1901年秋天，一个年轻人面容忧郁地走在剑桥校园，他就是伯特兰·罗素。正为昨晚得出的吊诡结论而困惑的他，试图做出一个至少让自己满意的解释。前一晚，这个剑桥才子发现了一个关于集合的悖论：设性质P（x）表示“x不属于x”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说A={x|x不属于x}。那么问题来了：A属于A是否成立？若A属于A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A；若A不属于A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A又属于A。 您是不是看得有些绕？没关系，接下来咱们再看一个通俗的版本： 有位怪脾气理发师，他只为“不给自己刮脸的人”刮脸，不为“给自己刮脸的人”刮脸。可对于他本人，就出现问题了。如果他不为自己刮脸，他就是“不给自己刮脸的人”，就要为自己刮脸。而如果他为自己刮脸呢？他就属于“给自己刮脸的人”，就不该为自己刮脸。这样一来，理发师既不能属于“给自己刮脸的人”，又不能属于“不给自己刮脸的人”。 罗素发现了集合论的这个漏洞，而这个漏洞很可能无法补救！ 在19世纪下半叶，康托尔创立集合论。理论开创伊始，受到各个学派的抨击反对，康托尔本人也因此变得癫狂。但不久之后，集合论广泛的应用和其天然基础性的地位使得它成为数学大厦的基石。希尔伯特甚至乐观地认为，整个数学学科都可以在集合论的基础上通过演绎推理建立。 而罗素悖论似乎宣布：数学大厦将在这代学人面前崩塌了！ 消息一出，数学界立马陷入恐慌。罗素和合作者怀特海的《数学原理》为此延期发表。许多同时代的数学家甚至悲观地表示，我们精心建构的大楼，可能从根基就出了问题。与此同时，学界也在积极寻求解决补救之道。 罗素日后的学生、大名鼎鼎的维特根斯坦在《逻辑哲学论》中给出了解决方案。然而他的立足点是哲学而非数学的形式推理框架。 真正第一个提出数学化解决方案的是策梅罗，他开创性地提出了一套集合公理，能够证明罗素悖论在这套公理下得以规避。困扰了数学界将近半个世纪的问题，最终在两代学者的努力下得到解决。 （本栏长期征集“日知录”三字篆刻，投稿邮箱：rizhilu999@163.com） |
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