北师大版4、5、6年级数学下册期中知识点归纳

北师大四年级下册期中知识点

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第一单元 小数的意义和加减法

1、小数的意义：

把单位“1”平均分成10份、100份、1000份……取其中的1份或几份，表示十分之几、百分之几、千份之几……的数，叫小数。

2、分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示

表示十分之几的小数是一位小数

表示百分之几的小数是两位小数

表示千分之几的小数是三位小数……

3、小数的组成：

以小数点为界，小数由整数部分和小数部分组成。

4、小数的数位、计算单位、进率：

① 小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……与整数一样，小数每相邻两个计数单位之间的进率是10。

② 小数部分最大的计算单位是十分之一，小数部分没有最小的计数单位。

③ 小数的数位是无限的。

④ 在一个小数中，小数点后面含有几个小数数位，它就是几位小数。小数部分末尾的零也要计入其中。

5、小数的数位顺序表

整数部分

小数点

小数部分

数位

…

万位

千位

百位

十位

个位

·

十分位

百分位

千分位

万分位

…

计数单位

…

万

千

百

十

一（个）

十分之一

百分之一

千分之一

万分之一

…

6、小数的读写：

读小数时，从左往右，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分顺次读出每一个数位上的数字，即使是连续的0，也要依次读出来。

写小数时，也是从左往右，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”），小数点点在个位的右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。

7、理解0.1与0.10的区别联系：

区别：0.1表示1个0.1、0.10表示10个0.01、意义不同。

联系：0.1=0.10两个数大小相等。运用小数的基本性质可以不改变数的大小，改写小数或化简小数。

8、纯小数和带小数

整数部分是0的小数叫做纯小数；

整数部分不为0的小数叫做带小数。

9、测量活动（名数的改写）

① 1分米=0.1米  1厘米=0.01米   1克=0.001千克……学会低级单位与高级单位之间的互化（长度单位，面积单位，重量单位……）。

低级单位单名数化为高级单位时，先将这个低级单位的数改写成分母是10、100、1000……的分数，再把分数写成小数的形式，并在后面加上所要化成的高级单位的名称。

② 复名数改单名数：抄相同，改不同。（相同的单位抄在整数部分，不相同的单位按照上面的改写方法写在小数部分）。

③ 其他改写方法：

单名数互化：

a.低级单位名数÷进率=高级单位名数。

b.高级单位名数×进率=低级单位名数。

复名数与单名数之间互化：

抄相同，改不同（同单名数互化方法）。

如：3米2厘米=（   ）米。相同的单位米，抄在整数部分，整数部分是3；改写不同：2厘米÷100=0.02米（厘米与米之间的进率是100）

④ 生活中常用的单位：

10、比大小（比较小数的大小）

① 比较两个小数大小的方法：先看整数部分，整数部分大的小数就大；整数部分相同，再看小数部分的十分位，十分位上数字大的小数就大……

② 把几个小数按顺序排列：要先比较它们的大小。再按照题目的要求按顺序排列。当单位不统一的几个数量比较大小时，要先将这几个数量的单位统一，再按小数大小比较方法进行比较，最后答题应按照最目中给的原数进行排列顺序。

11、小数加、减法的意义：

小数加减法的意义与整数加减法的意义相同。

①小数加法的意义：把两个数合并成一个数的运算。

②小数减法的意义：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

12、小数的基本性质：

小数末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

13、小数加减计算法则：

小数点对齐；按照整数加减法的法则计算。从末位算起；哪一位上的数相加满十，要向前一位进一。如果被减数的小数末尾位数不够，可以添“0”再减，哪一位上的数不够减，要从前一位退一，在本位上加十再减；得数的小数点要对齐横线上的小数点。

14、小数加减混合运算

① 和整数加减混合运算的顺序相同。同级运算，从左往右；有括号的，先里后外。

② 整数加、减法的运算定律同样适用于小数加减法。例如加法的结合律，交换律。

15、小数的加减法要注意：

小数点要对齐，也就是将数位要对齐，得数的末尾有“0”，一定要把“0”去掉。

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第二单元 认识三角形和四边形

1、按照不同的标准给已知图形进行分类

① 按平面图形和立体图形分； 

② 按平面图形是否由线段围成来分的； 

③ 按图形的边数来分。 

2、平行四边形和三角形的性质：

三角形具有稳定性，平行四边形具有易变形（不稳定性）的特点。

3、把三角形按照不同的标准分类，并说明分类依据； 

① 按角分，分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形

其本质特征：

三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；

有一个角是直角的三角形是直角三角形；

有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

② 按边分，分为：等腰三角形、等边三角形、任意三角形。

有两条边相等的三角形是等腰三角形；

三条边都相等的三角形是等边三角形。（等边三角形是特殊的等腰三角形） 

4、三角形内角和、三角形边的关系

① 任意一个三角形内角和等于180度。

② 三角形任意两边之和大于第三边。已知两条边的长度，那么第三边的长度要大于已知两边之差小于两边只差。

③ 能应用三角形内角和的性质和三角形边的关系解决一些简单的问题。

④ 四边形的内角和是360°

⑤ 用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。

⑥ 用2个相同的直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个长方形、一个大三角形。

⑦ 用2个相同的等腰的直角的三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形。一个大的等腰的直角的三角形。

5、四边形的分类

① 由四条线段围成的封闭图形叫作四边形。四边形中有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，只由一组对边平行的四边形是梯形。

② 长方形、正方形是特殊的平行四边形。正方形是特殊的长方形。

③ 正方形、长方形、等腰梯形、菱形、等腰三角形、等边三角形、圆形是轴对称图形。

a 正方形有4条对称轴。

b 长方形有2条对称轴。菱形有2条对称轴。

c 等腰梯形有1条对称轴。

d 等边三角形有3条对称轴。

e 圆有无数条对称轴。

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第三单元 小数乘法

1、小数乘法的意义：

① 小数乘小数的意义表示求一个数的十分之几、百分之几……是多少。

② 小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。可以说是求几个相同加数和的简便运算，也可以说是求这个小数的整数倍是多少。

如：2.3×5表示求5个2.3的和是多少。也可以表示求2.3的5倍是多少。

2、乘法的变化规律：

① 在乘法里，一个因数不变，另外一个因数扩大（或缩小）a倍，积也扩大（或缩小）a倍。

② 在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数扩大b倍，积就扩大a×b倍。

③ 在乘法里，一个因数缩小a 倍，另外一个因数缩小b倍，积就缩小a×b倍。

3、积不变规律：

    在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数缩小a倍，积不变。

4、小数乘整数计算方法：

① 先把小数扩大成整数

② 按整数乘法乘法法则计算出积

③ 看被乘数有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

④ 若积的末尾有0可以去掉

5、小数乘小数的计算方法：

① 先把小数扩大成整数

② 按整数乘法乘法法则计算出积

③ 看积中有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果乘得的积的位数不够，要在前面用0补足。

6、小数四则混合运算

小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的顺序相同：同级运算，从左往右；两级运算，先乘除后加减；有括号的，先算括号里的。

乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于小数乘法，应用这些运算定律，可以使计算简便。

乘法交换律   a×b=b×a

乘法结合律   (a×b)×c＝a×(b×c)

乘法分配律   a×(b c)=a×b a×c

                     a×(b—c)=a×b — a×c

7、积的近似数：

保留a位小数，就看第a 1位，再用四舍五入的方法取值。

保留整数：表示精确到个位，看十分位上的数；保留一位小数：表示精确到十分位，看百分位上的数；保留两位小数：表示精确到百分位，看千分位上的数；……

按实际需要用“四舍五入法”保留一定的小数位数，求积的近似值。

8、小数点位置移动引起小数大小变化的规律

① 小数点位置移动引起小数大小变化的规律：

小数点向左移动一位、两位、三位……这个数就缩小到原来的1/10 、1/100 、 1/1000……小数点向右移动一位、两位、三位……这个数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……

② 小数点右移，位数不够时，要添“0”补位，小数点移动完后，整数最高位前边的“0”要去掉；

小数点左移，位数不够时，也用“0”补足，点上小数点，若整数部分没有数，用“0”表示，若小数末尾有0，根据小数的性质，应把末尾的“0”去掉。

③ 积的小数位数与乘数的小数位数的关系：在小数乘法中，两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数。

④ 积的近似值的求法：一般要先算了正确的积，再根据题目要求或生活习惯用“四舍五入”

⑤ 比较大小：

①　一个数乘以一个大于1的数，积大于它本身。例如：6.5×1.5＞6.5

②　一个数乘以一个等于1的数，积等于它本身。例如：6.5×1=6.5

③　一个数乘以一个小于1的数，积小于它本身。例如：6.5×0.9＜6.5

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第四单元 观察物体

1、从不同位置观察同一个物体，所看到的图形有可能一样，也有可能不一样。

2、从同一个位置观察不同的物体，所看到的图形有可能一样，也有可能不一样。

3、不同形状的物体，分别从正面、侧面、上面看，看到的形状有可能是相同的，也有可能是不同的。

4、方法指导：在不同位置观察由小正方体平摆的物体，并判断观察到物体的平面图，在哪一位置观察，就从哪一面数出小正方形的数量并确定摆出的形状，注意视线应垂直于所要观察的平面。

练习题

一、用心填一填。

1、0.28×0.06的积是（    ）位小数，5.5×9.4的积是（    ）位小数。

2、0.75扩大100倍是（    ），0.052扩大（    ）倍是52。

3、按角的大小，三角形可以分为(     )三角形、(     )三角形和(     )三角形。

4、两个因数的积为2.85，如果其中一个因数扩大100倍，另一个因数缩小到原来

，那么所得的积是（      ）。

5、（   ）的小数点向左移动三位是8.6，移动后缩小到原来的（    ）。

6、5.2的计数单位是（     ），不改变大小把它改写成三位小数，它的计数单位是（      ）。

7、一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是（      ）。一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是（        ）厘米。

8、5千克30克 =（   ）千克    8.2米 =（   ）米（   ）分米

9、在（  ）里填上“＞”“＜”或“=”。

2.75 × 1.02（  ）2.75            0.98 × 0.98（  ）0.98

1.8（  ）1.8 × 0.8                 0.26 × 1（  ）0.26

1.4×1.1（   ）1.4               2千米 56 米 （  ）2.56千米

10、整数部分是0的最小一位小数与整数部分是的0最大一位小数的积是（    ）。

11、0.8×5表示（       ）个（       ）的和是多少。

二、细心辨一辨，对的打“√”，错的打“×”。

1、三角形越大，内角和越大。                       （     ）

2、15乘一个小数，积一定比15小。                   （     ）

3、任何一个三角形至少有两个锐角。                 （     ）

4、两个完全相同的三角形一定能拼成一个平行四边形。        （     ）

5、直角梯形具有稳定性。                             （     ）

三、精心选一选 （10分）

1、小数部分最大的计数单位是（      ）。

A、1      B、十分之一     C、一百分之一      D、0

2、一个三角形的两条边分别是40厘米、50厘米，第三条边的长度只能选（       ）。  

A、80厘米     B、90厘米     C、10厘米   D、110厘米

3、两个小三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是（    ）。

A、360°     B、180°    C、90°   D、不能确定

4、大于1.5小于1.7的小数有（     ）。

A、1个     B、9个       C、0个    D、无数个

5、下面只有一组对边平行的是（     ）。

A、平行四边形　  B、直角梯形    C、长方形    D、四边形

四、考一考你的计算能力。 

1、直接写得数。

70×0.01=      2.515×10=       1.1×0.4 =        10 0.3 =    

6.5×0.2=      0.1×0.01=       0.87－0.6=        1.7×3 =

3、用竖式计算

1.24×1.5＝　　　   3.2×1.8＝　　  　     4.2×1.01=      

3、用你喜欢的方法计算。（能简算的要简算）

   0.78×7.2＋0.78×2.8             1.25×17×8     

5.6×4.5－4.6×4.5             6×（3.08－0.14）

五、在点子图上画一个平行四边形和一个直角梯形。

六、解决问题我能行。

1、一条水渠长68.55米，另一条水渠比它长25.48米，两条水渠共长多少米？

2、每千克橘子6.25元，妈妈买了14千克橘子，付出了100元，应找回多少钱？

3、在一个等腰三角形中，有两条边分别长7厘米和2厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？

4、一辆客车从甲城到乙城,每小时行85千米，全程用了6.5小时，求从甲城到乙城的距离？

5、梅花鹿高1.34米，长颈鹿的身高是梅花鹿身高的2.5倍还多0.82米，长颈鹿的身高是多少米？

参考答案

一、1、四 一  2、75  1000  3、锐  直  钝  4、28.5  

6、0.1  0.001  7、80° 37  8、5.03 8 2  

9、＞ ＜ ＞ ＝ ＞ ＜

10、0.09  11、5  0.8

二、×  ×  √  √  ×

三、B  A  B  D  B

四、1、0.7   25.15   0.44   10.3   1.3   0.001   0.27   5.1

2、1.86   5.76   4.242

3、7.8   170   4.5   17.64

五、略

六、1、68.55×2 25.48=162.58（m）

答：两条水渠一共长162.58米。

2、100-6.25×14=12.5（元）

答：应找回12.5元。

3、根据三角形三边的关系可知，另一条边长度为7厘米。

7 7 2=16（厘米）

答：这个等腰三角形的周长是16厘米。

4、85×6.5=552.5（千米）

答：甲城到乙城的距离是552.5千米。

5、2.5×1.34 0.82=4.17（m）

答：长颈鹿的身高是4..17米。

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北师大五年级下册期中知识点

第一单元《分数加减法》

1、复习三年级下册知识：

同分母分数的加减运算的方法：同分母分数相加减，分母不变，分子相加或相减。

2、异分母分数加减法的计算方法：分母不同的分数相加减，要先通分，化成相同的分母，再加减。

注意：计算结果能约分的要约成最简分数。

3、分数加减混合运算顺序与整数和小数的加减混合运算顺序相同。

计算加减混合运算时，方法要灵活处理，可以：

（1）先全部通分，再进行计算；

（2）也可先计算三个数中的两个数后，再进行通分的；

（3）也有先部分进行通分，算出部分的结果后，再第二次通分的。

注意：具体的题型具体分析，尽量使计算过程更加简便。

补充知识点：整数加减法运算定律在分数加减法中同样适用，见下图：

4、把分数化成小数的方法：通常是利用分数与除法的关系，用分子除以分母来得到。

注意：对于某些分数也可以将它化为分母是10、100、1000之类的分数，然后再直接写成小数形式。例如：

5、常见分数和小数的互化：

第二单元《长方体（一）》

1、长方体、正方体各自的特点：

	顶点 个数	面			棱
		个数	形   状	大小关系	条数	长度关系
长方体	8	6	都是长方形，特殊的有两个相对的面是正方形，其余四个面是完全一样的长方形。	相对的面是完全一样的长方形。	12	可以分为三组，相对的棱平行且相等。
正方体	8	6	都是正方形。	每个面都是正方形。	12	长度都相等。

  注意：正方体是特殊的长方体。

2、长方体的棱长总和=（长 宽 高）×4  或者  长×4 宽×4 高×4

正方体的棱长总和=棱长×12

灵活运用公式，能求出长方体的长、宽、高或是正方体的棱长：

长方体：长 宽 高=长方体的棱长总和÷4     长=长方体的棱长总和÷4-宽-高

正方体：棱长=正方体的棱长总和÷12

3、了解长方体和正方体的平面展开图；了解正方体平面展开图的几种形式，并以此来判断。

正方体展开规律（四类）

第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种：

第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种：

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种：

第四类，两排各三个，只有一种：

4、长方体的表面积是指六个面的面积之和。

长方体表面积=（长×宽 宽×高 长×高）×2

正方体表面积=边长×边长×6

5、露在外面的面的个数：有两种常见的观察方法。

   法一：看每个纸箱露在外面的面，再加到一起；

法二：分别从正面、上面、侧面进行不同角度的观察，看每个角度都能看到多少个面，再加到一起。

例如：如图，4个棱长都是10厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是多少？

        解：首先应找出有多少个面露在外面：

如果用法一的方法来找：3 1 2 3=9（个）；

如果用法二的方法来找：从上面看有3个面，从右侧面看有2个面，从正面看有4个面，共有3 2 4=9（个）。

     因为每个面都是面积相等的正方形，所以露在外面的面积=10×10×9=900（厘米²）

             答：露在外面的面积一共是900平方厘米。

6、发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面数的变化规律，采用列表法来找规律，例如：

第三单元《分数乘法》

1、分数乘整数的意义比起整数乘整数的意义，它有了进一步的扩展，分数乘整数的意义包括两种情况：

（1）同整数乘法的意义相同，即求相同加数的和的简便运算。

（2）是求一个整数的几分之几是多少。

2、分数乘整数的计算方法：（1）分母不变，分子和整数相乘的积作分子；（2）能约分的最好先约分。

3、打折的含义，例如：九折，是指现价是原价的 。
4、分数乘分数的计算方法：分子相乘做分子，分母相乘做分母，能约分的最好先约分。计算结果必是最简分数。

5、比较分数相乘的积与每一个乘数的大小：

（1）真分数相乘：积小于每个乘数；

（2）真分数与假分数相乘：积大于真分数，小于假分数。

6、认识单位“1”： 也称整体“1”， 把一个完整的量（比如一段路程、一项工程、一筐苹果、一本书、一段时间等）或一个数（正数）视为一个整体或一个单位，可记为“1”。

例如：教室里男生人数是总数的：把教室里的总人数当作单位“1”；

      教室里男生人数占女生人数的：把教室里的女生人数当作单位“1”；

注意：要找出被当作单位“1”的量，必须首先找到“关键句”，就是有“分率（后面没带有单位的几分之几）”的句子。这样的句子结构往往是：谁“占”（或“是”、“相当于”、“正好”等）谁的几分之几，其中“的几分之几”左边的“谁”就是单位“１”。因此，这个方法可以简单概括为：找单位“１”就是看“的”字左边的量。

7、一个数乘以小于1的分数，所得乘积小于原数（简称：小小）

一个数乘以大于1的分数，所得乘积大于原数（简称：大大）

第四单元《长方体（二）》

1、体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。

   容积：容器所能容纳物体的体积叫做物体的容积。

2、常用单位 ：体积单位：米³ (m³)     分米³ (dm³)        厘米³ (cm³) 

              容积单位：升(L)       毫升(ml) 

    补充知识点：冰箱的容积用“升”作单位；

我们饮用的自来水用“立方米”作单位。

单位换算：（相邻单位之间的进率为1000）

（小单位化成大单位要除以进率，大单位化成小单位要乘以进率。

  可以概括为：小化大除一下，大化小乘一下）

1米³＝1000分米³       1分米³＝1000厘米³    1升＝1000毫升    1升＝1分米³    1毫升＝1厘米³

单名数与复名数之间的互化：

单名数：由一个数和一个单位名称组成的名数叫做单名数。

复名数：由两个或两个以上的数及单位名称组成的名数叫做复名数。

复名数化为单名数：8米³20分米³＝8020分米³=8.20米³

单名数化为复名数：3800毫升=3升800毫升    25.7立方分米=25立方分米700立方厘米

3、长方体的体积=长×宽×高=a×b×h   

正方体的体积=棱长×棱长×棱长=a³

 补充： 长方体（正方体）的体积=底面积×高=S×h   

长方体（正方体）的体积=横截面面积×长

4、灵活运用长方体（正方体）的体积公式，如：长方体的高=体积÷长÷宽

5、不规则物体体积的测量方法：

方法一：将不规则物体投入有一定量水的长方体容器中，测量长方体的长和宽以及水位升高了多少，然后把数据代入到长方体的长×宽×水位升高高度中，即得到不规则物体的体积。

方法二：将不规则物体投入装满水的容器中，将溢出的水倒入长方体容器中，测量长方体的长、宽以及水位高度，然后把数据代入到长方体的长×宽×水位高度中，即得到不规则物体的体积。

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北师大六年级下册期中知识点

第一单元、圆柱和圆锥

一、面的旋转

1、“点、线、面、体”之间的关系是：点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。 2、圆柱的特征：

（1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆。

（2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。

（3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。

3、圆锥的特征：

（1）圆锥的底面是一个圆。

（2）圆锥的侧面是一个曲面。

（3）圆锥只有一条高。

二、 圆柱的表面积

1、沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）。 （如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）

2、.圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示为：S侧＝ch。

3、圆柱的侧面积公式的应用：

（1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ch；

（2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝πdh；

（3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝2πrh

4、圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：

S表=S侧 2S底   或      S表=2πrh 2πr2 

5、圆柱表面积的计算方法的特殊应用：

（1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。

（2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。

三、 圆柱的体积

1、圆柱的体积：一个圆柱所占空间的大小。

2、圆柱的体积＝底面积×高。如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高， 那么V＝Sh。

3、圆柱体积公式的应用：

（1）计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：V＝Sh。

（2）已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V＝πr2h；

（3）已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：V＝π(d÷2)2h；

（4）已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：V＝π(C÷π÷2)2h；

4、圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。

5、圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。

四、圆锥的体积

1.     圆锥只有一条高。

2.     圆锥的体积＝1/3×底面积×高。

如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为： V=1/3Sh

3.     圆锥体积公式的应用：

（1）求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用V=1/3Sh

（2）求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用1/3πr²h

（3）求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用1/3π(d÷2)2h

（4）求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，可以运用1/3π(C÷π÷2)2h

第二单元、比例

1、 比例：表示两个比相等的式子叫做比例。

2、 比例中各部分的名称

组成比例的四个数，叫做比例的项；两端的两项叫做比例的外项；中间的两项叫做比例的内项。

3、 比例的基本性质

在比例里，两个外项的积等于两个外项的积。

4、 判断两个比能否组成比例的方法

（1） 求比值；

（2） 化简比；

（3） 比例的基本性质

5、 解比例的方法

根据比例的基本性质解比例。先把比例写成两个外项的积的等于两个内项的积的形式（即方程），再通过方程求未知项的值。如x：6=2:8，可以先写成8X=2×6 ，再解方程。

6、 比例尺

图上距离和实际距离的比叫作这幅图的比例尺。

比例尺是一个最简单的整数比，它没有计量单位，也不能是一个具体的数。

比例尺=图上距离÷实际距离；

图上距离=实际距离×比例尺；

实际距离=图上距离÷比例尺

7、 比例尺的分类：

比例尺根据实际距离是缩小还是扩大，分为缩小比例尺和放大比例尺。

根据表现形式的不同，比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。

8、 已知比例尺和图上距离求实际距离，可以根据比例尺的意义用图上距离直接乘（除以）缩小（放大）的倍数。也可以用除法计算，即图上距离÷比例尺＝实际距离。一定注意结果要换算成合适的单位。

9、 前项为1的比例尺即缩小比例尺，就是把实际距离缩小到原来的几分之一画在图上，所以求图上距离可以用实际距离除以缩小的倍数。也可以直接用实际距离乘比例尺。一定注意单位的换算。

10、 求比例尺就是求图上距离和实际距离的比，单位不同要换算成统一单位后再进行计算。

11、根据比例尺画图时，要先根据实际距离与纸张的大小确定出平面图的比例尺，再根据

比例尺求出图上距离，根据图上距离即可以画出相应的平面图，最后再在平面图上标明比例尺就可以了。

12、图形的放大和缩小：按一定的比例把图形放大或缩小，是把图形的各边放大或缩小。

图中的各边与实际中相对应的各边的比相等。这样放大或缩小后的图形与原图形的形状一样，不会改变。

第三单元、 图形的运动

1、 图形变换的基本方法：平移、旋转、轴对称。

2、平移二要素：方向、距离。

3、旋转三要素

（1） 旋转点：物体旋转时所绕的点（或轴）就是旋转点。

（2） 旋转方向：钟表中指针的运动方向称为顺时针方向；与钟表中指针的运动方向相反

的方向称为逆时针方向。

（3） 旋转角度：旋转前后对应线段的夹角。

4、轴对称一要素：对称轴

5、图形旋转的特征：

图形旋转后，形状、大小都没有发生变化，只是位置变了。

6、图形旋转的性质：

图形绕某一点旋转一定的度数，图形中的对应点，对应线段都旋转相应的度数，对应点到旋转点的距离相等，对应角相等。

第四单元、正比例和反比例

1、变化的量

生活中存在着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。

2、正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：x/y=k（一定）。

3、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，如被减数与差，正方形的面积与边长等。

4、正比例的图像是一条直线。

5、反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：x·y=k（一定）。

6、判断两个量是不是成反比例：要先想这两个量是不是相关联的量；再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定；最后作出结论。

7、当两个变量成反比例关系时，所绘成的图像是一条光滑曲线。

8、一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像。

练习题

一、填一填。

1. 4.6m²＝(　　　)dm²　　　7.08 L＝(　　　)mL

7.05 m³＝(　　)m³(　　)dm³

 3.一个圆锥和一个圆柱等底等高，它们的体积和是64 cm³，圆柱的体积是(　　　　)。

 4.一个底面周长为12 cm的圆柱的侧面展开后是一个正方形，这个圆柱的高是(　　)cm，这个正方形的面积是(　　)cm²。

 5.一幅图的比例尺是。A，B两地相距140 km，画在这幅图上应是(　　)cm。

 6.出勤率一定，出勤人数和应出勤人数成(　　)比例；圆的直径一定，圆周率和周长(　　)比例。

 7.一个半径是5 cm的圆，按4∶1放大，得到的图形的面积是(　　)cm²。

 10.把一根圆柱形木料沿圆截面截去3 cm，表面积减少18.84 cm²，那么截去部分的体积是(　　)cm³。

 11.一个直角三角形的两条直角边分别是4 cm和3 cm，以4 cm的边为轴旋转一周，得到的图形是(　　　　)，体积是(　　　　)。

二、判一判。

 1.在同一时间，同一地点(午时除外)，竿高和它的影长成正比例。

(　　)

 2.正方体一个面的面积和它的表面积成正比例。    (　　)

 4.三角形的面积一定，它的底与这个底边上的高成正比例。(　　)

 5.长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积都等于底面积乘高。(　　)

 6.圆柱的高扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的2倍。(　　)

三、选一选。

 1.将一个棱长为4 dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，体积是(　　)dm³。

A．50.24    B．100.48    C．64    D．200.96

 2.一个机器零件的实际长度是图纸上长度的1%，该图纸的比例尺是(　　)。

A．1∶100    B．100∶1    C．1∶10000   D．10000∶1

 3.如果把一个圆柱的底面积扩大到原来的2倍，高不变，它的体积就(　　)。

A．扩大到原来的2倍    B．扩大到原来的4倍  

C．扩大到原来的6倍    D．不变

 4.用4，8，12，24组成比例，不正确的是(　　)。

A．8∶12＝24∶4    B．4∶8＝12∶24  

C．12∶4＝24∶8    D．24∶12＝8∶4

 5.(　　)中的两个量不成正比例。

A．在同一个正方形中，正方形的周长和边长

B．一箱苹果，吃掉的个数和剩下的个数

C．长方体的底面积一定，高和体积

D．订阅某期刊的份数一定，单价和总钱数

6.用两根完全相同的圆柱形木料分别做成右图中甲、乙两个模型(图中阴影部分所示)，甲和乙的体积相比(　　)。

A．甲的体积大  B．乙的体积大

C．甲和乙的体积相等   D．无法比较

四、算一算。

 1.解方程。

2.按要求计算。(单位：cm)

(1)求体积。　　　　　　　　　　　　     (2)求表面积。C＝6.28

五、操作题。

 1.将图形A绕点O顺时针旋转90°得到图形B。

 2.将图形B向右平移6格得到图形C。

 3.以直线m作为对称轴，作图形C的轴对称图形，得到图形D。

 4.按2∶1放大图形A，得到图形E。

六、解决问题。

 1.在一幅地图上，量得甲、乙两地距离是4 cm，乙、丙两地距离是7.2 cm，已知乙、丙两地实际距离是36 km，求甲、乙两地实际距离。

 2.某工程队铺设输油管道，每天铺设24 m，60天可以铺完，如果每天多铺6 m，多少天可以铺完？

 3.一个底面半径为10 cm的圆柱形水桶中装有水，把一个底面半径为5 cm的圆锥形铅锤浸没在水中后，水面高度上升了1 cm，且没有水溢出，铅锤的体积是多少立方厘米?

 4.甲、乙两地相距8000 m，小刚和小强同时从甲地出发到乙地，小刚和小强的速度比是4∶3，小刚到达乙地时，小强离乙地还有多少米？

 5.A，B两城相距240 km，四种不同的交通工具从A城到B城的速度和所用的时间情况如下表，请把下表填写完整并回答问题。

	轿车	豪华大客车	货车	自行车
速度/(km/h)	120		60
时间/h		3		12

(1)不同的交通工具在行驶这段路程的过程中，哪个量没有变？

(2)速度和所用的时间成什么比例？为什么？

(3)如果轿车要2.5 h行完全程，那么每时应行驶多少千米？

6．下图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个圆柱形油桶(接头忽略不计)，求这个油桶的体积。

参考答案

一、1.460　7080　7　50　2.6　2　15

3．48 cm³　4.12　144　5.3.5

6．正　不成　7.1256　8.9∶10

9．正　反　10.9.42　11.圆锥　37.68 cm³

二、1.√　2.√　3.√　4.×　5.×　6.×

三、1.A　2.B　3.A　4.A　5.B　6.C

四、1.略

3.14×(6÷2)²×8＝226.08(cm³)

37.68＋226.08＝263.76(cm³)

(2)6.28÷3.14÷2＝1(cm)

3.14×1²×2＋6.28×5＝37.68(cm²)

五、

六、1.解：设甲、乙两地实际距离是x km。

x∶4＝36∶7.2　

x＝20

答：甲、乙两地实际距离是20 km。

2．24×60÷(24＋6)＝48(天)

答：48天可以铺完。

3．3.14×10²×1＝314(cm³)

答：铅锤的体积是314 cm³。

4．8000÷4×3＝6000(m)

8000－6000＝2000(m)

答：小强离乙地还有2000 m。

5．80　20　2　4

(1)路程是240 km这个量没有变。

(2)速度和所用的时间成反比例，因为速度×时间＝路程，路程一定。

(3)240÷2.5＝96(km)

答：每时应行驶96 km。

6.8.28÷(1＋3.14)＝2(dm)

3.14×(2÷2)²×(2×2)＝12.56(dm³)

答：这个油桶的体积是12.56 dm³。