初中生也能解的国际数学竞赛题

以下两题都曾经是国际数学竞赛题，它们的求解都很简单，只需要运用初中的知识就可以轻而易举地加以解决.

第一题:已知：a+2b+3c+4d+5e=30，求 a2+2b2+3c2+4d2+5e2的最小值.

第二题:求方程√x+√(y-1)+ √(z-2)=(x+y+z)/2的实数解．

先来解答第一题.已知条件是a+2b+3c+4d+5e=30，这里初看是a、b、c、d、e这五个数的和，而实际上是15个数的和为30；欲求最小值的代数式a2+2b2+3c2+4d2+5e2恰好是这15个数的平方和.我们知道，当a、b、c、d、e这15个数都相等时，这15个数的平方和最小，此时每个数都等于它们的平均数2，因此，如果是填空题或选择题，马上就可以得到当a=b=c=d=e=2时，a2+2b2+3c2+4d2+5e2的最小值=4+8+12+16+20=60.但作为解答题显然是不能这样解答的.怎么办呢？

设S= a2+2b2+3c2+4d2+5e2，根据上述的分析，运用配方法将S化为关于a-2、b-2、…、e-2平方和的形式，然后利用'任何实数的平方和都大于或等于0'建立关于S的不等式求解.

解：设S= a2+2b2+3c2+4d2+5e2，

则S= [(a-2)2+4a-4]+2 [(b-2)2+4b-4]+3 [(c-2)2+4c-4] +4 [(d-2)2+4d-4] +5 [(e-2)2+4e-4]

=(a-2)2+2(b-2)2+3(c-2)2+4(d-2)2+5(e-2)2+4(a+2b+3c+4d+5e)-4×(1+2+3+4+5)

=(a-2)2+2(b-2)2+3(c-2)2+4(d-2)2+5(e-2)2+4×30-60

=(a-2)2+2(b-2)2+3(c-2)2+4(d-2)2+5(e-2)2+60，

因为(a-2)2+2(b-2)2+3(c-2)2+4(d-2)2+5(e-2)2≥0，

所以S≥60，

所以a2+2b2+3c2+4d2+5e2的最小值为60.

第二题先留给大家思考.