆，使每一色漆块都和另外六种颜色漆块相邻。如果做到这一点，他就可以声称他对面包圈型曲面确实心里“有谱”了。 注：四色问题已经于八十年代初借助于计算机的帮助解决了。 ３、把空间翻过来 到目前为止，我们所讨论的都是各种曲面，也就是二维空间的拓扑学性质。我们同样也可以对我们生存在内的这个三维空间提出类似的问题。这么一来，地图着色问题在三维情况下就变成了：用不同的物质制成不同形状的镶嵌体，并把它们拼成一块，使得没有两块同一种物质制成的子块有共同的接触面，那么，需要用多少种物质？ 什么样的三维空间对应于二维的球面或环状圆纹曲面呢？能不能设想出一些特殊空间，它们与一般空间的关系正好同球面或环状面与一般平面的关系一样？乍一看，这个问题似乎提得很没有道理，因为尽管我们能很容易地想出许多式样的曲面来，但却一直倾向于认为只有一种三维空间，即我们所熟悉并在其中生活的物理空间。然而，这种观念是危险的，有欺骗性的。只要发动一下想象力，我们就能想出一些与欧几里得几何教科书中所进述的空间大不相同的三维空间来。 要想象这样一些古怪的空间，主要的困难在于，我们本身也是三维空间中的生物，我们只能“从内部”来观察这个空间，而不能像在观察各种曲面时那样“从外部”去观察。不过，我们可以通过做几节脑筋操，使自己在征服这些怪空间时不致过于困难。 首先让我们建立一种性质与球面相类似的三维空间模型。球面的主要性质是：它没有边界，但却具有确定的面积；它是弯曲的，自我封闭的。能不能设想一种同样自我封闭，从而具有确定体积而无明显界面的三维空间呢？ 设想有两个球体，各自限定在自己的球形表面内，如同两个未削皮的苹果一样。现在，设想这两个球体“互相穿过”，沿外表面粘在一起。当然，这并不是说，两个物理学上的物体如苹果，能被挤得互相穿过并把外皮粘连在一起。苹果就是被挤成碎块，也不会互相穿过的。 或者，我们不如设想有个苹果，被虫子吃出弯曲盘结的隧道。要设想有两种虫子，比如说一种黑的和一种白的；它们互相憎恶，因此，苹果内虫蛀的隧道并不相通，尽管在苹果的皮上它们可以从紧挨着的两点蛀食进去。这样一个苹果，被两条虫子蛀来蛀去，就会像图18那样，出现互相紧紧缠结、布满整个苹果内部的双股通道。但是，尽管黑虫和白虫的隧道可以很接近，要想从这两座迷宫中的任一座跑到另一座去，却必须先走到表面才行。如果设想隧道越来越细，数目越来越多，最后就会在苹果内得到互相交错的两个独立空间，它们仅仅在公共的表面上相连。 如果你不喜欢用虫子作例子，不妨设想一种类似纽约的世界博览会大厦这座巨大球形建筑里的那种双过道双楼梯系统。设想每一套楼道系统都盘过整个球体，但要从其中一套的一个地点到达邻近一套的一个地点，只能先走到球面上两套楼道会合处，再往里走。我们说这两个球体互相交错而不相妨碍。你和你的朋友可能离得很近，但要见见面、握握手，却非得兜一个好大的圈子不可！必须注意，两套楼道系统的连接点实际上与球内的各点没有什么不同之处，因为你总是可以把整个结构变变形，把连接点弄到里面去，把原先在里面的点弄到外面来。还要注意，在这个模型中，尽管两套隧道的总长度是确定的，确没有“死胡同”。你可以在楼道中走来走去，决不会被墙壁或栅栏挡住；只要你走得足够远，你一定会在某个时候重新走到你的出发点。如果从外面观察整个结构，你可以说，在这迷宫里行走的人总会回到出发点，只不过是由于楼道逐渐弯曲成球形。但对于处在内部、而且不知“外面”为何物的人来说，这个空间就表现为具有确定大小而无明确边界的东西。我们在下一章将会看到，这种没有明显边界、然而并非无限的“自我封闭的三维空间”在一般地讨论宇宙的性质时是非常有用的。事实上，过去用最强大的望远镜所进行的观察似乎表明了，在我们视线的边缘这样远的距离上，宇宙好象开始弯曲了，这显示它有折回来自我封闭的明显趋势，就象那个被蛀食出隧道的苹果的例子一样。不过，在研究这些令人兴奋的问题之前，我们还得再知道空间的其它性质。 我们跟苹果和虫子的交道还没有打完。下一个总是是能否把一只被虫子蛀过的苹果变成一个面包圈。当然，这不是说把苹果变成面包圈的味道。而只是说样子变得一样；我们所研究的是几何学，而不是烹饪法。让我们取一只前面讲过的“双苹果”，也就是两个“互相穿过”并且表皮“粘连在一起”的苹果。假设有一只虫子在其中一只苹果里蛀出了一条环形隧道，如图19所示。记住，是在一只苹果里蛀的。所以，在隧道外的每一点都是属于两个苹果的双重点，而在隧道内则只有那个未被蛀过的苹果的物质。这个“双苹果”现在有了一个由隧道内壁构成的自由表面（图19a）。 如果假设苹果具有很大的可塑性，怎么捏就怎么变形。在要求苹果不发生裂口的条件下，能否把这个被虫子蛀过的苹果变成面包圈呢？为了便于操作，可以把苹果切开，不过在进行过必要的变形后，还应把原切口粘起来。 首先，我们把粘住这“双苹果”的果皮的胶质去除，将两个苹果分开（图19b）。用Ｉ和Ｉ‘这两个数字表示这两张表皮，以便在下面各步骤中盯住它们，并在最后重新把它们粘起来。然后，把那个被蛀出一条隧道的苹果沿隧道切开（图19c）。这一下又切出两个新面来，记之以和，，将来，还是要把它们粘回去的。现在，隧道的自由面显示出来了，它应该成为面包圈的自由面。好，现在就按图19d的样子来摆弄这几块零碎儿。现在这个自由面被拉伸成了老大一块了（不过，按照我们的假定，这种物质是可以任意伸缩的！）。而切开的面，，，的尺寸都变小了。与此同时，我们也对第二个苹果进行手术，把它缩成樱桃那么大。现在开始往回粘。第一步先把，，粘上，这很容易做到，粘成后如图19c。第二步把被缩小的苹果放在第一个苹果所形成的两个夹口中间。收拢两夹口，球面就和重新粘在一起，被切开的面和也再结合。这一来，我们就得到了一个面包圈，溜溜的，多么精致！ 搞这些有什么用呢？ 没有什么用，只不过让你作作脑筋操，体会一下什么是想象的几何学。这有助于理解弯曲空间和自我封闭空间这类不寻常的东西。 你大概还没有意识到过，你的身体也具有面包圈的形状吧。事实上，任何有生命的物体，在其发育的最初阶段（胚胎阶段）都经历过“胚囊”这一过程。在这个阶段，它呈球形，当中横贯着一条宽阔的通道。食物从通道的一端进入，被生命体摄取了有用成分以后。剩下的物质从另一端排出。到了发育成熟阶段，这条内部通道就变得越来越细。越来越复杂，但最主要的性质依然如故，面包圈型体的所有几何性质也没有改变。 好啦，既然你自己也是一个面包圈，那么，现在试试按照图１９Ａ的逆过程把它翻回去－－把你的身体（在思维中）变成内部有一条通道的双苹果。你会发现，你身体中各个彼此有些交错的部分组成了这个“双苹果”的果体，而整个宇宙，包括地球、月亮、太阳和星辰，都被挤进了内部的圆形隧道！ 你还可以试画画看，看画成什么样子。如果你的成绩不错，那就连达利（SalvadoDali）本人也要承认你是超现实派的绘画权威了！（图20） 作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-27 17:36:00 这一节已经够长了，但我们还不能就此结束，还得讨论一下左手系和右手系物体，以及它们写窨的一般性质的关系。这个问题从一副手套起最为便当。一副手套有两只。把它们比较一下就会发现（图21）它们的所有尺寸都相同，然而，两只手套却有极大的不同：你决不能把左手那只手套戴到右手上，也不能把右手那只套在左手上。你尽管把它们扭来扭去，但左手套永远是左手套，右手套永远是右手套。另外，在鞋子的形状上，在汽车的操纵系统（美国的和英国的）上和在许多其他物体上，都可以看到左手系和右手系的区别。 另一方面，有些东西，如礼帽，网球拍等许多物体，就不存在这种差别。没有人会蠢到想去商店里买几只左手用的茶杯；如果有人叫你找邻居去借一把左手用的活动扳手，这也纯粹是在捉弄人。那么，这两类物体有什么区别呢？你想一想就会发现，在礼帽和茶杯等一类物体上都存在一个对称面，沿着这个面可将物体切成两个相等的部分。手套和鞋子就不存在这种对称面。你不妨试一试，无论怎么切，你都不能把一只手套割成两个相同的部分。如果某一类物体不具有对称面，我们就说它们是非对称的，而且就能把它们分成两类－－左手系的与右手系的。这两系的差别不仅在手套这些人造的物体上表现出来，在自然界中也经常存在。例如，存在着两种蜗牛，它们在其它各个方面都一样，唯独给自己盖房子的方式不同：一种蜗牛的壳呈顺时针螺旋形，另一种呈逆时针螺旋形。就是在分子这种组成一切物质的微粒中，也象在左、右手手套和蜗牛壳的情况中一样，往往有左旋和右旋两种形态。当然，分子是肉眼看不见的，但是，这类分子所构成的物质的结晶形状和光学性质，都显示出这种不对称性。例如，糖就有两类，左旋糖和右旋糖；还有两类吃糖的细菌，每一类只吞吃与自己同类的糖，信不信由你。 从上述内容看来，要想把一个右手系物体（比如说一只手套）变成左手系物体，似乎是完全不可能的。真的是这样吗？能不能想象出某种可以实现这种变化的奇妙空间呢？我们从生活在平面上的扁片人的角度来解答这个问题，因为这样做，我们能站在较为优越的三维的地位上来考察各个方面。请看图22，图上描绘了扁片国－－即仅有两维的空间－－的几个可能的代表。那个手里提着一串葡萄站立的人可以叫做“正面人”因为他只有“正面”而没有“侧身”。他旁边的动物则是一头“侧身驴”，说得更严格一点，是一头“右侧身驴”。当然，我们也可以画出一头“左侧身驴”来。这时，由于这两头驴都局限在这个面上，从两维的观点来看，它们的不同正如在三维空间中的左、右手手套一样。你不能使左、右两头驴头并头地叠在一起，因为如果要它们鼻子挨着鼻子、尾巴挨着尾巴，其中就得有一头翻个肚皮朝天才行，这样，它可就四脚朝天，无法立足喽。 图22 生活在曲面上的二维“扁片生物”就是这个样子的。不过，这类生物很不“现实”。那个人有正面而无侧面，他不能把手里的葡萄放进自己的嘴里。那头驴子吃起葡萄来倒是挺便当，但它只能朝右走，如果它要向左去，就只好退着走。驴子倒是常往后退的，不过这毕竟不那么象样。 不过，如果把一头驴子从面上取下来，在空间中掉转一下，再放回面上来，两头驴子就都一样了。与此相似，我们也可以说，如果把一只右手手套从我们这个空间中拿到四维空间中，用适当的方式旋转一下再放回来，它就会变成一只左手手套。但是，我们这个物理空间并没有第四维存在，所以必须认为上述方法是不可能实现的。那么，有没有别的方法呢？ 让我们还回到二维世界上来。不过，我们要把图22那样的一般平面，换成所谓的梅比乌斯（Mobius）面。这种曲面是以一个世纪以前第一个对这种面进行研究的德国数学家来命名的。它很容易得到：拿一长条普通纸，把一端拧一个弯后，将两端对粘成一个环。从图23上可看出这个环该如何做。这种面有许多特殊的性质，其中有一点是很容易发现的：拿一把剪刀平行于边缘的中线剪一圈（沿图23上的箭头），你一定会预言，这一来会把这个环剪成两个独立的环；但做一下看看，你就会发现你想错了：得到的不是两个环，而是一个环，它比原来那个长一倍，窄一半！ 让我们看看，一头扁片驴沿莫比乌斯面走一圈会发生什么。假定它从位置1（图23）开始，这时看来它是头“左侧身驴”。从图上可以清楚地看出，它走啊走，越过了位置2，位置3，最后又接近了出发点。但是，不单是你觉得奇怪，连它自己也觉得不对劲，它竟然处在蹄子朝上的古怪位置。当然，它能在面内转一下，蹄子又落了地，但这样一来，头的方向又不对了。 总之，当沿梅比乌斯面走一圈后，我们的“左侧面驴”变成了“右侧面驴”。要记住，这是在驴子一直处在面上而从未取出来在空间旋转的情况下发生的。于是我们发现，在一个扭曲的面上，左、右手系物体都可在通过扭曲处时发生转换。图23所示的梅比乌斯面是被称作“克莱茵瓶”的更有一般性的曲面的一部分（克莱茵瓶如图23所示）。这种“瓶”有一个面，它自我封闭而没有明显的边界。如果这种面在四维空间内是可能的，那么，同样的情况也能在三维空间发生，当然，这要求空间有一个适当的扭曲。要想象空间中的梅比乌斯扭曲自然决非易事。我们不能象看扁片驴那样从外部来看我们自己的这个空间，而从内部看又往往是看不清的。但是，天文空间并非不可能自我封闭，并有一个梅比乌斯式扭曲的。 如果情况确实如此，那么，环游宇宙的旅行家将会带着一颗位于右胸腔的心脏回到地球上来。手套和鞋子制造商兴许能由简化生产过程而获得一些好处。因为他们只需制造清一式的鞋子和手套，然后把一半产品装入飞船，让它们绕行宇宙一周，这样它们就能套进另一边的手脚了。 我们就用这个奇想来结束有关不寻常空间的不寻常性质的讨论吧。 第四章 四维世界 １、时间是第四维 关于第四维的概念经常被认为是很神秘、很值得怀疑的。我们这些只有宽度、厚度和高度的生物，怎么竟敢奢谈什么四维空间呢？从我们三维的头脑里能想象出四维情景吗？一个四维的正方体或四维的球体该是什么样子呢？当我们说的是“想象”一头鼻里喷火、尾上披鳞的巨龙、或一架翼上设有游泳池和两个网球场的超级客机时，实际上只不过是在头脑中描绘这些东西果真出现在我们面前时的样子。我们描绘这种图象的背景，仍然是大家所熟悉的、包括一切普通物体－－连同我们本身在内－－的三维空间。如果说这就是“想象”这个词的念义，那我们就想象不了出现在三维空间背景上的四维物体是什么样子了，正如同我们不可能将一个三维物体压进一个平面那样。不过且慢，我们「确实」可以在平面上画出三物体来，因而在某种意义，可以说是将一个三维物体压进了平面。然而，这种压法可不是用水压机或诸如此类的物理力来实现，而是用“几何投影”的方法进行的。用这两种方法将物体（以马为例）压进平面的差别，可以立即从图２４上看出来。 用类比的方法，现在我们可以说，尽管不能把一个四维物体完完全全“压进”三维空间，但我们能够讨论各种四维物体在三维空间中的“投影”。不过要记住，四维物体在三维空间中的投影是立体图形，如同三维物体在平面上的投影图形一样。 为了更好地了解这个问题，让我们先考虑一下，生活在平面上的二维扁片人是如何领悟三维立方体的概念的。不难想象，作为三维空间的生物，我们有一个优越之处，即可以从二维空间的上方、即第三个方向上来观察平面上的世界。将它“投影”到平面上。旋转这个立方体，可以得到各式各样的投影。观察这些投影，我们那些二维的扁片朋友就多少能对这个叫做“三维立方体”的神秘图形的性质形成某些概念。他们仅是观看投影，他们也会说出这个东西有八个顶点、十二条边等等。现在请看图１６，你将发现，你和那些只能从平面上琢磨立方体投影的扁片人一样处于困难的境地了。事实上，图中那一家人如此惊愕地研究的那个古怪复杂的玩艺，正是一个四维超正方体在我们这个普通三维空间中的投影。 仔细端详这个形体,你很容易发现,它与图25中令扁片人惊讶不止的图形具有相同的特征:普通立方体在平面上的投影是两个正方形,一个套在另一个里面(录入者:想象一下,使用点光源,我们把这个立方体想象成用铁丝做成的立方体框架,点光源在这个框架的一个面的正上方,投影面在正下方),并且顶点和顶点都相连;超正方体在一般窨中的投影则由两个立方体构成,一个套在另一个里面,顶点也相连.数一数就知道,这个超正方体共有16个顶点,32条棱和24个面.好一个正方体啊,是吧? 让我们再来看看四维球体是什么样的。为此，我们最好还是先看一个较为熟悉的例子，即一个普通圆球在平面上的投影。不妨设想将一个标出陆地和海洋的透明球投射到一堵白墙上（图２７）。在这个投影上，两个半球当然重叠在一起，而且，从投影上看，美国的纽约和中国的北京离得很近。但这只是个表面印象，实际上，投影上的每一个点都代表球上两个相对的点，而一架从纽约飞到北京的收音机其投影则先移动到球体投影的边缘，然后再一直退回来。尽管从图上看来，两架收音机的航线相重合，但如果它们“确实”分别在两 个半球上飞行，那是不会相撞的。 这就是普通球体平面投影的性质。再发挥一下想象力，我们就不难判断出四维超球体的三维投影的形状。普通圆球的平面投影是两个相叠（点对点）、只在外面的圆周上连接的圆盘一样，超球体的三维投影一定是两个互相贯穿并且外表面相连接的球体。这种特殊结构，我们早在上一章讨论过了，不过那时是作为与封闭球面相类似的三维封闭空间的例子提出的。因此，这里只需再补充一句：四维球体的三维投影就是上一节讲到的两个沿整个外表皮长在一起的苹果（双苹果）。 同样地，用这种的方法，我们能够解答许多有关形体其他性质的问题。不过，无论如何，我们也决不能够在我们这个物理空间内“想象”出第四个独立的方向来。 但是，只要再多思考一下，你就会意识到，把第四个方向看得太神秘是毫无必要的。事实上，有一个我们几乎每天都要用的字眼，可以用来表示、并且也的确就是物理世界的第四个独立的方向，这个字眼就是“时间”。时间经常和空间一起被描绘我们周围发生的事件。当我们说到宇宙间发生的任何事情时，无论是说在街上与老朋友邂逅，还是说遥远星体的爆炸，一般都不只说它发生在何处，还要说出发生在何时。因此，除表示空间位置的三个方向要素之外，又增添了第四个要素－－时间。 再进一步考虑考虑，你还会很容易地意识到，所有的实际物体都是四维的：三维属于空间，一维属于时间。你所住的房屋就是在长度上、宽度上、高度上和时间上伸展的。时间的伸展从盖房时算起，到它最后被烧毁，或被某个拆迁公司拆掉，或因年久而坍塌为止。 不错，时间这个方向要素与其他三维很不相同。时间的间隔是用钟表量度的：嘀嗒声表示秒，当当声表示小时。而空间的间隔则是用尺子量度的。再说，你能用一把尺子来量度长、宽、高，却不能把这把尺变成一座钟来量度时间；还有，在空间里，你能向前、向后、向上走，然后再返回来；而在时间上却只能从过去到将来，是退不回来的。不过，即使有上述区别，我们仍然可以将时间作为物理世界的第四个方向要素，不过，要注意别忘记它与空间不太一样。 在选择时间作为第四维时，采用本章开头所提到的四维形体的方法较为便当。还记得四维形体，比如那个超正方体的投影是多么古怪吧？它居然有１６个顶点、３２条棱和２４个面！难怪图２６上的那些人会那么瞠目结舌地瞪着这个几何怪物了。不过，从这个新观点出来，一个四维正方体就只是一个存在了一段时间的普通立方体。如果你在５月１日用１２根铁丝做成一个立方体，一个月后把它拆掉。那么，这个立方体的每个顶点都应看做沿时间方向有一个月那么长的一条线。你可以在每个顶点上挂一本小日历，每天翻过一页以表示时间的进程。 现在要数出四维形体的棱数就容易了。在它开始存在时有１２条空间棱，结束时还有这样１２条，另外又有描述各个顶点存在时间的８条“时间棱”。用同样方法可以数出它有１６个顶点：５月１日有８个空间顶点，６月１日也有８个。用同样方法还能数出面的数目，请读者自己练习数一数。不过要记住，其中有一些面是这个普通立方体的普通正方形面，而其他的面则是由于原立方体由５月１日伸展到６月１日而形成的“半空间半时间”面。 这里所讲的有关四维立方体的原则，当然可以应用到任何其他几何体或物体上去，无论它们是活的还是死的。 具体地说，你可以把你自己想象成一个四维空间体，这很象一根长长的橡胶棒，由你出生之日 延续到你生命结束之时。遗憾的是，在纸上无法画出四维的物体来，所以 我们在图２９上用一个二维扁片人为例来表现这种想法。这里，我们所采取的时间方向是和扁片人所居住的二维平面垂直的。这幅图只表示出这个扁扁片人整个生命中一个很短暂的部分。至于整个过程则要用一根长得多的橡胶棒来表示：以婴儿开始的那一端很细，在很多年里一直变动着，直到死时才有固定不变的形状（因为死人是不动的），然后开始分解。 如果想要更准确一些，我们应该说，这个四维棒是由为数众多的一束纤维组成的，每一根是一个单独的原子。在生命过程中，大多数纤维聚在一起成为一群，只有少数在理性剪指甲时离去。因为原子是不灭的，人死后，尸体的分解也应考虑为各个纤维丝向各个方向飞去（构成骨骼的原子纤维除外）。 在四维时空几何学的词汇中，这样一根表示每一个单独物质微粒历史的线叫做“时空线”。同样，组成一个物体的一束时空线叫做“时空束”。 图３０是一个表示太阳、地球和彗星的时空线的天文学例子（这里把星体看成是点，否则应该认为是时空束）。如同前面所举的例子一样，我们让时间轴与二维平面（地球轨道平面）垂直。太阳的时空线在图中用与时间轴平行的直线来表示，因为我们这里假定太阳是不动的。地球绕太阳运动的轨道近似于圆形，它的时空线是一条围绕着太阳时空线的螺旋线。彗星的时空线先靠近太阳的时空线，然后又远离而去。 我们看到，从四维时空几何学的角度着眼，宇宙的历史和拓扑图形融洽地结合成了一体；要研究单个原子、动物或恒星的运动，都只需考虑一束纠结的时空线就行了。 ２、时空当量 要把时间看作和空间的三维多少有些等效的第四维，会碰到一个相当困难的问题。在量度长、宽、高时，我们可以使用同一个单位，如１英寸、一英尺等。但时间既不能用英寸，也不能用英尺来量度。这时必须使用完全不同的单位。如分钟或小时。那么，它们怎样进行比较呢？如果面临一个四维正方体，它的三个空间尺寸都是１英尺，那么，应该取多长的时间间隔，才能使四个维相等呢？是１秒，还是１小时，还是一个月？１小时比１英尺长还是短？ 乍一看，这个问题似乎毫无意义。不过，深入想一下，你就会找到一个比较长度和时间间隔的合理办法。你常听人说，某人的住处“搭汽车只需要二十分钟”某某地方“乘火车五个小时便可到达”。这里，我们把距离表示成某种交通工具走过这段距离所需要的时间。 因此，如果大家同意采用某种「标准速度」，就能用长度单位来表示时间间隔，反之亦然。很清楚，我们选用来作为时空的基本交换因子的标准速度，必须具备不受人类主观意志和主观物理环境的影响、在各种情况下都保持不变这样一个基本的和普遍的本质。物理学中已知的唯一能满足这种要求的速度是光在真空中传播的速度。尽管人们通常把这种速度叫“光速”，但不如说“物质作用的传播速度”更恰当些，因为『任何物体之间的作用力，无论是电的吸引力还是重力，在真空中的传播速度都是相同的』。除此之外，我们以后还会看到，『光是一切物质所能具有的速度的上限』，没有什么物体能以大于光速的速度在空间运动。（录入者：怎样理解“快子”？） 第一次测定光速的尝试是著名的意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei）在十七世纪进行的。他和他的助手在一个黑沉沉的夜晚到了佛罗伦萨郊外的原野，随身带着两盏有遮光板的灯，彼此离开几英里站定。伽利略在某个时刻打开遮光板，让一束光向助手的方向射去。助手已得到指示，一见到从伽利略那里射来的光，就马上打开自己那块遮光板。既然光线从伽利略那里到达助手，再从助手那里折回来都需要一定的时间，那么，从伽利略打开遮光板时起，到看到助手发回的光线，也应有一个时间间隔。实际上，他也确实观察到一个小间隔，但是，当伽利略让助手站到远一倍的地方再做这个实验时，间隔却没有增大。显然，光线走得太快了，走几路简直用不了多少时间。至于观察到的那个间隔，事实上是由于伽利略的助手不能在见到光线时立即打开遮光板造成的－－这在今天被称为反应迟误。 尽管伽利略的这项实验没有导致任何有意义的成果，但他的另一发现，即木星有卫星，却为后来首次真正测定光速的实验提供了基础。1675年，丹麦天文学家雷默（Olaus Roemer）在观察木星卫星的蚀时，注意到木星卫星消失在木星阴影里的时间间隔逐次有所不同，它随木星和地球之间的距离在各次卫星蚀时的不同而变长或变短。雷默当即意识到（你在研究图31B后也会看出），这种效应不是由于木星运动得不规则，而是由于当木星和地球距离不同时，所看到的卫星蚀在路上传播所需要的时间不同。从他的观测得出，光速大约为每秒钟十八万五千英里。难怪当初伽利略用他那套设备测不出来了，因为光线从他的灯传到助手那里再传回来，只需要十万分之几秒的时间啊！ 不过，用伽利略这套粗糙的遮光灯所做不到的，后来用更精密的物理仪器做到了。在图31C上，我们看到的是法国物理学家斐索（Fizeau）首先彩的短距离测定光速的设备。它的主要部件是安在同一根轴两端上的两个齿轮，两个齿轮的安装正好使我们在沿轴的方向从一头看去时，第一个齿轮的齿对着第二个齿轮的齿缝。这样，一束很细的光沿平行于轴的方向射出时，无论这套齿轮处在哪个位置上，都不能穿过这套齿轮。现在让这套齿轮系统以高速转动。从第一个齿轮的齿缝射入的光线，总是需要一些时间才能达到第二个齿轮的。如果在这段时间内，这套系统恰好转过半个齿，那么，这束光线就能通过第二个齿轮了。这种情况与汽车以适当速度沿装有定时红绿灯的街道行驶的情况很类似。如果这套齿轮的转速提高一倍，那么，光线在到达第二个齿轮时，正好射到转来的齿上，光线就又被遮住了。但转速再提高时，这个齿又将在光束到达之前转过去。因此，注意光线出现和消失（或从消失到出现）所相应的转速，就能算出光线在两齿间传播的速度。为减低所需的转速，可让光在两齿轮间多走些路程，这可以借助图31c所示的几面镜子来实现。在这个实验中，当齿轮的转速达到每秒一千转时，斐索从靠近自己的那个齿轮的齿缝间看到了光线。这说明在这种转速下，光线从这个齿轮的齿缝到达另一个齿轮时，齿轮的每个齿刚好转过了半个齿距。因为每个齿轮上有五十个完全一样的齿。所以齿距的一半正好是圆周的百分之一，这样，光线走过这段距离的时间也就是齿轮转一圈所用时间的百分之一。再把光线在两齿间走的路程也考虑进来进行计算，斐索得到了光速为每秒300,000公里或186,000英里。这个结果与雷默考查木星的卫星所得到的结果差不多。 接着，人们又用了各种天文学方法和物理学方法，继两位先驱之后做了一系列独立的测量。目前，光在真空中的速度（常用字母c来表示)的最令人满意的数值是 c=299,776km/s 或 c=186,300英里/秒 在量度天文学上的距离时，数字一般都是非常大的，如果用英里或公里来表示，可能要写满一页纸，这时，用速度极高的光速作为标准就很便当了。因此，天文学家说某颗星离我们５“光年”远，就象我们说某地乘火车需要５小时一样。由于一年合31558000（录入者：应为31556926）秒，一光年就等于31558000X299776=9,460,000,000,000公里或5,879,000,000,000英里。采用“光年”这个词表示距离，实际上已把时间看作一种尺度，并用时间单位来量度空间了。同样，我们也可以把这种表示法反过来，得到“光英里”这个名称，意思是指光线走过１英里路所需要的时间。把上述数值代入，得出1光英里等于0.0000054秒。同理，１光英尺等于0.0000000011秒。这就回答了我们在上一节提出的那个四维正方体的问题。如果这个正方体的三个空间尺度都是１英尺，那么时间间隔就应该是0.0000000011秒。如果这个正方体存在了一个月的时间，那就应把它看作一根在时间方向上比其它方向长得非常多的四维棒了。 3、四维空间的距离 在解决了空间轴和时间轴上的单位如何进行比较的问题之后，我们现在可以问 : 在四维时空世界中两点间的距离应该如何理解?要记住，现在每一个点都是空间和时间的结合，它对应于通常所说的“一个事件”。为了弄清这一点，让我们看看下面的两个事件。 事件I:1945年7月28日上午9点21分，纽约市五马路和第五十街交叉处一层楼的一家银行被劫。 事件II: 同一天上午9点36分，一架军用飞机在雾中撞在纽约第三十四街和五、六马路之间的帝国大厦第七十九层楼的墙上。 这两个事件，在空间上南北相隔十六条街，东西相隔半条街，上下相隔七十八层楼 ; 在时间上相隔十五分钟。很明显，表达这两个事件的空间间隔不一定要注意街道的号数和楼的层数，因为我们可用大家熟知的毕达哥拉斯定理，把两个空间点的坐标距离的平方和开方，变成一个直接的距离。为此，必须先把各个数据化成相同的单位，比如说用英尺表达出来。如果相邻两街南北相距200 英尺，东西相距800英尺，每层楼平均高12英尺，这样，三个坐标距离是南北3200英尺，东西400英尺，上下936英尺，用毕达哥拉斯定理可得出两个出事地点之间的直接距离为 sqrt(3200^2+400^2+936^2)=3360英尺 如果把时间自作第四个坐标的概念确实有实际意义，我们就能把空间距离3360英尺和时间距离15分钟结合起来，得出一个表示两事件的四维距离的数来。 按照爱因斯坦（Aibert Einstm）原来的想法，四维空间的距离，实际上只要把毕达哥拉斯定埋进行简单推广便可得到，这个距离在各个事件的物理关系中所起的作用 ， 比单独空间距离和时间间隔所起的作用更为基本。 要把空间和时间结合起来，当然要把各个数据用同一种单位表达出来，正如街道间隔和楼房高度都用英尺表示一样，前面我们已经看到，只要用光速作为变换因子 ，这一点就很容易办到了。这样，5分钟的时间间隔就变成800，000，000，OO－－“ 光英尺 “ 。如果对毕达哥拉斯定理作简单的推广， 即定义四维距离是四个坐标距离（三个空间的和一个时间的）的平方和的平方根，我们实际上就取消了空间和时间的一切区别，承认了空间和时间可以互相转换。 然而，任何人－－包括了不起的爱因斯坦在内－－也不能把一根尺子用布遮上，挥动一下魔棒，再念念“时间来，空间去，变”的咒语，就变出一只亮闪闪的新牌子闹钟来! 因此，我们在使用毕达哥拉斯公式将时空结合成一体时，应该采用某种不寻常的办法，以便保留它们的某些本质区别。 按照爱因斯坦的看法，在推广的毕达哥拉斯定理的数字表式中，空间距离与时间间隔的物理区别可以用时间坐标的平方项前的负号来加以强调。这样，两个事件的四维距离可以表示为三个空间坐标的平方和减去时间坐标的平方，然后开平方。当然 ，首先得将时间坐标化成空间单位。 因此，银行抢劫案和飞机失事案之间的四维距离应该这样计算: sqrt(3200^2+400^2+936^2-800000000000000^2) 。 第四项与前三项相比是非常大的，这是因为这个例子取自“日常生活”， 而用日常生活的标准来衡量时，时间的合理单位真是太小了。如果我们所考虑的不是纽约市内发生的两个事件，而用一个发生在宇宙中的事件作为例子，就能得到大小相当的数字了 ， 例如，第一个事件是1946年7月1日上午9分整在比基尼岛（太平洋西部的一个珊瑚岛）上有一颗原子弹爆炸，第三个事件是在同一天上午9点10 分有一块陨石落到火星表面;这样，时间间隔为540000000000光英尺，而空间距离为650，000000000英尺，两者大小相当。 在这个例子中，两个事件的四维距离是: sqrt((65×1O^10)^2-(54×10^10)^2)英尺=36×10^10英尺，在数上与纯空间距离和纯时间间隔都很不相同了。 当然，大概有人会反对这种似乎不太合理的几何学。为什么对其中的一个坐标不象对其他三个那样一视同仁呢?千万不要忘记，任何人为的描绘物理世界的数学系统都必须符合实际情况；如果空间和时间在它们的四维结合里的表现确实有所不同 ，那么，四维几何学的定律当然也要按它们的本来面目去塑造。而且，还有一个简单的办法，可以使爱因斯坦时空几何公式看来跟学校里所教的古老的欧几里得几何一样美好。这个方子是德国数学家闵科夫斯基(Hermann Minkovskij)提出的，做法是将第四个坐标看作纯虚数。你大概还记得在本书第二章讲述，一个普通的数字乘以sqrt(-1)就成一个虚数;我们还讲过，应用虚数来解几何问题是很方便的。 根据闵科夫斯基的提法，时间这第四个坐标不但要用空间单位表示，并且还要乘以sqrt(-1)。这样，原来那个例子中的四坐标就成了: 第一坐标:3200 英尺， 第二坐标:400 英尺， 第三坐标:936 英尺 ， 第四坐标:8×10＾11光英尺。 现在，我们可以定义四维距离是所有四个坐标距离的平方和的平方根了，因为虚数的平方总是负数，所以采用闵科夫斯基坐标的普通毕达哥拉斯表式在数学上是和采用爱因斯坦坐标时似乎不太合理的表达式等价的。 有一个故事，说的是一个患关节炎的老人，他问自己的朋友是怎样避免这种病的。 回答是：“我这一辈子每天早上都来个冷水浴。” “噢，前者喊道，“那你是改患了冷水浴病喽!” 如果你不喜欢前面那个似乎患了关节炎的毕达哥拉斯定理，那么，你不妨把它改成虚时间坐标这种冷水浴病。 由于在时空世界里第四个坐标是虚数，就必然会出现两种在物理上有所不同的四维距离。 在上面那个纽约事件的例子中，两个事件之间的空间距离比时间间隔小 （用同样的单位），毕达哥拉斯定理中根号内数是负的，因此，我们所得到的是虚的四维距离；在后一个例子中，时间间隔比空间距离小，这样，根号内得到的是正数，自然意味着两个事件之间存在着实的四维距离。 如上所述，既然空间距离被看作实数，而时间间隔被看作虚数，我们就可以说：实四维距离同普通空间距离的关系比较密切;而虚四维距离则比较接近于时间间隔。在采用闵科夫斯基的术语时，前一种四维距离称为空距，后一种称为时距。 在下一章里，我们将看到空距可以转变为正规的空间距离，时距也可以转变为正规的时间间隔。然而，这两者一个是实数，一个是虚数，这个事实就给时空互变造成了不可逾越的障碍，因此，一根尺子不能变成一座时钟，一座时钟也不能变一根尺子。 1. 时空的相互转变 尽管数学在把时间和空间在四维世界中结合起来的时候，并没有完全消除这两者的差别，但可以看出，这两个概念确实极其相似。对于这一点，爱因斯坦以前的物理学是不甚了解的。事实上，各个事件之间的空间距离和时间间隔，应该认为仅仅是这些事件之间的基本四维距离在空间轴和时间轴上的投影（大家注意这句话，我觉得这话包含的意义非常深――笨猪），因此，旋转四维坐标系，便可以使距离部分地转变为时间，或使时间转变为距离。不过，四维时空坐标系的旋转又是什么意思呢 ？ 我们先来看看图34a中由两个空间坐标所组成的坐标系。假设有两个相距为L的固定点。把这段距离投影在坐轴上，这两个点沿第一根轴的方向相距a英尺，沿第二根轴的方向相距b英尺。如果把坐标系旋转一个角度(图34)时，同一个距离在两根新坐标轴上的投影就与刚才不同，成为a’和b’了。不过，根据毕达哥拉斯定理，两个投影的平方和的平方根在这种情况下的值是一样的，因为这个数所表示的是那两个点间的真实距离，当然不会因坐标系的旋转而改变，也就是说 sqrt(a^2+b^2)=sqrt(a’^2+b’^2) 所以我们说，尽管坐标的数值是不定的，它们取决于所选择的坐标系，然而它们的平方和的平方根则与坐标系的选择无关。 现在再来考虑有一根距离轴和一根时间轴的坐标系。这时，两个固定点变成了两个事件，而两根轴上的投影则分别表示空间距离和时间间隔。如果这两个事件就是上一节所讲到银行抢劫案和飞机失事案，我们可以把这个例子画成一张图(图35a)，它很类似于图34a，不过图34a上是两根空间距离轴 。那么，怎样才能旋转坐标轴呢？答案是颇出乎意料、甚至令人愕然的：你要想旋转时空坐标系，那就请上汽车吧。 好，假定我们真的在9月28日的那个多事之晨坐上了一辆沿五马路行驶的汽车。如果我们能否看到这些事件仅取决于距离，那么，从功利主义的观点出发，我们最关心的就是被劫的银行和飞机失事的地点离汽车有多远。 现在看看图35a，汽车的时空线和两个事件都画在在上面，你立刻会注意到，从汽车上观装到的距离，与从其他地方（比如站在街口的警察）所观察到的不相同。因为汽车是沿着马路行驶的，速度比方说为每三分钟过一个路口（这在繁忙的纽约交通中是司空见惯的），所以从汽车上看，两个事件的空间距离就变短了。事实上，由于在上午9点21分汽车正穿过第五十二街，这时离发生抢劫案的地点有两个路口之远；在飞机失事时（上午9点36分），汽车在第四十七街口，距出事地点有十四个路口之远。因此，在测量对汽车而言的距离时，我们就会断言说，抢劫案和失事案两地相距14－2=12个路口 而不是对城市建筑而言的 50－34＝16个路口。再看一下图35a，我们就会看出，从汽车上记录到的距离不能象过去一样从纵轴（警察的时空线）来计量，而应当从那根表示汽车时空线的斜线上来计量。因此，这后一根线就起到了新时间轴的作用。 把刚才说过的这些 “零七八碎 ”归纳一下，就是：从运动着的物体上观看发生的事件时，时空图上的时间轴应该旋转一个角度（角度的大小取决于运动物体的速度），而空间轴保持不动。 这种说法，从古典物理学和所谓“常识”的观点来看，尽可奉为不渝的真理，然而却和四维时空世界的新观念直接冲突，因为既然认为时间是第四个独立的坐标，时间轴就应该和与三个空间轴垂直，不管你是坐在汽车上，电车上，还是坐在人行道上! 在这个紧要关头，对这两种思想方法，我们只能遵循某一。或者保留那个旧有的时间与空间的概念，不再对统一的时空几何学作任何考虑；或者打破“常识”的老框也认定时间轴和空间轴一起旋转，从而使二者永远保持垂直（图35b）。 但是，旋转空间轴就意味着，从运动物体上观察到的两个事件的时间间隔 ，不同于从地面站上观察到的时间间隔，这就如同旋转时间轴在物理上意味着，两个事件的空间距离当从运动物体上观察时会具有不同的值（在上面例子中为12个路口和16 个路口）一样。因此，如果按照市政大楼的钟，银行抢劫案与飞机失事案相隔15分钟，那么，汽车上的乘客在他的手表上看到的就不是这样一个数字一一这可不是由于手表的机械装置不完善造成了手表走时不准，而是由于在以不同速度运动的物体上，时间本身流逝的快慢就是不同的，因此，记录时间的机械系统也相应地变慢了。不过在象汽车这样一低的速度下，时间变慢是微乎其微，简直是觉察不出来的。（这个现象在本章后面还要详细讨论。） 再举一个例子。设想一个人在一列行进的火车餐车上用饭，餐车上的侍者认为他是在同一个地方（第三张 桌子靠窗的位置）喝开胃酒和吃甜食的。但对于两个站在地面上从外向内张望的道岔工来说，一个正看到他喝开胃酒 ，另一个正看到他在吃甜食（西方人在就餐时往往先喝一点剌激食欲的开胃酒，最后一道食品是甜食，所以，这里的意思是说，整餐饭从头到尾都是在同一个地方吃的――译者） ）一一来说，这两个事件的发生地点则相距好几英里远。因此，我们可以说，一个观察者认为在同一地点和不同时间发生的两个事件，在处于不同运动状态的另一个观察者看来，却可以认为是在不同地点发生的。 从时空等效的观点出发，把上面话中的“地点”和“时间 ”两个词互换，就变成了：一个观察者认为在同一时间和不同地点发生的两个事件正在处于不同运动状态的另一个观察者看来，却可以认为是在不同时间发生的。把这些话用到餐车的例子时，那位侍者可以发誓说，餐车两头的两位乘客正好同时点燃了“饭后一枝烟”，而在地面上从车外向里看的道岔工却会坚持说，两人点烟的时间一先一后。 因此，一种观察认为同时发生的两个事件，在另一个观察者看来，则可认为它们相隔一段时间。 这就是把时间和空间看作仅仅是恒定不变的四维距离在相应轴上的投影的四维几何学，所必然要得出的结论。 2、以太风和天狼星之行 现在 , 我们自己来问问自己:我们使用这种四维几何学的语言,是否仅仅为了证明在我们的旧的、相当不错的时空观念中引入革命性变化的正确性 ? 如果回答是肯定的,那我们就向整个古典物理学体系提出了挑战,因为古典物理学的基础,是牛顿在两个半世纪以前对空间和时间所下的定义，即“绝对的空间,就其本质而言或与任何外界事物无关的,它从不运动, 并且永远不变”；“绝对的、真实的数学时间，就其本质而论,是自行均匀地流逝的,与任何外界的事物无关。”不用说,牛顿在写这几句话的时候，自己并不认为他是在叙述什么新的东西, 更没想到它会引起争论；他只不过把正常人的头脑认为显然如此的时空概念用准确的语言表达出来罢了。事实上,人们对古典的时空概念的正确性是如此深信无疑,因此,这种概念经常被哲学家们当作是先验的东西；没有一个科学家 ( 更不用说门外汉了)曾认为过它们可能是错误的,需要重新审查,重新说明。既然如此,为什么现在又提出了这个问题呢 ? 答案是 : 人们之所以放弃古典的时空概念,并把时间和空间结合成单一的四维体系,这并不是出自审美观的要求 ,也不是某位数学大师坚持的结果，而是因为在科学实验中不断发现了许多不能用独立的时间和空间这种古典概念来解释的事实。 古典物理学这座漂亮的似乎是永久性的城堡所受到的第一次震撼基础的冲击——一次松动了这精巧建筑物的每一块砖石 , 撼倒了每一堵墙的冲击一一是美国物理学家迈克耳逊 (Albut Abratum Michdon ) 1887 年所做的一个实验引起的。这个实验看起来并不起眼,但所起的作用不啻约书亚的号角对于耶利哥的城墙的作用。迈克耳逊实验的设想很简单 : 光在通过所谓 “ 光媒质以太——一种假设的、充满宇宙空间和一切物质的原子之间的均匀物质——时 , 会表现出一定的波动性来。 向池塘里丢进一块石子,水波就向各个方向传播；振动的音叉所发出的声音也以波的方式向四方传送 , 任何发亮的物体所发射出的光也是这样。水面上的波纹清楚地表明水的微粒在运动。声波则是空气或其他被声音穿过的物质在振动。但我们却找不出什么负责传递光波的物质媒介来。事实上,光的在空间中的传播显得如此轻易（与声音相比）, 以致使人觉得空间真是完全空虚的 不过，如果空间真是一无所有的话，硬说在本来无物可振之处有什么东西在振动 , 岂不是太不合乎逻辑了吗 ? 因此 , 物理学家只好引用一个新概念“光媒质以太” , 以便在解释光的传播时 , 在“振动”这个动词前面有一个实体作主语。从纯语法角度来说 , 任何动词都需要有一个主语 , 但是——这个 “也是”可要使劲说出来——语法规则没有也不能告诉我们 , 这个为了正确造句而引进的主语具有计么样的物理性质 ! 如果我们把“光以太”定义为传播光波的东西,那么, 我们说光波是在光以太中传播的,这倒是一句无懈可击的话,不过,这只是无谓的重复而已。光以太究竟是什么东西和光以太具有什么物理性质,这才是实质的问题。在这方面,任何语法也帮不了我们的忙。答案只能从物理学中去找。 在后面的讨论中,我们会看到,十九世纪的物理学所犯的最大错误,就在于人们假设这种光以太具有类似我们所熟知的一般物体的性质。人们总是提到光以太的流动性、刚度和各种弹性性质,甚至还提到内摩擦。这一来,光以太就有了这样的性质:一方面,它在传递光波时,是一个振动的固体；另一方面,它对天体的运动却没有丝毫阻力,显示出极完美的流动性。于是,光以太就被比作类似于火漆的物质。火漆是硬的, 在机械力的迅速冲击下易碎；但如果静置足够长的时间,它又会因自己的重量而象蜂蜜那样流动。过去的物理学设想光以太与火漆相似,并充满整个星际空间。它对于光的传播这样的高速扰动,表现得象坚硬的固体；而对于速度只有光速的几千分之一的恒星和行星来说,它又象液体一样被它们从前进的路上推开。 这种我们可称之为模拟的观点,当用于一种除名称以外一无所知的物质上,以试图判断它具有那些我们所熟悉的普通物质的性质时,从一开始就遭到巨大的失败。尽管人们作了种种努力,仍找不出对这种神秘的光波传播媒介的合理力学解释。现在,以我们所具有的知识,是容易看出所有这一类尝试错在何处的。事实上,我们知道,一般物质的所有机械性质都可追溯到构成物质的微粒之间的作用力。例如,水的良好流动性,是由于水分子间可作几乎没有摩擦的滑动；橡胶的弹性是由于它的分子很容易变形；金刚石的坚硬是由于构成金刚石晶体的碳原子被紧紧地束缚在刚性结构上。因此,各种物质所共有的一切机械性质都是出自它们的原子结构,但这一条结论在用于光以太这样绝对连续的物质上时,就没有任何 意义了。 光以太是一种特殊的物质,它的组成和我们一般称为实物的各种较为熟悉的原子嵌镶结构毫无共同之处。我们可以把光以太称为“物质”(这仅仅因为它是动词“振动”的语法主语) , 但也可以把它叫做“空间”。不过我们要记住，我们前面已经看到,以后还会看到, 空间具有某种形态上或者说结构上的内容,因而它比欧几里得几何学上的空间概念复杂得多。实际上,在现代物理学中,“以太”这个名称（撇开它那些所谓的力学性质不谈的话）和“物理空间”是同义语。 但是,我们扯得太远了,竟谈起对“以太”这个词的哲学分析来了,现在还是回到迈克耳逊的实验上来吧。我们在前面说过,这个实验的原理是很简单的:如果光是通过以太的波,那么,安在地面上的仪器所记录到的光速将受到地球在星际空间中运动的影响。站在地球上正好与地球绕日的轨道方向一致之处,就会置身于“以太风”之中,如同站在高速行驶的航船甲板上,可感觉有股风扑面而来一样, 尽管此时空气是完全宁静的。当然,你是感觉不出“以太风”的,因为我们已经假设它能毫不费力地穿入我们身体的各个原子之间。不过,如果测量与地球行进方向成不同角度的光的速度,我们就可以察知它的存在。谁都知道，顺风前进的声音速度比逆风时大,因 此,光顺以太风和逆以太风传播的速度看来自然也会不同。 迈克耳逊想到了这一点,于是便着手设计出一套仪器,它能够记录下各个不同方向的光速的差别。当然, 最简单的方法是采用以前提过的斐索实验的仪器（图 31c）,把它转向各个不同的方向,以进行一系列测量。但这种做法的实际效果并不理想,因为这要求每次测量都有很高的精确度。事实上,由于我们所预期的速度差( 等于地球的运动速度)只有光速的万分之一左右,所以,每次测量都必须有极高的准确度才行。 如果你有两根长度相差不多的棒,并且想准确地知道它们相差多少的话,那么,你只要把两根棒的一头对齐,量出另一头的长度差就行了。这就是所谓“零点法”。 迈克耳逊实验的原理图如图 36 所示,它就是应用零点法来比较光在相互垂直的两个方向上的速度差的。 这套仪器的中心部件是一块玻璃片B,上面镶着薄薄的一层银,成半透明状,可以让入射光线通过一半, 而反射回其余的一半。因此,从光源A射来的光束在B处分成相互垂直的两部分,它们分别被与中心部件等距离的平面镜C和D所反射。从D折回的光线有一部分穿过银膜,从C折回的光线有一部分被银膜反射；这两束光线在进入观察者的眼睛时又结合起来。根据大家所知道的光学原理,这两束光会互相干涉,形成肉眼可见的明暗条纹。如果BC与BD相等,两束光会同时返回中心部件,明亮部分就会位于正当中；如果距离稍有不同 , 就会有一束光晚到达,于是,明亮部分就会向左或向右偏移。 仪器是安装在地球表面的，而地球则在空间中迅速移动,因此,我们必然要预料到 作者：wyhsillypig 回复日期：2005-1-16 13:02:00 用同样的方法 , 我们也能算出来回横渡所耽搁的时间。这个耽搁是由于从壹号码头驶到贰号码头时，船一定得稍稍斜驶,以补偿水流所造成的漂移。这一回耽搁的时间少一些,减少的倍数是 Sqrt(1/(1-(v/V)^2)) 对于上面那个例子，时间只增长了千分之五。要证明这个公式是很简单的,用功的读者不妨自己试一试。现在,把河流换成流动的以太,把船改成行进的光波, 那就是迈克耳逊的实验了。光束从B 到C再折回B,时间延长了 1/(1-(V/c)^2) 倍,c是光在以太中传播的速度。光束从B到D再折回来,时间增加了 Sqrt(1/(1-(V/c)^2)) 倍。以太风的速度（等于地球运动的速度）为每秒30公里，光的速度为每秒30万公里,因此,两束光延长的时间各为万分之一和十万分之五。对于这样的差异，使用迈克耳逊的装置,是很容易观察到的。 可是,在进行这项实验时,迈克耳逊竟未观察到干涉条纹有丝毫移动,可以想象,他当时是何等惊异啊！ 显然，无论光在以太风中怎样传播，以太风对光速都没有影响。 这个事实太令人惊讶了,因此,迈克耳逊在开始时简直不相信自己所得到的结果。但是,一次又一次精心的实验不容置辩地说明,这个结论虽然令人惊讶,却是正确的。 对这个出乎意料的结果,看来唯一合适的解释是大胆假设,迈克耳逊那张架设镜子的石制台面沿地球在空间运动的方向上有微小的收缩（即所谓斐兹杰惹收缩）。事实上,如果BC收缩了一个因子 Sqrt(1-(V/c)^2) 而 BD不变,那么,这两束光耽搁的时间便相同,因而就不会产生干涉条纹移动的现象了。 不过,迈克耳逊那张台子会收缩这句话说起来容易、懂起来难。物体在有阻力的介质中运动时会收缩, 这种实例我们确实遇到过,例如汽船在湖水中行驶时, 由于尾部推进器的驱动力和船头水的阻力两者的作用, 船体会被压缩一点点。这种机械力所造成的压缩与船壳材料有关,钢制的船体就会比木制的少压缩一些。但在迈克耳逊实验中,这种导致意外结果的收缩,其大小只与运动速度有关，而与材料本身的强度根本无关。如果安装镜子的那张台子不是用大理石材料制成,而是用铸铁、木头或其他任何物质制的,收缩程度还是一样。因此,很清楚,我们遇到的是一种普适效应,它使一切物体都以完全相同的程度收缩。按照爱因斯坦1904 年在描述这种现象时所提出的看法,我们这里所碰到的是空间本身的收缩。一切物体在以相同速度运动时都收缩同样的程度,其原因完全在于它们都被限制在同一个收缩的空间内。 关于空间的性质,我们在前面第三、四两章已经谈了不少,所以,现在提出上述说法就显得很合理了。为了把情况说得更清楚些,可以想象空间有某些类似于弹性胶冻(其中留有各种物体的边界的痕迹)的性质；在空间受挤压、拉伸、扭转而变形时,所有包容在其中的物体的形状就自动地以同样的方式改变了。这种变形是由于空间变形造成的,它和物体受到外力时在内部产生应力并发生变形的情况要加以区别。图 37中所示二维空间的情况,对于区别这两种不同的变形可能有所帮助。 尽管空间收缩效应对于理解物理学的各种基本原理是很重要的，但在日常生活中却没有人注意到它。这是因为,我们平素所能碰到的最高速度。比起光速来是微不足道的。例如,每小时行驶50英里的汽车 ,它的长度只变为原来的 Sqrt(1-(10^-7)^2)=0.99999999999999 倍,这相当于汽车全长只减少了一个原子核的主径那么长!时速超过600 英里的喷气式飞机,长度只不过减小一个原子的直径那么大；就是每小时飞行259000 英里的100 米长的星际火箭,长度也只不过缩短了百分之一毫米。 不过,如果物体以光速的50%,90%和99%运动,它们的长度就会分别缩短为静止长度的86%,45%和14%了。 有一首无名作家写的打油诗 , 描写了这种高速运动物体的相对论性收缩效应 : 斐克小伙剑术精, 出剌迅捷如流星, 由于空间收缩性, 长剑变成小铁钉。 作者：wyhsillypig 回复日期：2005-1-16 13:03:00 当然,这位斐克先生的出剑一定得有闪电的速度才能行! 从四维几何学的观点出发,一切运动物体的这样普遍收缩是很容易解释的:这是由于时空坐标系的旋转使物体的四维长度在空间坐标上的投影发生了改变。你一定还记得上一节所讨论过的内容吧,从运动着的系统上观察事件时,一定要用空间和时间轴部旋转一定角度的坐标系来描述；角度的大小取决于运动速度。因此,如果说在静止系统中，四维距离是百分之百地投影在空间轴上的( 图38A), 那么,在新的坐标轴上, 空间投影就总是要变短一些(图38B)。 需要记住的一个要点是:长度的缩短仅仅和两个系统的相对运动有关。如果有一个物体相对于第二个系统是静止的,那么，它在这个新空间轴上的投影是用长度不变的平行线表示的,而它在原空间轴上的投影则缩短同样的倍数。 因此,判定两个坐标系中哪一个是“真正”在运动的想法,非但是不必要的，也是没有物理意义的。起作用的仅仅是它们在相对运动这一点。所以，如果有两艘属于某“星际交通公司”的载人飞船,以高速在地球和木星间的往返途中相遇,每一艘船上的乘客透过舷窗都会看到另一条飞船的长度显著变短了；而对他们自己乘坐的这一艘,却发觉不出有什么变化。因此,争论哪一艘船“真正”缩短是没有用的,事实上，无论哪一艘，在另一般飞船上的乘客们看来都是缩短了的,而从它自己的角度看来却是不变的。（这只是从理论上描绘的情景。如果真有这样两艘飞船以高速相遇,无论哪一艘船上的乘客都根本看不见另一艘，你能看到从枪膛里射出的子弹吗?它的速度只有飞船的若干分之一呢 ！） 四维时空的理论还能使我们明白,为什么运动物体的长度在速度接近光速时才有显著改变。这是因为: 时空坐标旋转角度的大小是由运动系统所通过的距离与相应的时间的比值决定的。如果距离用米表示,时间用秒表示，这个比值恰恰就是常用的速度,单位为米/秒。在四维系统中,时间间隔是用常见的时间单位乘以光速,而决定旋转角度大小的比值又是运动速度(米/秒)除以光速( 同样的单位)，因此，只有当两个系统相对运动的速度接近光速时,旋转角度的变化以及这种变化对距离测量结果的影响才会变得显著。 时空坐标系的旋转,不仅影响了长度,也改变了时间间隔。可以证明:由于第四个坐标具有特殊的虚数本质，当空间距离变短的时候,时间间隔会增大。如果在一辆高速行驶的汽车里安放一只钟,它会比安放在地面上的同样一只钟走得慢些，嘀嗒声的间隔会加长。时钟的走慢如向长度的缩短一样,也是一个普遍的效应,只与运动速度有关。因此,最新式的手表也好,你祖父的老式大座钟也好,砂漏也好,只要运动速度相同，它们走慢的程度就会一样。这种效应当然并不只限于我们称之为 “钟”和“表”的专门机械,实际上, 一切物理的、化学的、生理的过程都以同样的程度放慢下来。因此,如 果你在快速飞行的飞船上吃早饭,可用不着担心因腕上戴的手表走得太慢而把鸡蛋煮老了, 因为鸡蛋内部的变花也相应地变慢了。所以,如果平时你总是吃“五分钟煮蛋”, 那么,现在你仍然可以看着表把它煮上五分钟。这里我们有意用火箭、而不是用火车餐车作为例子,这是因为时间的伸长也如同空间的收缩一样,只有当运动接近光速时才变得较为明显。时间伸长的倍数也是 Sqrt(1-(v/c)^2) 即同空间收缩时的情况一样。不过有一点不同,这个倍数在时间伸长时是乘数,在空间收缩时是除数。如果一个物体运动得非常之快,其长度减小一半,那么,时间间隔却会延长一倍。 运动系统中时间变慢这个情况,为星际旅行提供了一个有趣的现象。假定你打算到天狠星一一距离我们九光年的行星上去,于是,你坐上了几乎有光速那么快的飞船。你大概会认为，往返一趟至少要十八年, 因此打算携带大量食物。不过,如果你乘坐的飞船确实有近于光速的速度,那么,这种小心就是完全多余的了。事实上,如果飞船的速度达到光速的99.99999999%,你的手表、心脏、呼吸、消化和思维都将减慢七万倍, 因此从地球到天狠星往返一趟所花费的十八年（从留在地球上的人看来）,在你看来只不过是几小时而已。如果你吃过早饭便从地球出发,那么,当降落在天狼星某一行星的表面上时,正好可以吃中饭。要是你的时间很紧，吃过午饭后马上返航,就可以赶回地球上吃晚饭。不过，如果你忘了相对论原理，那你到家时准得大吃一惊：因为你的亲友会认为你一定还在宇宙空间中的什么地方,因而已经自顾自地吃过六千五百七十顿晚饭了!地球上的十八年,对你这个近于光速的旅客来说,只不过是一天而已。 那么,如果运动得比光还快呢?这里又有一首有关相对论的打油诗: 年轻女郎名伯蕾, 神行有术光难追； 爱因斯坦来指点, 今日出游昨夜归。 说真的,如果速度接近光速可使时间变慢,超过光速可不就能把时间倒转了吗!还有,由于毕达哥拉斯根式中代数符号的改变,时间坐标会变为实数,这就变成了空间距离；同时,在超光速的系统中,所有长度都通过零而变为虚数,这就变成 了时间间隔。 如果这些是可能的,那么，图 33 中所面的那个爱因斯坦变尺为钟的戏法就变成可能发生的事情了,只要他能想法获得超光速,就可以变这种戏法了。 不过，我们的这个物理世界,虽然是够颠三倒四的,却还不是这种颠倒法。这种魔术式的变化是完全不可能实现的。这可以用一句话简单地加以概括 ,这就是：没有任何物体能以光速或超光速运动。 这一条基本自然律的物理学基础在于：有大量的直接实验证明,运动物休反抗它本身进一步加速的惯性质量,在运动速度接近光速时会无限增加。因此,如果一颗左轮手枪子弹的速度达到光速的99.99999999 % , 它对于进一步加速的阻力( 即惯姓质量)相当于一枚十二英寸的炮弹；如果达到99.99999999999999%，这颗小子弹的惯性质量就等于一辆满载的卡车。无论再给这颗子弹施加多大的力,也不能征服最后一位小数, 使它的速度正好等于光速。光速是宇宙中一切运动速度的上限! 3. 弯曲空间和重力之谜 读者们读过刚才这几十页有关四维坐标系的讨论,大概会有头昏脑胀之感；对此,我不胜抱歉之至。现在,我邀请诸位一起到弯曲空间去散散步。大家都知道曲线和曲面是怎么一回事,可是,“弯曲空间”又意味着什么呢?这种现象之所以难以想象,主要不在于这个概念的古怪,而在于我们不能象观察曲线和曲面时那样从外部来观察空间。我们本身生活在三维空间之内,因此,对于三维空间的弯曲,只能从内部来观测。为了理解在三维空间里生活的人如何体会空间的曲率,我们先来考虑假想的二维扁片人在平面和曲面上生活的情况。在图39A和 39b上,可以看到一些扁片科学家,他们在“平面世界”和“曲面世界”上研究自己的二维空间几何学。可供研究用的最简单的图形,当然是连接三个点的三条直线所构成的三角形了。大家在中学里都学过,任何平面三角形的三个内角之和都是 180° 。但是，如果三角形是在球面上，就很容易看出上述定理是不成立的。例如，由两条经线和一条纬线（这里借用了地理学上的概念）相交而成的三角形中，就有两个直角（底角），同时还有一个数值可在从0°到 360°之间的顶角。拿图 39b上那两个扁片科学家所研究的三角形来说，三个角的总和就是210°。所以，我们可以看出，扁片科学家们通过测量他那个三维空间中的几何图形，就可以发现他自己那个世界的曲率，而无须从外面进行观测。 将上述观察用到又多了一维的世界，自然能得出结论说，生活在三维空间的人类，只需要测量连接这个空间中三个点所成三条直线之间的夹角，就可以确定空间的曲率，而无须站在第四维上去。如果三个角的和为 180°就是平坦的，否则就是弯曲的。 不过，在作进一步探讨之前，我们先得把直线这个词的意思弄明白。读者们看过图39a和图39b上的两个三角形，大概会认为平面三角形（图39A）的各边是真正的直线，而曲面上出现的线条（图39B）只是球面上大圆的弧，所以是弯曲的。 这种出自日常几何概念的提法，会使二维空间的扁片科学家们根本无法发展他们自己的几何学。对直线的概念需要一个更普遍的数学定义，使它不仅能在欧几里得几何中站稳，还能在曲面和更复杂的空间中立足。这个定义可以这样下 :“直线”就是在给定的曲面或空间内两点之间的最短距离。在平面几何中，上述定义和我们印象中的直线概念当然是相符的；在曲面这种较为复杂的情况下，我们会得到一族符合定义的线，它们在曲面上所起的作用与欧几里得几何中普通“直线”所起的作用相同。为了避免产生误解，我们常常把表示曲面上两点之间最短距离的线叫做短程线或测地线，这是因为这两个名词是首先在测地学一一测量地球表面的学问——中使用的。实际上，当我们说到纽约和旧金山之间的直线距离时，我们的意思是指“ 一直走，不拐弯”，也就是顺着球表面的曲率走，而不是用假想的巨大钻机把地球笔直地钻透。 这种把“广义直线”或“短程线”看作两点间最短距离的定义，向我们展示了作这种线的物理方法：我们可以在两点间拉紧一根绳。如果这是在平面上做的，那将得到一般的直线；如果在球面上做，你就会发现，这根绳沿着大圆的弧张紧，这就球面上的短程线。 用同样的方法，还可以搞清楚我们在其内部生活的这个三维空间是平坦的还是弯曲的，我们所需要做的，只不过是在空间内取三个点，然后扯紧绳子，看看三个夹角之和是否等于180°。不过在做这个实验时，要注意两点。一是实验必须在大范围内进行，因为曲面或弯曲空间的一小部分可能显得很平坦。显然，我们不能靠在哪一家后院里测出的结果来确定地球表面的曲率！二是空间或曲面可能有某些部分是平坦，而在另一些地方是弯曲的，因此需要作普遍的测量。 爱因斯坦在创立他的广义弯曲空间理论时，他的想法包含了这样一项假设：物理空间是在巨大质量的附近变弯曲的；质量越大，曲率也越大。为了从实验上证明这个假设，我们不妨找座大山，环山钉上三个木桩，在木桩之间拉上绳子，然后测量三个木桩上绳子的夹角。尽管你挑选了最大的大山一一哪怕到喜马拉雅山脉去找一一结论也只有一个:在测量误差允许的范围内，三个角的和正好是180°。但是，这个结果并不一定意味着爱因斯坦是错的，并不表明大质量存在不能使周围的空间弯曲，因为即便是喜马拉雅山，也可能不足以使周围空间弯曲到能用最精密的仪器测量出来的程度呢!大家应该还记得伽利略想用遮光灯来测定光速的那次失败吧!（图31） 因此，不要灰心，重新来一次好了。这次找个更大的质量，比如说太阳。 如果你在地球上找一个点，拴上一根绳，扯到一颗恒星上去，再从这颗恒星拉到另外一颗恒星上，最后再盘回到地球上的那个点，并且要注意让太阳正好位于绳子所围成的三角形之内。嘿!这下子可成功了。你会发现，这三个角度的和与180°之间有了可以察觉出来的差异。如果你没有足够长的绳子来进行这项实验，把绳子换成一束光线也行，因为光学告诉我们，光线总是走最短的路线的。 这一项测量光线夹角的实验原理如图40B所示。在进行观测时，位于太阳两侧的恒星S1和S2射来的光线进入经纬仪，从而测出了它们的夹角。然后，在太阳离开后再来测量。两次测量的结果加以比较，如果有所不同，就证明太阳的质量改变了它周围空间的曲率，从而使光线偏离原路。这个实验是爱因斯坦为验证他的理论而提出的。读者们可参照图41所绘的类似的二维图景，获得更好的理解。 在正常情况下进行爱因斯坦的这项实验，有一个明显的障碍:由于太阳的强烈光芒，我们看不到它周围的星辰。想在白天清楚地看见它们，只有在日全食的情况下才能实现。1919年，一支英国天文学远征队到达了正好发生日全食的普林西比群岛(西非)，进行实际观测,结果发现, 两颗恒星的角距离在有太阳和没有太阳的情况下相差1.61“ ±0.30“,而根据爱因斯坦的理论计算值为 1.75“。此后又做了各种观测,都得到了相近的结果。 诚然,15角秒这个角度并不算大,但这已足以证明:太阳的质量确实迫使周围的空间发生弯曲。 如果我们能用其他质量更大的星体来代替太阳,欧几可得的三角形内角和定理就会出现若干分、甚至若干度的错误。 对一个内部观察者来说,要想习惯于三维弯曲空间的概念,是需要一定时间和相当丰富的想象力的；不过一旦走对了路，它就会和任何一个古典几何学概念一样明确。 为了完全理解爱因斯坦的弯曲空间理论及其与万有引力这个根本问题之间的关系,还要向前再走一步才行。我们叫必须记得,刚才一直在讨论的三维空间,只是四维时空世界这个一切物理现象发生场所的一部分，因此,三维空间的弯曲，只不过反映了更普遍的四维时空世界的弯曲,而表述光线和物体运动的四维时空线，应看作是超空间中的曲线。 从这个观点进行考虑,爱因斯坦得出了一个重要的结论:重力现象仅仅是四维时空世界的弯曲所产生的效应。因此,关于行星直接受太阳的作用力而围绕它在圆形轨道上运动这个古老的观点,现在可以视为不合时宜而加以摒弃,代之以更准确的说法,那就是:太阳的质量弯曲了周围的时空世界,而图30所示的行星的时空线正是通过弯曲空间的短程线。 因此,重力作为独立力的概念就从我们的头脑中彻底消失了。代之而来的是这样的新概念:在纯粹的几何空间中,所有的物体都在由其他巨大质量所造成的弯曲空间中沿“最直的路线”(即短程线)运动。 4．闭空间和开空间 在这一章结束之前,我们还得简单讲一下爱因斯坦时空几何学中的另一个重要问 作者：wyhsillypig 回复日期：2005-1-20 19:48:00 4．闭空间和开空间 在这一章结束之前,我们还得简单讲一下爱因斯坦时空几何学中的另一个重要问题,即宇宙是否有限的问题。 到目前为止,我们一直在讨论空间在大质量周围的局部弯曲。这种情况好象是宇宙这张其大无比的脸上生着许多“空间粉刺”。那么,除了这些局部变化而外,整个宇宙是平坦的呢,还是弯曲的? 如果是弯曲的, 又是怎样弯曲的呢?图42给出了三个长“粉刺”的二维空间。第一个是平坦的；第二个是所谓“正曲率”, 即球面或其他封闭的几何面，这种面不管朝哪个方向伸展,弯曲的“方式”都是一样的；第三个与第二个相反,在一个方向上朝上弯,在另一个方向上朝下弯,象个马鞍面,这叫做“负曲率”。这后两种弯曲的区别是很容易弄清楚的。从足球上割下一块皮子，再从马鞍上割下一块皮子,把它们放在桌面上，试试将它们展平。你会注意到,如果既不抻长又不起皱,那么无论哪一块都展不成平面。足球皮需被抻长，马鞍面将会出褶；足球皮在边缘部分显得皮子太少,不够摊平之用，而马鞍皮又显得多了些，不管怎么弄总要叠出褶来。 对这个问题还能换个说法。假如我们（沿着曲面）从某一点起, 数一数在周围一寸、两寸、三寸等范围内 “粉刺”的个数,我们会发现:在平面上,“粉刺”个数是象距离的平方那样增长的,即1，4，9，等等；在球面上,“粉刺”数目的增长要比平面上慢一些；而在鞍形面上则比平面上快一些。因此,生活在二维空间内的扁片科学家,虽然根本不可能从外面看一看自己这个世界的情况,却照样能通过计算不同半径的圆内所包含 的粉刺数,来了解它的弯曲状况。在这里,我们还能看出,正负两种曲面上三角形的内角和是不同的。前一节我们学过,球面三角形的三内角和总是大于 180°。如果你在马鞍面上画画看,就会发现三个角的和总是小于180°。 上述由考察曲面得来的结果可以推广到三维空间的情况上去,并得到下表。 空间类型 远距离状况 三角形内角和 体积增长情况 正曲率（类似球面） 自行封闭 ＞180° 慢于半径立方 平面 无穷伸展 ＝180° 等于半径立方 负曲率（类似马鞍面） 无穷伸展 ＜180° 快于半径立方 这张表可实际用来探讨我们所生存的宇宙空间究竟是有限的还是无限的。这个问题将在研究宇宙大小的第十章中再加以讨论。 第七章 现代炼金术 1. 基本粒子 我们已经知道，各种化学元素的原子有相当复杂的力学系统，原子由一个中心核及许多绕核旋转的电子组成。那么，我们当然还要问下去：这些原子核究竟是物质结构的最基本的单位呢，还是可以继续分割成更小、更简单的部分呢?能不能把这92种不同的原子减少为几种真正简单的微粒呢? 早在上一世纪中叶，就有一位英国化学家波路特(William prout) 出自进行简化的愿望，提出不同元素的原子本质上相同，它们都是以不同程度“集中”起来的氢原子这个假设。他的根据是：用化学方法所确定的各元素的原子量，几乎都是氢元素原子量的整倍数。因此波路特认为，既然氧原子比氢原子重16倍，那它一定是聚集在一起的16个氢原子；原子量为127的腆原子一定是127个氢原子的组合，等等。 但在当时，化学上的发现并不支持这个大胆的假设。对原子量进行的精确测量表明，大多数元素的原子量只是接近于整数，有一些则根本不接近。(例如，氯的原子量为 35.5) 这些看起来同波路特的假设直接相矛盾的事实当时把它否定了。因此，直到他去世，他也不知道自己是何等正确。 直到1919年，这个假设才又靠英国物理学家阿斯顿(Aston)的发现而重见天日。阿斯顿指出，普通的氯是由两种氯元素掺杂在一起的，它们的化学性质完全相同，只是原子量 不同，一种为35, 一种为37。化学家所测定的非整数原子量35.5只是它们掺杂后的平均值。 对各种化学元素的进一步研究揭示了一个令人震惊的事实：大部分元素都是由化学性质完全相同、而重量不同的若干成分组成的混和物。于是，人们给它们起了个名字，叫做同位素，意思是在元素周期表中占据同一位置的元素。事实证明，各种同位素的质量总是氢原子质量的整倍数，这就赋与波路特那被遗忘了的假设以新的生命。我们在前面看到过，原子的质量主要集中在原子核上，因此，波路特的假设就能用现代语言改写成：不同种类的原子核是由不同数量的主原子核组成的，氢核因在物质结构中起重要的作用而得到一个专名“质子”。 不过，对上面的叙述，还应该作一项重要的修改。以氧原子为例，它在元素的排列中居第八位，它的原子有8个电子，它的原子核也应带8个正电荷。但是，氧原子的重量是氢原子的16倍。因此，如果我们假设氧原子核由8个质子组成，那么，电荷数是对的，但质量不符(均为8)；如果假设它有16个质子，那质量是对了，但电荷数错了(均为16)。 显然，要摆脱这个困难，只有假设在这些复杂的原予核的质子中，有一些失去了原有的正电荷，成了中性的粒子。 关于这种我们现在称之为“中子”的无电荷质子，卢瑟福早在1920年就提到过它的存在，不过到十二年后它才由实验所证实。这里需要注意，不要把质子和中子看成两种截然不同的粒子，而要把它们当作处在两种不同带电状态下的同一种粒子――“核子”。事实上，我们已经知道，质子可以失去正电荷而转化成中子，中子也能获得正电荷而转化成质子。 把中子引进原子核里，刚才提到的困难就得到了解决。为了解释氧原子核重16个单位，但只有8个电荷单位这一事实，可假设它由 8 个质子和8个中子组成。重量为127单位的碘，它的原子序数为53，所以就应有53 个质子，74 个中子。 重元素铀（原子量为238，原子序数为92）的原子核里有92 个质子，146 个中子。 这样，波路特的大胆假说在提出后历经一个世纪才得到了应得的光荣确认。现在，我们可以说，无穷无尽的各种物质都不过是两类基本物质的不同结合罢了。这两类物质是:(1) 核子，它是物质的基本粒子， 既可带有一个正电荷，也可不带电；(2)电子，带负电的自由电荷（图57）。 下面有几张引自《万物炮制大全》的配方。我们可以从中看到，在宇宙这间大厨房里，每一道菜是如何用核子和电子烹调出来的。 水 把8个中性核子和8个带电核子聚在一起当作核心，外面再加上8个电子,这就是氧原子。用这样的方法制备一大批氧原子。把一个带电核子搭配上一个电子，这就是氢原子。照氧原子数目的两倍做出氢原子来。按 2:1 的比例将氢原子和氧原子组合成水分子，把它们置于杯内，保持冷却状态。这就是水。 食盐以12个中性核子和11个带电核子为中心，外加11个电子，这就是钠原子。以18个或20个中性核子和17个带电核子为中心,都外加17个电子,这就是氯原子（同位素）。 照这样的方法制备同等数目的钠、氯原子后，按照国际象棋盘那样的格式在立体空间中摆开。这就是食盐的正规晶体。 TNT 由6个中性核子和6个带电核子组成核，外添6个电子做成碳原子。由7个中性核子和7个带电核子组成核,外添 7 个电子做成氮原子。再按照水的自己方制备氧原子和氢原子。把6个碳原子造成一个环，环外再接上第七个。在碳环的三个原子中,每个各连上一个氮原子，而每个氮原子再接上一对氧原子。给那个碳环外的第七个碳原子加上三个氢原子；碳环中剩下的两个碳原子也各连上一个氢原子。把这样组成的分子有规则地排列起来，成为小粒晶体。再把晶粒压在一起。不过要小心操作、因为这种结构不稳定，有极大的爆炸性。 尽管我们已经看到，中子、质子和带负电的电子构成了我们所想得到的一切物质的必要组成材料，但是这份基本粒子名单还显得不那么完全。事实上，如果有带负电的自由电子，为什么不能有带正电的自由电子，即正电子呢? 同样，如果作为物质基本成分的中子可以获得正电荷而成为质子，难道它就不能获得负电荷而变成负质子吗? 回答是：正电子确实存在，它除了带电符号与一般带负电的电子相反外，各方面都与负电子一样。负质子也有可能存在，不过尚未被实验所证实（已于1956年由实验所证实）。 正电子和负质子在我们这个世界上的数量不如负电子和正质子多的原因，在于这两类粒子是互相“敌对”的。大家知道，一正一负的两个电荷碰到一起会互相抵消。两类电子就是正与负两种电荷。因此，不能指望它们会存在于空间的同一处。事实上，如果正电子与负电子相遇，它们的电荷立即互相抵消，两个电子也不成其为独立粒子了。此时，两个电子一起灭亡一一这在物理学上称作“湮没”一一 并在电子相遇点导致强烈电磁辑射(γ射线)的产生,辐射的能量与原电子的能量相等。按照物理学的基本定律,能量既不能创造,又不能消灭,我们这里遇到的现象,只不过是自由电荷的静电能变成了辐射波的电动能。这种正负电子相遇的现象被玻恩(Max Born)描述为“狂热的婚姻”，而较为悲观的布朗(T.B.Brown)则称之为“双双自杀”。图58a表示了这种相遇。 两个符号相反的电子的“湮没”过程有它的逆过程一一 “电子对的产生”，这就是一个正电子和一个负电子由强烈的γ射线产生。我们说“由”,是因为这一对电子是靠消耗了γ射线的能量而产生的。事实上，为形成一对电子所消耗的辐射能量，正好等于一个电子对在湮没过程中释放出的能量。电子对的产生是在人射辐射从原子核近旁经过时发生的。图58b表示了这个过程。我们早就知道，硬橡胶棒和毛皮摩擦时，两种物体各自带上相反的电荷，这也是一个说明两种相反的电荷可以从根本没有电荷之处产生的例子。不过，这也没有什么值得大惊小怪的。如果我们有足够多的能量，我们就能随意制造出电子来。不过要明白一点，由于湮没现象，它们很快又会消失，同时把原来耗掉的能量如数交回。 有一个有趣的产生电子对的例子，叫做“宇宙线簇射”，它是从星际空间射到大气层来的高能粒子所引发的。这种在宇宙的广袤空间里向四面八方飞窜的粒子 有一个有趣的产生电子对的例子，叫做“宇宙线簇射”，它是从星际空间射到大气层来的高能粒子所引发的。这种在宇宙的广袤空间里向四面八方飞窜的粒子流究竟从何而来，至今仍然是科学上的一个未解之谜，不过我们已经弄清当电子以极惊人的速度轰击大气层上层时发生了些什么。这种高速的原初电子在大气层原子的原子核附近穿过时，原有能量逐渐减小，变成γ射线放出（图 59）。这种辐射导致大量电子对的产生。新生的正、负电子也同原初电子一道前进。这些次级电子的能量也相当高，也会辐射出γ射线，从而产生数量更多的新电子对。这个连续的倍增过程在大气层中重复发生，所以，当原初电子最终抵达海平面时，是由一群正负各半的电子陪伴着的。不消说，这种高速电子在穿进其他大物体时也会发生簇射，不过由于物体的密度较高，相应的分支过程要迅速得多（见后面图版IIA）。 现在让我们来谈谈负质子可能存在的问题。可以设想，这种粒子是中子获得一个负电荷或者失去一个正电荷（两者的意思是一样的）而变成的。不难理解，这种负质子也和正电子一样，是不会在我们这个物质世界中长久存在的。事实上，他们将立即被附近的带正电原子核所吸引和吸收，大概还会转化为中子。因此，即使这种负质子确实作为基本粒子的对称粒子而存在，它也是不容易被发现的。要知道，正电子的发现是在普通负电子的概念进入科学后又过了将近半个世纪才发生的事呢!如果确实有负质子存在，我们就可以设想存在着所谓反原子和反分子。它们的原子核由中子（和一般物质中的一样）和负质子组成，外面围绕着正电子。这些“反原子”的性质和普通原子的性质完全相同，所以你根本看不出水与“反水”、奶油与“反奶油”等东西有什么不同一一除非把普通物质和“反物质”凑到一起。如果这两种相反的物质相遇，两种相反的电子就会立即发生湮没，两种相反的质子也会立即中和，这两种物质就会以超过原子弹的程度猛烈爆炸。因此，如果果真的存在着由反物质构成的星系，那么，从我们这个星系扔去一块普通的石头，或者从那里飞来一块石头，在它们着陆时都会立即成为一颗原子弹。 有关反原子的奇想，到这里就算告一段落吧。现在我们来考虑另一类基本粒子。这种粒子也是颇不寻常的，而且在各类可进行观测的物理过程中都有它的份。它叫做“中微子”，是“走后门”进人物理学领域的；尽管各个方面都有人大喊大叫地反对它，它却在基本粒子家族中占据了一把牢固的交椅。它是如何被发现的，以及它是怎样被认识的，这是现代科学中最为令人振奋的故事之一。 中微子的存在是用数学家所谓“反证法”发现的。这个令人振奋的发现不是始于人们觉察到多了什么东西，而是由于人们发现少了某种东西。究竟少了什么呢? 答案是：少了一些能量。按照物理学最古老而最稳固的定律，能量既不能创造，也不能消灭。那么，如果本应存在的能量找不到了，这就表明，一定有个小偷或一群小偷把能量拐跑了。于是，一伙衷于秩序、喜欢起名字的科学侦探就给这些偷能贼起了个名字，叫做“中微子”，尽管他们还没有看到它们的影子哩! 这个故事叙述得有点太快了。现在还是回到这桩大“窃能案”上来。我们已经知道，每个原子的原子核约有一半核子带正电（质子），其余呈中性（中子）。如果给原子核增添一个或数个中子和质子。从而改变质子和中子间相对的数量平衡，就会发生电荷的调整。如果中子过多，就会有一些中子释放出负电子而变为质子；如果质子过多，就会有一些质子射出正电子而变为中子。这两个过程表示在图60中。这种原子核内的电荷调整叫做β衰变，放出的电子叫做β粒子。由于核子的转变是个确定的过程，就一定会释放出定量的能量，并由电子带出来。因此，我们预料，从同一物质放射出来的β粒子，都应该有相同的速度。然而，观测表明，β衰变的情况与这种观测直接相矛盾。事实上，我们发现释放出来的电子具有从零到某一上限的不同动能。既没有发现其他粒子，也没有其他辐射可以使能量达到平衡。这样一来，β衰变中的“窃能案”可就严重了。曾经有人竟一度认为，我们面临着著名的能量守恒定律不再成立的第一个实验证据，这对于整套物理理论的精巧建筑真是极大的灾难。不过，还有一种可能：也许丢失的能量是被某种我们的观测方法无法察觉的新粒子带走的。泡利(Wolfgang Pauli)提出一种理论。他假设这种偷窃能量的“巴格达窃贼”是不带电荷、质量不大于电子质量的微粒，叫做中微子。事实上，根据巳知的高速粒子与物质相互作用的事实，我们可以断定，这种不带电的轻粒子不能为现有的一切物理仪器所察觉，它可以不费吹灰之力地在任何物质中穿过极远的距离。对于可见光来说，只消薄薄一层金属膜即可把它完全挡住：穿透力很强的X光和γ射线在穿过几英寸厚的铅块后，强度也会显著减低；而一束中微子可以悠哉游哉地穿过几光年厚的铅!无怪乎用任何方法也观测不出中微子，只能靠它们所造成的能量赤字来发现它们! 中微子一旦离开原子核，就再也无法捕捉到它了。可是，我们有办法间接地观测到它离开原子核时所引起的效应。当你用步枪射击时，枪身会向后坐而顶撞你的肩膀；大炮在发射重型炮弹时，炮身也会向后坐。力学上的这种反冲效应也应该在原子核发射高速粒子时发生。事实上，我们确实发现，原子核在β衰变时，会在与电子运动相反的方向上获得一定的速度。但是事实证明，它有一个特点：无论电子射出的速度是高是低，原子核的反冲速度总是一样（图61）。这可就有点奇怪了，因为我们本来认为，一个快速的抛射体所产生的反冲会比慢速抛射体强烈。这个谜的解答在于，原子核在射出电子时，总是陪送一个中微子，以保持应有的能量平衡。如果电子速度大、带的能量多，中微子就慢一些、能量小一些，反之亦然。这样，原子核就会在两个微位的共同作用下，保持较大的反冲。如果这个效应还不足以证明中微子的存在，恐怕就没有什么能够证明它啦! 现在，让我们把前面讲过的内容总结一下，提出一个物质结构的基本粒子表，并指出它们之间的关系。 首先要列入的是物质的基本粒子一一核子。目前所知道的核子或者是中性的，或者是带正电的；但也可能有带负电的核子存在。 其次是电子。它们是自由电荷，或带正电，或带负电。 还有神秘的中微子。它不带电荷，大概是比电子轻得多的。 最后还有电磁波。它们在空间中传播电磁力。物理世界的所有这些基本成分是互相依赖，并以各种方式结合的。中子可变成质子并发射出负电子和中微子（中子一→质子+负电子+中微子）；质子又可发射出正电子和中微子而回复为中子（质子一→中子+正电子+中微子）。符号相反的两个电子可转变为电磁辐射（正电子+负电子一→辐射），也可反过来由辐射产生(辐射一→正电子+负电子)。最后，中微子可以与电子相结合，成为不稳定的粒子，在宇宙射线中出现。这种微粒称做介子（中微子+正电子一→正介子）；（中微子+负电子一→负介子）；（中微子+正电子+负电子一→中性介子）。也有人把介子称为“重电子”，但这种叫法不太恰当。 结合在一起的中微子和电子带有大量的内能，因此，结合体的质量比这两种粒子各自的质量之和大一百倍左右。 图62 是组成宇宙中各种物质的基本粒子的概图。 大家可能会问：“这一回到头了吗?!”“凭什么认为核子、电子和中微子真是基本粒子，不能再分成更小的微粒子呢?只不过在半个世纪以前，人们不还是认为原子是不可分的吗? 而今天的原子表现出多么复杂的结构啊!”对这个问题，我们得这样回答：现在确实无法预测物质结构科学的发展前景，不过我们有充足的理由可以相信，这些粒子的确就是物质的不可再分的基本单位。理由是：各种原来被认为是不可分的原子表现出彼此不同的、极为复杂的化学性质、光学性质和其它性质。而现代物理学中的基本粒子的性质是极为简单的，简单得可以与几何点的性质相比。还有，同古典物理学中为数不少的“不可分原子”相比，我们现在只有三种不同的实体：核子、电子和中微子。而且，无论我们如何希望，怎么把万物还原为最简单的形式，总不能把万物化成一无所有吧！所以，看来我们对物质组成的探讨已经刨到根，摸到底了。 2. 原子的心脏 我们既然对构成物质的基本粒子的本性和性质已有全面的了解，现在就可以再来仔细研究一下原子的心脏――原子核。原子的外层结构在某种程度上可比作一个缩小的行星系统，但原子核本身却全然是另一种情景了。首先有一点是很清楚的：使原子核本身保持为一个整体的力不可能是静电力，因为原子核内有一半粒子（中子）不带电，另一半（质子）带正电，因而会互相排斥。如果一群粒子间只存在斥力，怎么能存在稳定的粒子群呢! 因此，为了理解原子核的各个组成部分保持在一起的原因，必须设想它们之间存在着另一种力，它是一种吸引力，既作用在不带电的粒子之间，也作用在带电的粒子之间，与粒子本身的种类无关。这种使它们聚集在一起的力通常被称为“内聚力”。这种力在其他地方也能遇到，例如在一般液体中就存在内聚力，这种力阻止各个分子向四面八方分散。 在原子核内部，各个核子间就存在这种内聚力。这样，原子核本身非但不致在质子间静电斥力的作用下分裂开来，而且这许多核子还能象罐头盒里的沙丁鱼一样紧紧挨在一起，相比之下，处于原子核外各原子壳层上的电子却有足够的空间进行运动。作者本人最先提出这样一种看法：可以认为原子核内物质的结构方式是与普通液体相类似的。原子核也象一般液体一样有表面张力。大家想必还记得，表面张力这一重要现象在液体中是这样产生的：位于内部的粒子被相邻的粒子向各个方向以相等的力拉牵，而位于表面的粒子只受到指向液体内部的拉力（图 63）。 这种张力使不受外力作用的一切液滴具有保持球形的倾向，因为在体积相同的一切几何形体当中，球体的表面积最小。因此，可以得出结论说，不同元素的原子核可以简单地看作由同一类“核液体”组成的大小不同的液滴。不过可不要忘记，虽然定性地说，这种核液体与一般液体很相象，但定量地说，两者却大不相同，因为核液体的密度比水的密度大240,000,000,000,000倍，表面张力也比水大1,000,000,000,000, 000,000倍。为了便于理解，可用下面的例子说明。如果有一个用金属丝弯成的倒U字形框架，大小约二英寸见方，下边横搭一根直丝，如图64画出的样子。现在给框内充入一层肥皂膜，这层膜的表面张为会把横丝向上拉。在丝下悬一小重物，可以把这个张力平衡掉。如果这层膜是普通的肥皂水，它的厚度为0.01毫米时自重1/4克，能支持3/4克的重物。 假如我们有办法制成一层核液体薄膜，并把它张在这付框架上，这层膜的重量就会有五千万吨（相当于一千艘海轮），横丝上则能悬挂一万亿吨的东西，这相当于火星的第二颗卫星“火卫二”的重量！要在核液体里吹出这样一个泡来，得有多强壮的肺脏才行啊！ 在把原子核看成小液滴时，一定不要忽略它们是带电的这一要点，因为有一半核子是质子。因此，核内存在着相反的两种力：一种是把各个核子约束在一起的表面张力，一种是核内各带电部分间倾向于把原子核分成好几块的斥力。这就是原子核不稳定的首要原因。如果表面张力占优势，原子核就不会自行分裂，而两个这样的原子核在互相接触时，就会象普通的两滴液体那样具有聚合在一起的趋势。 与此相反，如果排斥的电力抢了上风，原子核就会有自行分裂为两块或多块高速飞离的碎块的趋势。这种分裂过程通常称为“裂变”。 玻尔和威勒(John Archilbald wheeler )在 1939 年对不同原子核的表面张力和静电斥力的平衡问题进行了精密的计算，他们得出一个极重要的结论说，元素周期表中前一半元素（到银为止）是表面张力占优势，而重元素则是斥力居上风。因此，所有比银重的元素在原则上都是不稳定的，当受到来自外部的足够强烈的轰击时，就会裂开为两块或多块，并释放出相当多的内部核能(图65b) 。与此相反，当总重量不超过银原子的两个轻原子核相接近时，就有自行发生聚变的希望（图65a）。不过我们要记住,两个轻原子核的聚变也好，一个重原子核的裂变也好，除非我们施加影响，一般是不会发生的。事实上，要使轻原子核发生聚变，我们就得克服两个原子核之间的静电斥力，才能使它们靠近；而要强令一个重原子核进行裂变就必须强烈地轰击它，使它进行大幅度的振动。 这一类必须有起始的激发才能导致某一物理过程的状态，在科学上叫做亚稳态。立在悬崖顶上的岩石、一盒火柴、炸弹里的TNT火药，都是物质处于亚稳态的例子。在这每一个例子中，都有大量的能量在等待得到释放。但是不踢岩石，岩石不会滚下；不划或不加热火柴，火柴不会燃着；不用雷管给TNT引爆，炸药不会爆炸。在我们生活的这个世界上，除了银块外都是潜在的核爆炸物质。但是，我们并没有被炸得粉身碎骨，就是因为核反应的发生是极端困难的，说得更科学一点，是因为需要用极大的激发能才能使原子核发生变化。 在核能的领域内，我们所处的地位（更确切地说，是不久前所处的地位）很象这样一个爱斯基摩人。这个爱斯基摩人生活在零度以下的环境中，接触到的唯一固体是冰，唯一液体是酒精。这样，他不会知道火为何物，因为用两块冰进行摩擦是不能生出火来的；他也只把酒精看成令人愉快的饮料，因为他无法把它升温到燃点。 现在，当人类由最近的发明，得知原子内部蕴藏着极大的能量可供释放时，他们的惊讶多么象这个不知火为何物的爱斯基摩人第一次看到酒精灯时的心情啊! 一旦克服了使核反应开始进行的困难，所引起的一切麻烦就都大大地得到补偿了。例如，数量相等的氧原子和碳原子在按照 O+C一→CO+能量 这个化学方程化合时，每一克混合好的氧和碳会放出92 卡热量。如果把这种化学结合( 分子的聚合，图66a)换成原子核的聚合（图66b）即 6C+80=14Si+能量, 这时，每克混合物放出的能量达到149000,000,000卡之多，比前者大一千五百万倍。 同样，一克复杂的TNT 分子在分解成水分子、一氧化碳分子、二氧化碳分子和氮气( 分子裂变)时，约释放1,000卡热 量；而同样重量的物质，如水银，在核裂变时会释放10,000,000,000 卡热量。 但是，千万别忘了，化学反应在几百度的温度下就很容易进行，而相应的核转变却在往在达到几百万度时还未引发哩! 正是这种引发核反应的困难，说明了整个宇宙眼下还不会有在一声巨爆中变成一大块纯银的危险，因此大家尽管放心好了。 3. 轰击原子 原子量的整数值为原子核构造的复杂性提供了有力的论据，不过这种复杂性只有用能够把原子核破裂成两块或更多几块的直接实验，才能最后加以证实。 第一次表明有可能使原子碎裂的迹象，是五十年前（1896 年）法国科学家贝克勒耳（Edmond Alexandr Becquerel）所发现的放射性。事实表明，位于周期表尽头的元素，如铀和钍，能自行发出穿透性很强的辐射（与一般X射线相似）的原因，在于这些原子在进行缓慢的自发衰变。人们对这个发现做了精细的研究，很快得出这样的结论：重原子在衰变中自行分裂成两个大不相同的部分：（1）叫做α粒子的小块， 它是氦的原子核；（2）原有原子核的剩余部分，它又是子元素的原子核。当铀原子核碎裂时，放出α粒子，产生的子元素称为铀X1，它的内部经历重新调整电荷的过程后，放出两个自由的负电荷（普通电子），变为比原来的铀原子轻四个单位的铀同位素。紧接着又是一系列的α粒子发射和电荷调整，直到变为稳定的铅原子，才不再进行衰变。 这种交替发射α粒子和电子的嬗变可发生在另外两族放射性物质上，它们是以重元素钍为首的钍系和以锕开始的锕系。这三族元素都进行一系列衰变，最后成为三种铅同位素。 我们在上一节讲过，元素周期在中后一半元素的原子核是不稳定的，因为在它们原子核内倾向于分离的静电力超过了把核约束在一起的表面张力。细心的读者把这一条和自发放射衰变的情况对比一下，就会觉得诧异：既然所有比银重的元素都是不稳定的，为什么只在最重的几种元素（如铀、镭、钍）上才观察到自发衰变呢？这是因为虽然所有比银重的元素在理论上都可以看作是放射性元素，并且它们也确实都在 渐渐地衰变成轻元素，不过在大多数情况下，自发衰变进行得非常绥慢，以致无法发现这种过程。一些大家熟悉的元素，如碘、金、水银、铅等等，它们的原子在一个世纪中说不定只分裂一两个。这可太慢了，用任何灵敏的物理仪器都无法记录下来。只有最重的元素，由于它们自发分裂的趋势很强，才能产生能够观测出的放射性来1)。这种相对的嬗变率还决定了不稳定原子核的分裂方式。例如，铀的原子核就可能以几种方式裂开：或者是分裂成两块相等的部分，或者是三块相等的部分，或者是许多块大小不等的部分。不过，最容易发生的是分成一个α粒子和一个剩余的子核。根据观察，铀原子核自行裂成两块相等部分的机会要比放射出一个α粒子的机会低数百万倍。所以，在一克铀中，每一秒内部有上万个原子核进行放射α粒子的分裂，而要观测到一次分成两块相等部分的裂变，却要等上几分钟呢! 放射现象的发现，不容置疑地证明了原子核结构的复杂性，也打开了人工产生（或激发）核嬗变的道路。它使我们想到，如果重元素，特别是那些不稳定的重元素能够自行衰变，那么，我们能否用足够强有力的高速粒子去轰击那些稳定的原子核，使它们发生分裂呢? 卢瑟福就抱着这样的想法，决定让各种通常是稳定的元素遭受不稳定放射性元素在分裂时放出的核碎块(α粒子)的轰击。他在1919年为此项实验首次采用的仪器（图 67），与当今某几个物理实验室中轰击原子的巨大仪器相比，真是简单到了极点。它包括一个圆筒形真空容器，一端有一扇窗，上面涂有一薄层荧光物质当作屏幕。α粒子轰击源是沉积在金属片上的一薄层放射性物质。待轰击的靶子（这个实验用的是铝）做成箔状，放在离轰击源一段距离之处。铝箔靶被安放得恰好能使所有入射α粒子都会嵌在上面。因此，如果轰击没有导致靶子产生次级核碎块的话，荧光屏是不会发亮的。 把一切装置安装就绪之后，卢瑟福就借助于显微镜观察屏幕。他看到屏上绝不是一片黑暗，整个屏幕上都闪烁着万万千千的跳动亮点！每个亮点都是质子撞在屏上所产生的，而每个质子又是入射α粒子从靶子上的铝原子里撞出的“一块碎片”。因此，元素的人工嬗变就从理论上的可能性变成了科学上的既成事实。1） 在卢瑟福做了这个经典实验之后的几十年内，元素的人工嬗变已发展成为物理学中最大和最重要的分支之一，无论是在产生供轰击用的高速粒子的方法上，还是在对结果的观测上，都取得了极大进展。 在观测粒子撞击原子核所发生的情况时，最理想的仪器是一种能够直接用眼睛观看的云室（因为它是威尔逊发明的，又称威尔逊云室）图68是云室简图。它的工作原理基于这样一个事实：高速运动的带电粒子，在穿过空气或其他气体时，会使沿路的气体原子发生一定程度的变形。它们在粒子的强电场作用下，会失去一个或数个电子而成为离子。这种状态不会长久持续下去。粒子一过，离子很快又重新俘获电子而恢复原状。不过，如果在这种发生了电离的气体中含有饱和的水蒸汽，它们就会以离子为核心形成微小的水滴一一这是水蒸汽的性质，它能附着在离子、灰尘等东西上一一结果沿粒子的路径会出现一道细细的雾珠。换句话说，任何带电粒子在气体中运动的径迹就变成了可见的，如同一架拖着尾烟的飞机。 从制作工艺来看，云室是件简单的仪器，它主要包括一个金属圆筒（A），筒上盖有一块玻璃盖子（B），内装一个可上下移动的活塞（C）（移动部件图中未画出）。玻璃盖子和活塞工作面之间充有空气(或视具体需要改充其他气体)和一定量的水蒸汽。当一些粒子从窗口（E）进入云室时，让活塞骤然下降，活塞上部的气体就会冷却，水蒸汽则会形成细微的水珠，沿粒子径迹凝结成一缕雾丝。由于受到从边窗（D）射入的强光照射，以及活塞面黑色背景的衬托，雾迹清晰可见，并可用与活塞连动的照相机（F）自动拍摄下来。这架简单的装置，能使我们获得有关核轰击的极完美的照片，因此，它已成为现代物理学中最有用的仪器之一。 自然，我们也希望能设计出一种在强电场中加速各种带电粒子（离子）、以形成强大粒子束的方法。这样不但能省去稀少而昂贵的放射性物质，还能增加其他类型的粒子（如质子），时，同粒子的能量也比一般放射性衰变中所放出的粒子大。在各种产生强大高速粒子束的仪器中，最重要的有静电发生器、回旋加速器和直线加速器。图69,70和71分别简述了它们的作用原理。 图70 迥旋加速器的原理。迥旋加速器主要包括两个放在强磁场中的半圆形金属盒（磁场方向和纸面垂直） 。两个盒与变压器的两端分别相连，因此，它们交替带有正电和负电。从中央的离子源射出的离子在磁场中沿半圆形路径前进，并在从一个盒体进入另一个盒体的中途受到加速。离子越走越迅速，描绘出一条向外扩展的螺线，最后以极高的速度冲出 图71 直线加速器原理 这套装置包指长度逐渐增大的一套圆筒，它们由变压器交替充以正电和负电。离子在从一个圆筒进入另一个圆筒的途中被这相邻两筒间的电势差加速， 因此能量逐渐增大。由于速度同能量的平方根成正比，所以，如果把筒长按整数的平方根的比例设计，离子就会保持与交变电场同相。把这套装置设计得足够长，就能把离子加速到任意大的速度 使用上述加速器产生的各种强大的粒子束，并引导它们去轰击用各种物质作成的靶子，可以产生一系列核嬗变，并用云室拍摄下来，这样，研究起来很方便。后面的图版III、IV 就是几张核嬗变的照片。 剑桥大学的布莱克特（Patrick Maynard Stuart Blackett）拍摄了若干张这种照片。他拍摄的是一束衰变中产生的α粒子通过充氮的云室。首先可以看出，所有的径迹都有确定的长度，这是因为粒子在飞过气体时，逐渐失去自己的动能，最后归于静止。粒子径迹的长度有两种，这是因为有两种不同能量的α粒子（粒子源是钍的两种同位素ThC 和ThC’的混合物）。大家还能注意到，α粒子的径迹基本上是笔直的，只是在尾部、即粒子快要失去全部初始能量时，才容易由氮原子的非正面碰撞造成明显的偏拆。但是，在这张星状的α粒子图中，有一道径迹很特殊，它有一个特殊的分叉，分叉的一支细而长，一支粗而短。这表明它是α粒子和氮原子面对面碰撞的结果。细而长的径迹是被撞出的质子，粗而短的则是被撞到一旁的氮原子。因为看不到其他径迹，这就说明，肇事的α粒子已经附在氮原子核上一起运动了。 在后面图版IIIB上，我们能看到人工加速的质子与棚核碰撞的效应。高速质子束从加速器出口(照片中央的黑影)射到外面的硼片上，从而使原子核的碎块沿各个方向穿过空气飞去。从照片上可看到一个有趣之处，就但碎块的径迹是以三个为一组（照片上可看到两组，其中一组还以箭头标出），这是由于硼原子被质子击中时，会裂成三块相等的部分。 另一张照片III A 摄下的是高速氘核(由一个质子和据称一个中子形成的重氢原子核)和靶上的另一个氘核相碰撞的情景。 照片中，较长的径迹属于质子(氕核)， 较短的则属于三倍重的氢核(也称氚核)。 中子和质子一样，是构成各种原子核的主要成分。如果没有中子参与反应的云室照片，那是很不完全的。 但是，不要指望在云室中看到中子的径迹，因为中子是不带电的，所以，这匹原子物理学中的“黑马”在行进途中不会造成电离。不过，当你看到从猎人枪口冒出一股轻烟，又看到从天上栽下一只鸭子，你就晓得有一颗子弹飞出过，尽管你看不到它。同样，在你观看图版IIIC这一云窒照片时，你看到一个氮原子分裂成氦核（向下的一支）和硼核（向上的一支），就一定会意识到这个氮核一定是被一个看不见的粒子从左面狠狠地撞了一下。事实正是如此，我们在云室左边的壁上放置了镭和铍的混合物，这正是快中子源。 只要把中子源和氮原子分裂的地点这两个点连接起来，就是表示中子运动路径的直线了。 图版IV是铀核的裂变照片，它是包基尔德（Boggild）、勃劳斯特劳姆（Brostrom）和娄瑞参（Lauritsen）拍摄的。从一张敷有一层铀的铝箔上，沿相反方向飞出两块裂变产物。当然，在这张照片上是显示不出引发这次裂变的中子和裂变所产生的中子的。 使用加速粒子轰击原子核的方法，我们可以得到无穷无尽的各种核嬗变，不过现在我们应该转到更重要的问题上来，即看着这种轰击的效率如何。要知道，图版III和IV 所示的只是单个原子分裂的情况。如果要把一克硼完全转变为氦，就要把所有55,000,000,000,000,000,000,000个硼原子都击碎。目前最强大的加速器每秒钟能产生1.0000000,000,000,000 个粒子。即使每个粒子都击碎一个硼核，那也得把这台加速器开动55百万秒，也就是差不多两年才行。 然而，实际上的效率要比这低得多。通常在几千个高速粒子当中，只能指望有一个命中靶上的原子核而造成裂变。这个极低的效率是由于原子核外的电子能够减慢入射带电粒子的通过速度的缘故。电子壳层受轰击的截面积要比原子核受轰击的截面积大得多，我们又显然不能把每个粒子都瞄准原子核，因此，粒子要在穿过许多原子的电子壳层后，才有直接命中某一个原子核的机会。图72 说明了这种局面。在图上，原子核用黑色小圈点表示，电子壳层用阴影线表示。原子与原子核的直径之比约为10,000:1，因此它们受轰击面积的比值为 100,000,000:1。我们还知道，带电粒子在穿过一个原子的电子壳层后，能量要减少万分之一左右。这样，它在穿过一万个电子壳层后就会停下来。由这些数据不难看出，在一万个粒子中，只有一个有可能在能量消耗光之前撞到某个原子核上。考虑到带电粒子给靶子上的原子以摧垮性打击的效率是如此之低，要使一克硼完全嬗变，恐怕至少也得把一台最先进的加速器开动两万年! 4. 核子学 往往有这么一些词，看起来似乎不那么恰当，但却颇有实用价值。“核子学”就是这样的一个。因此，我们不妨采用这个词。正如“电子学”讲的是自由电子束的广泛实际应用一样 ,“核子学”也应理解成对核能量的大规模释放进行实际应用的科学。上一节中我们已经看到，各种化学元素(除去银以外)的原子核内部蕴藏着巨大的内能；对轻元素来讲，内能可在聚变时放出；对重元素来讲，则在裂变时放出。我们又看到，用人工加速的粒子轰击原子核这个方法，尽管在研究核嬗变的理论上极为重要，但由于效率极低，派不上实际用场。 不过，这种低效率主要是由于α粒子和质子是带电粒子，它们在穿过原子时会失去能量，又不易逼近被轰击的靶原子核。我们当然会想到，如果用不带电的中子来轰击，大概会好一些。然而，这还是不好办!因为中子可以轻而易举地进入原子核内，它们在自然界中就不以自由状态存在；即使凭借人工方法，用一个入射粒子从某个原子核里“踢”出一个中子来(如铍靶在α粒子轰击下产生中子)，它也会很快地又被其他原子核重新俘获。 这样，要想产生强大的中子束，就得从某种元素的原子核里把中子一个一个地踢出来。这样做，岂不是又回到低效率的带电粒子这一条老路上去了吗! 然而，有一个跳出这种思性循环的方法：如果能用中子踢出中子，而且踢出不止一个，中子就会象兔子繁衍(参见图 97), 或者象细菌繁殖一样地增加起来。不久，由一个中子所产生的后代就会多到足以向一大块物质中的每一个原子核进攻的程度。 自从人们发现了这样一种使中子增长的核反应后，核物理学就空前繁荣起来，并从作为研究物质最隐秘性质的纯科学这座清静的象牙塔中走了出来，投进了报纸标题、狂热政论和发展军事工程的旋涡。凡是看报纸的人，没有不知道铀核裂变可以放出核能一一通常称为原子能一一这种能量的。铀的裂变是哈恩 (Otto Hahn)和斯特拉斯曼(Fritz Strassman) 在1938年末发现的。但是，不要认为由裂变生成的两个大小差不多相等的重核本身能使核反应进行下去。事实上，这两部分核块都带有许多电荷(各带铀核原电荷的一半左右)，因此不可能接近其他原子核；它们将在邻近原子的电子层作用下迅速失去自己的能量而归于静止，并不能引起下一步裂变。 铀的裂变之所以能一跃成为极重要的过程，是由于人们发现了铀核碎片在速度减慢后会放出中子，从而使核反应能自行维持下去(图 73)。 裂变的这种特殊的缓发效应的发生原因，在于重原子核在裂开时会象断裂成两节的弹簧一样处于剧烈的振动状态中。这种振动不足以导致二次裂变(即碎片再一次双分)，却完全有可能抛出几个基本粒子来。要注意：我们所说的每个碎块放射出一个中子，这只是个平均数字；有的碎块能产生两个或三个中子，有的则一个也不产生。当然，裂变时碎块所能产生的中子数有赖于振动强度，而这个强度又取决于裂变时释放的总能量。我们知道，这个能量的大小是随原子核重量的增大而增加的。因此，我们可以预料到，裂变所产生的中子数随周期表中原子序数的增大而增多。例如，金核裂变(由于所需的激发能太高，至今尚未实验成功)所产生的中子数，大概会少于每块一个，铀则为每块一个（即每次裂变产生两个），更重的元素（如钚），应多于每块一个。 如果有一百个中子进入某种物质，为了能够满足中子的连续增殖，这一百个中子显然应产生出多于一百个中子。至于能否达到这一状况，要看中子使这种原子核裂变的效率有多大，也要看一个中子在造成一次裂变时所产生的新中子有多少。应该记住，尽管中子比带电粒子有高得多的轰击效率，但也不会达到百分之百。事实上，总有一些高速中子在和某个原子相撞时，只交给它一部分动能，然后带着剩杂的动能跑 掉。这一来，粒子的功能将分散消花在几个原子核上，而没有一个发生裂变。 根据原子核结构理论，可以归结出这样一点：中子的裂变率随裂变物质原子量的递增而提高，对于周期表末尾的元素，裂变率接近百分之百。 现在，我们给出两个中子数的例子，一个是有利于中子增多的，一个是不利的：（A）快中子对某元素的裂变率为35%，裂变产生的平均中子数为 1.6。这时，如果有100 个中子，就能引起35次裂变，产生35 ×1.6=56个第二代中子。显然，中子数目会逐代下降，每一代都减少将近一半。（B）另一种较重元素，裂变率升至65%，裂变产生的平均中子数为2.2。此时，如有100个中子，就会导致65次裂变，放出的中子总数为65×2.2=143个。每产生新的一代，中子数就增加约50%，不用多久，就会产生出足以轰击核样品中每一个原子核的中子来。这种反应，我们称为分支链式反应；能产生这种反应的物质，我们叫做裂变物质。 对于发生渐进性分支链式反应的必要条件作细心的实验观测和深入的理论研究以后，可得出结论说，在天然元素中，只有一种原子核可能发生这种反应。这就是铀的轻同位素铀235。 但是，铀235在自然界中并不单独存在，它总是和大量较重的非裂变同位素铀238混在一起（铀235占 0.7%,铀 238占99.3%），这就会象湿木柴中的水分妨碍木柴的燃烧一样影响到铀的分支链式反应。不过，正因为有这种不活泼的同位素与铀235掺杂在一起，才使得这种高裂变性的铀235至今仍然存在，否则，它们早就会由于链式反应而迅速毁掉了。因此，如果打算利用铀235的能量，那么，就得先把铀235 和铀238 分离开来，或者是研究出不让较重的铀238捣蛋的办法。这两类方法都是释放原子能这个课题的研究对象，并且都得到了成功的解决。由于本书不打算过多地涉及这类技术性问题，所以我们只在这里简单地讲一讲。 要直接分离铀的两种同位素是个相当困难的技术问题。它们的化学性质完全相同，因此，一般的化工方法是无能为力的。这两种原子只在质量上稍有不同一一两者相差1.3%，这就为我们提供了靠原子质量的不同来解决问题的扩散法、离心法、电磁场偏转法等。图75a和b示出了两种主要分离方法的原理图，并附有简短说明。 所有这些方法都有一个缺点：由于这两种同位素的质量相差甚小，因而分离过程不能一步完成，需要多次反复进行，才能使轻的同位素一步步富集。这样，经过相当多次重复后，可得到很纯的铀235产品。 更聪明的方法是使用所谓减速剂，人为地减小天然铀中重同位素的影响，从而使链式反应能够进行。在了解这个方法之前，我们先得知道，铀的重同位素对链式反应的破坏作用，在于它吸收了铀235裂变时产生的大部分中子，从而破坏了链式反应的进行。因此，如果我们能设法使中子在碰到铀235的原子核之前不致被铀238原子核所俘获，裂变就能继续进行下去，问题也就解决了。不过，铀238比铀235 约多140倍，不让铀238得到大部分中子，岂不是想入非非! 然而，在这个问题上，另一件事实帮了忙。这就是铀的两种同位素“俘获中子的能力”随中子运动速度的不同而不同。对于裂变时所产生的快中子，两者的俘获能力相同，因此，每有一个中子轰击到铀235的原子核，就有一百四十个中子被铀238所俘获。对于中等速度的中子来说，铀238的俘获能力甚至比铀235 还要强。不过，重要的一点是：当中子速度很低时，铀235能比铀238俘获到多得多的中子。因此，如果我们能使裂变产生的高速中子在与下一个铀(238或235)原子核相遇之前，先大大减速，那么，铀235的数量虽少，却会比铀238有更多的机会来俘获中子。 我们把天然铀的小颗粒，掺在某种能使中子减速而本身又不会俘获大量中子的物质(减速剂)里面，就可得到减速装置。最好的减速剂是重水、碳、铍盐。从图76可以看出，这样一个散布在减速剂中的铀颗粒“堆”是如何工作的。 我们说过，铀的轻同位素铀235（只占天然铀的0.7%）是唯一能维持逐步发展的链式反应、并放出巨大核能的天然裂变物质。但这并不等于说，我们不能人工制造出性质与铀235相同、而在自然界中并不存在的元素来。事实上，利用裂变物质在链式反应中所产生的大量中子，我们可以把原来不能发生裂变的原子核变为可以裂变的原子核。 第一个这种例子，就是上述由铀和减速剂混合成的反应堆。我们已经看到，在使用减速剂以后，铀238 俘获中子的能力会减小到足以让铀235进行链式反应的程度。然而，还是会有一些铀238的原子核俘获到中子。这一来又会发生什么情形呢? 铀238的核在俘获一个中子后，当然就马上变成更重的同位素铀239。不过，这个新生子核的寿命不长，它会相继放出两个电子，变成原子序数为94的新元素的原子。这种人造新元素叫做钚(Pu－239)，它比铀23 5还容易发生裂变。如果我们把铀238换成另一种天然放射性元素钍(Th-232)，它在俘获中子和释放两个电子后，就变成另一种人造裂变元素铀233。 因此，从天然裂变元素铀235开始，进行循环反应，理论上和实际上都可能将全部天然铀和钍变成裂变物质，成为富集的核能源。 最后，让我们大致计算一下，可供人类用于和平发展或自我毁灭的战争中的总能量有多少。计算表明，所有天然铀矿中的铀235所蕴藏的核能，如果全部释放出来，可以供全世界的工业使用数年；如果考虑到铀238转变成钚的情况，时间就会加长到几个世纪。再考虑到蕴藏量四倍于铀的钍(转变为铀233)，至少就可用一、两千年。这足以使任何“原子能匮乏”论不能立足了。 而且，即使所有这些核能源都被用光，并且也不再发现新的铀矿和钍矿，后代人也还是能从普通岩石里获得核能。事实上，铀和钍也跟其他元素一样，都少量地存在于一切普通物质中。例如，每吨花岗岩中含铀4克，含钍12克。乍一看来，这未免太少了。但不妨往下算一算：一公斤裂变物质所蕴藏的核能相当于两万吨TNT炸药爆炸时或两万吨汽油燃烧时所放出的能量。因此，一吨花岗岩中的这16克铀和钍，就相当于320吨普通燃料。这就足以补偿复杂的分离步骤所会带来的一切麻烦了一一特别是在当我们面临富矿源趋于站竭的时候。 物理学家们在征服了铀、钍之类的重元素裂变时所释放的能量后，又盯上了与此相反的过程一一核聚变，即两个轻元素的原子聚合成一个重原子核，同时释放出大量能量的过程。在第十一章里，大家会看到，太阳的能量就来自因氢核进行猛烈的热碰撞而合成较重的氮核这种聚变反应。为了实现这种所谓热核反应，以供人类应用，最适用的聚变物质是重氢，即氘。氘在水里以少量存在。氘核含有一个质子和一个中子。当两个氘相撞时，会发生下面两个反应当中的一个： 为了实现这种变化，氘必须处于几亿度的高温下。 第一个实现核聚变的装置是氢弹，它用原子弹来引发氘的聚变。不过，更复杂的问题是如何实现可为和平目的提供大量能量的受控热核反应。要克服主要的困难一一约束极热的气体一一可利用强磁场使氘核不与容器壁接触（否则容器会熔化和蒸发!），并把它们约束在中心的热区内。 第八章 无序定律 l．热的无序 斟上一杯水，并且仔细观察它，这时，你看到的只是一杯清澈而均匀的液体，看不出有任何内部运动的迹象(当然，这是指不晃动玻璃杯而言)。但我们知道，水的这种均匀性只是一种表面现象。如果把水放大几百万倍，就会看出它具有明显的颗粒结构，是由大量紧紧地挨在一起的单个分子组成的。 在这样的放大倍数下，我们还可以清清楚楚地看到，水绝非处于静止状态。它的分子处在猛烈的骚动中，它们来回运动，互相推挤，恰似一个极度激动的人群。水分子或其他一切物质分子的这种无规运动叫做热运动，因为热现象就是这种运动的直接结果。尽管肉眼不能察觉到分子和分子的运动，但分子的运动能对人体器官的神经纤维产生一定刺激，从而使人产生热的感觉。对于比人小得多的生物，如悬浮在水滴中的细菌，这种热运动的效应就要显著得多了。这些可怜的细菌会被进行热运动的分子从四面八方无休止地推来搡去，得不到安宁(图77)。这种可笑的现象是大约一百年前被英国生物学家布朗(Robert Brown)在研究植物花粉时首次发现的，因此被称为布朗运动。这是一种普遍存在的运动，可在悬浮在任何一种液体中的任何一种物质微粒(只要足够细小)上观察到，也可以在空气中飘浮的烟雾和尘埃上观察到。 如果把液体加热，那么，悬浮小微粒的狂热舞蹈将变得更为奔放；如果液体冷却下来，舞步就会显著变慢。毫无疑问，我们所观察到的现象正是物质内部热运动的效应。因此，我们通常所说的温度不是别的，而正是分子运动激烈程度的量度。通过对布朗运动与温度的关系进行研究，人们发现在温度达到摄氏－273度，即华氏－459度时，物质的热运动就完全停止了。这时，一切分子都归于静止。这显然就是最低的温度。它被称为绝对零度。如果有人提起更低的温度，那显然是荒唐的。因为哪里会有比绝对静止更慢的运动呢? 一切物质的分子在接近绝对零度这个温度时，能量都是很小的。因此，分子之间的内聚力将把它们紧聚成固态的硬块。这些分子只能在凝结状态下作轻微的颤动。如果温度升高，这种颤动就会越来越强烈；到了一定程度，这些分子就可以获得一定程度的运动自由，从而能够滑动。这时，原先在凝结状态下所具有的硬度消失了，物质就变成了液体。物质的熔解温度取决于分子内聚力的强度。有些物质，如氢或空气(氮和氧的混合物)，它们分子间的内聚力很微弱，在很低的温度下就会被热运动所克服。氢要到14K(即－259℃)下才处于固体状态，氧和氮则分别在55K和64K(即－218℃和－209℃)时熔解。另一些物质的分子则有较强的内聚力，因此能在较高温度下保持固态。例如，酒精能保持固态到－114℃，固态水(即冰)在0℃时才融化。还有一些物质能在更高的温度下保持固态：铅在+327℃熔解，铁在+1535℃，而稀有金属锇能坚持到2700℃。物质在处于固态时，它们的分子是被紧紧束缚在一定的位置上，但绝不是不受热的影响。根据热运动的基本定律，处在相同温度下的一切物质，无论固体、液体还是气体，其单个分子所具有的能量是相同的；只不过对某些物质来说，这样大的能量已足以使它们的分子从固定位置上挣脱开来，而对另一些物质来说，分子只能在原振动，如同被短链子拴住的狂怒的狗一样。 固体分子的这种热颤动或热振动，在上一章所描述X光照片中可以很容易地观察到。我们确实知道，摄得一张晶格分子的照片需要一定时间，因此在这段曝光时间内，绝对不能允许分子离开自己的固定位置。来回颤动非但无助于拍照，反而会使照片模糊起来。这种模糊现象可从图版I那分子照片上看到。为了得到清晰的图象，必须尽可能把晶体冷却，这一般是把晶体浸到液态空气中来实现的。反过来，如果把被摄影的晶体加热，照片就会变得越来越模糊。当达到熔点时，由于分子脱离原来的位置，在熔解的液体里无规地运动起来，它的影象就会完全消失。 在固体熔化后，分子仍然会聚在一起。因为热冲击虽然已大得能把分子从晶格上拉下来，却还不足以使它们完全离开。然而，当温度进一步升高时，分子间的内聚力就再也不能把分子聚拢在一起了。这时，如果没有容器壁的阻挡，它们将沿各个方向四散飞开。这样一来，物质当然就处在气态了。液体的气化也和固体的熔化一样，不同的物质有不同的温度；内聚力弱的物质变成气体所需达到的温度要比内聚力强的物质低。气化温度还与液体所受压力的大小有重大关系，因为外界的压力显然是会帮内聚力的忙的。我们知道，正因为如此，封得很严实的一壶水，它的沸腾温度要比在敞开时高；另—方面，在大气压大为减低的高山顶上，水不到100℃就会沸腾。顺便提一下，测量水在某个位置上的沸腾温度，就可以计算出大气压强，也就可以知道这个位置的海拔高度。 但是，可不要学马克·吐温(Mark Twain)所说的那个例子啊！他在一篇故事里讲到，他曾把一支无液气压计放到煮豌豆汤的锅子里。这样做非但根本不能判断出任何高度，这锅汤的滋味还会被气压计上的铜氧化物弄坏。 一种物质的熔点越高，它的沸点也越高。液态氢在－253℃沸腾，液态氧和液态氮分别在－183℃和－196℃，酒精在+78℃，铅在+1620℃，铁在+3000℃，锇要到+5300℃)。 在固体那美妙的晶体结构被破坏以后，它的分子先是象一堆蛆虫一样爬来爬去，继而又象一群受惊的鸟一样飞散开，但这并不是说，热运动的破坏力已达到极限。如果温度再行升高，就会威胁到分子本身的存在，因为，这时候分子间的相互碰撞变得极为猛烈，有可能把分子撞开，成为单个原子。这种被称为热离解的过程取决于分子的强度；某些有机物质在几百度时就会变为单个原子或原子群，另一些分子可要坚牢得多，如水分子，它要到一千度以上才会崩溃。不过，当温度到几千度时，分子就不复存在了，整个世界就将是纯化学元素的气态混和物。 在太阳的表面上，情况就会是这样，因为这里的温度可达6000℃。而在比太阳“冷”一些的红巨星1）的大气层中，就能存在一些分子，这已经靠专门的分析方法得到了证实。 在高温下，猛烈的热碰撞不仅把分子分解成原子，还能把原子本身的外层电子去掉，这叫做热电离。如果达到几万度、几十万度、几百万度这样的极高温度——这样的温度超过了实验室中所能获得的最高温度，然而在包括太阳在内的恒星中却是屡见不鲜的——热电离就会越来越占优势。最后，原子也完全不能存在了，所有的电子层都统统被剥去，物质就只是一群光秃秃的原子核和自由电子的混合物。它们将在空间中狂奔猛撞。尽管原子个体遭到这样彻底的破坏，但只要原子核完好无缺，物质的基本化学特性就不会改变。一旦温度下降，原子核就会重新拉回自己的电子，完整的原子又形成了。 为了达到物质的彻底热裂解，使原子核分解为单独的核子(质子和中子)，温度至少要上升到几十亿度。这样高的温度，目前即使在最热的恒星内部也未发现。也许在几十亿年前，我们这个宇宙正当年轻时曾有过这种温度。这个令人感兴趣的问题，我们将在本书最后一章加以讨论。 这样，我们看到，热冲击的结果使得按量子力学定律构筑起来的精巧物质结构逐步被破坏，并把这座宏大建筑物变成乱糟糟的一群乱外瞎撞，看不出任何明显规律的粒子。 2．如何描述无序运动? 如果你认为，既然热运动是无规则的，所以就无法对它进行任何物理描述，那可就大错而特错了。对于完全不规则的热运动，有一类叫做无序定律、或者更经常被称做统计定律的新定律在起作用。为了理解这一点，让我们先来注意—下著名的“醉鬼走路”问题。假设在某个广场的某个灯柱上靠着一个醉鬼(天晓得他在什么时候和怎么跑到这儿来的)，他突然打算随便走动一下。让我们来观察他的行动吧。他开始走了，先朝一个方向走上几步，然后换个方向再迈上几步，如此这般，每走几步就随意折个方向(图80)。那么，这位仁兄在这样弯弯折折地走了一段路程，比如折了一百次以后，他离灯柱有多远呢?乍一看来，由于对每一次拐弯的情况都不能事先加以估计，这个问题似乎是无法解答的。然而，仔细考虑一下，就会发觉，尽管我们不能说出这个醉鬼在走完一定路程后肯定位于何处，但我们还是能答出他在走完了相当多的路程后距离灯柱的最可能的距离有多远。现在，我们就用严格的数学方法来解答这道题目。以广场上的灯柱为原点画两条坐标轴，X轴指向我们，Y轴指向右方。R表示醉鬼走过N个转折后(图80中N为14)与灯柱的距离。若Xn和Yn。分别表示醉鬼所走路径的第N个分段在相应两轴上的投影，由毕达哥拉斯定理显然可得出： R2＝(X1+X2+X3+……+Xn)^2+(Yl+Y2+Y3+……+Yn)^2 这里的X和Y既有正数，又有负数，视这位醉鬼在各段具体路程中是离开还是接近灯柱而定。应该注意，既然他的运动是完全无序的，因此在x和y的取值中，正数和负数的个数应该差不多相等。我们现在按照代数学的基本规则展开上式中的括号，即把括号中的每一项都与自己这一括号中的所有各项(包括自己在内)相乘。这样， (X1+X2+X3+… …+Xn)^2=(X1+X2+X3+……+Xn)(X1+X2+X3+……+Xn)=X1^2+X1X2+XlX3+……+ X2^2+X1X2+……+Xn^2 这一长串数字包括了X的所有平方项(X1^2,X2^2,……，Xn^2)和所谓“混和积”，如X1X2，X2X3，等等。 到目前为止，我们所用到的只不过是简单的数学。现在要用到统计学观点了。由于醉鬼走路是无规则的，他朝灯柱走和背着灯柱走的可能性相等，因此在X的各个取值中，正负会各占—半。这样，在那些“混和积”里，总是可以找出数值相等、符号相反的一对对可以互相抵消的数对来；N的数越大，这种抵消就越彻底。只有那些平方项永远是正数，因而能够保留下来。这样，总的结果就变成 X1^2+X2^2+……+Xn^2＝NX^2， X在这里表示各段路程在X轴上投影长度的平均值。 同理，第二个括号也能化成NY^2，Y是段路程在Y轴投影长度的平均值。这里还得再说一遍，我们所进行的并不是严格的数学运算，而是利用了统计规律，即考虑到由于运动的任意性所产生的可抵消的“混和积”。现在，我们得到醉汉离开灯柱的可能距离为 R^2=N(X^2+Y^2) 或 R=Sqrt(N) Sqrt(X^2+Y^2) 但是各路程的平均投影在两根轴上都是45°，所以 Sqrt(X^2+Y^2) 就等于平均路程长度(还是由毕达哥拉斯定理证得)。用1来表示这个平均路程长度时，可得到 R=1 Sqrt(N) 通俗的语言来说，这就是：醉鬼在走了许多段不规则的弯折路程后，距灯柱的最可能距离为各段路径的平均长度乘以径段数的平方根。 因此，如果这个醉鬼每走一码就(以随意角度)拐一个弯，那么，在他走了一百码的长路后，他距灯柱的距离一般只有十码；如果笔直地走呢，就能走一百码——这表明，走路时有清醒的头脑肯定会占很大便宜的。 从上面这个例子可以看出统计规律的本质：我们给出的不是每一种场合下的精确距离，而是最可能的距离。如果有一个醉鬼偏偏能够笔直走路不拐弯(尽管这种醉鬼是太罕见了)，他就会沿直线离开灯柱。要是有另一个醉鬼每次都转180°的弯，他就会离开灯柱又折回去。但是，如果有一大群醉鬼都从同一根灯柱开始互不干扰地走自己的弯弯路，那么，过一段足够长的时间后，你将发现他们会按上述规律分布在灯柱四周的广场上。 图81画出了六个醉汉无规则走动时的分布情况、不消说，醉汉越多、不规则弯折的次数越多，上述规律也就越精确。 现在，把一群醉鬼换成一批很小的物体，如悬浮在液体中的植物花粉或细菌，你就会看到生物学家布朗在显微镜下看到的那种现象。当然，花粉和细菌是不喝酒的，但我们曾说过，它们被卷入了周围分子的热运动，被它们不停地踢向各个方向，因此被迫走出弯弯曲曲的路，恰像那因酒精作怪而失去了方向概念的人一样。 在用显微镜观看悬浮在一滴水中的许多小微粒的布朗运动时，你可以集中精力观察在某个时刻位于同一小区域内(靠近“灯柱”)的一批微粒。你会发现，随着时间的推移，它们会逐渐分散到视场中的各个地方，而且它们与原来位置的距离同时间的平方根成正比，正如我们在推导醉鬼公式时所得到的数学公式一样。 这条定律当然也适用于水滴中的每—个分子。但是，人们是看不见单个分子的，即使看见了，也无法将它们互相区别开。因此，我们得采用两种不同的分子，凭借它们的不同（如颜色)而看出它们的运动来。现在，我们拿一个试管，注入一半呈漂亮紫色的高锰酸钾水溶液，再小心地注入一些清水，同时注意不要把这两层液体搞混。观察这个试管，我们就会看到，紫色将渐渐进入清水中去。如果观察足够长的时间，全部液体就会从底部到顶部都变成颜色均匀的统一体。这种大家所熟知的现象叫做扩散，它是高锰酸钾染料的分子在水中的无规则热运动所引起的。我们应该把每个高锰酸钾分子想象成一个小醉鬼，被周围的分子不停地冲来撞去。水的分子彼此挨得很近(与气体分子相比)，因此，两次连续碰撞间的平均自由程很短，大约只有亿分之一英寸。另一方面，分子在室温下的速度大约为每秒十分之一英里，因此，一个分子每一万亿分之一秒就会发生一次碰撞。这样，每经过一秒钟，一个单个染料分子发生碰撞并折换方向的次数达上万亿次，它在一秒钟内走出的距离就是亿分之一英寸(平均自由程)乘以一万亿的平方根，即每秒钟走出百分之一英寸。这就是扩散的速度。考虑到在没有碰撞时分子在一秒钟后就会跑到十分之一英里以外的地方去，可见，这种扩散速度是很慢的。要等上一百秒钟，分子才会挪到十倍( Sqrt(100)=10)远的地方；要经过10,000秒钟，也就是将近三个小时，颜色才会扩展一百倍(Sqrt(10000)=100 )，即一英寸远。瞧，扩散可是个相当慢的过程啊。所以，如果你往茶里放糖(欧美人喝茶有放糖的习惯)，还是要搅动搅动，不要干等糖分子自行运动到各处去。 我们再来看一个扩散的例子：热在火炉通条中的传导方式，这是分子物理学中最重要的过程之一。把一根铁通条的一端插入火中，根据经验可知，另一端要在相当长的时间之后才会变得烫手。你大概并不知道这热量是靠电子的扩散传递过来的。炉通条也好，其他各种金属也好，内部都有许多电子。这些电子和诸如玻璃之类的非金属中的电子不同，金属中那些位于外电子壳层的电子能够脱离原子，在金属晶格内游荡。它们会像气体中的微粒一样参与不规则热运动。 金属物质的外表面层是会对电子施加作用力、不让它们逃出的；但在金属内部，电子却几乎可以随意运动。如果给金属线加上一个电场作用力，这些不受约束的自由电子将沿着电场作用力的方向冲过去，形成电流；而非金属的电子则被束缚在原子上，不能自由运动，因此，非金属大都是良好的绝缘体。 当把金属棒的一端插入火中，这一部分金属中自由电子的热运动便大为加剧；于是，这些高速运动的电子就开始携带过多的热能向其他地区扩散。这个过程很象染料分子在水扩散的情况，只不过这里不是两种不同的微粒(水分子和染料分子)，而是热电子气扩散到冷电子气的区域中去。醉鬼走路的定律在这里也同样适用，热在金属棒中传递的距离与相应的时间的平方根成正比。 最后，再举—个与前二者截然不同而具有宇宙意义的重要扩散例子。在下一章中，我们将看到，太阳的能量是由它自己内部深处的元素在嬗变时产生的。这些能量以强辐射的形式释放出去。这些“光微粒”，或者说光量子、从太阳内部向表面运动。光的速度为每秒300000公里，太阳的半径为700000公里。所以，如果光量子走直线的话，只消两秒多钟就会从中心到达表面。但事实上绝非如此。光量子在向外行进时，要与太阳内部无数的原子和电子相撞。光量子在太阳内的自由程约为一厘米（比分子的自由程长多了！），太阳的半径是70，000，000，000厘米，这样，光量子就得象醉汉那样拐上（7×10＾10）＾2即5×10＾21个弯才能到达表面。这样，每一段路需要花1/（3×10＾10） 即3×10＾－11 秒，而整个旅程所用的时间即为3×10＾－11×5×10＾21＝1.5×10＾11 秒，也就是五千年上下！这一回，我们又一次看到扩散过程是何等缓慢。光从太阳中心走到表面要花五十个世纪，而从太阳表面穿越星际空间直线到达地球，却仅仅用八分钟就够了！ |
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