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| [第6讲]圆（下） |
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圆中的综合问题
【例4】⑴(2010通州一模)如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为()
A．6cm Bcm
C．8cm Dcm
⑵(2010房山二模)将圆柱形纸筒沿AB剪开铺平，得到一个矩形(如图)。如果将这个纸筒沿线路B→M→A剪开铺平，得到的图形是()
A．平行四边形
B．矩形
C．三角形
D．半圆
⑶(2010昌平二模)如图，将半径为1的圆形纸板，沿长、宽分别为8和5的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长度是()
A．13 B．26
C．13＋π D．26＋2π
⑷(2010延庆二模)如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得图形P3，P4，…，PnPn的面积为Sn，
试计算求出＝；
并猜想得到＝()
【例5】(2010深圳)如图，以点M(-1，0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F。
⑴请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；
⑵如图，弦HQ交x轴于点P，且DP∶PH＝3∶2，求cos∠QHC的值；
⑶如图，点K为线段EC上一动点(不与E、C重合)，连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N。是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由。
拓展提高
【例6】⑴阅读理解：
①如图在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离。
②如图，若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD
此为托勒密定理。
⑵知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图，已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点。求证：PB＋PC＝PA。
②根据⑵①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120度)的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在是任取一点P′连结P′A、P′B、P′C、P′D，易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋(P′B＋P′C)＝P′A＋；
第三步：请你根据⑴①中定义，在图中找出△ABC的费马点P，并请指出线
段的长度即为△ABC的费马距离。
⑶知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水。已知三村庄A、B、C构成了如图所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°)，现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值。
测试题
演练1⑴(2010平谷一模)如图，已知是以数轴的原点为圆心，半径为的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是
⑵(2009浙江舟山)如图，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，于点，交半圆于点已知，设，，则关于的函数解析式是____________
演练2(2010东城二模)如图，正方形OA1B1C1的边长为2，以O为圆心、OA1为半径作弧A1C1交OB1于点B2，设弧A1C1与边A1B1、B1C1围成的阴影部分面积为；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心、OA2为半径作弧A2C2交OB2于点B3，设弧A2C2与边A2B2、B2C2围成的阴影部分面积为；…，按此规律继续作下去，设弧与边、围成的阴影部分面积为则。
演练3(2009延庆二模)
⑴求证：是的切线。
⑵若点是劣弧上一点，与相交于点，且的面积为，，求的面积。
演练4(2010湖南邵阳)阅读下列材料，然后解答问题
经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形
如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON＝90°将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，分别与正方形ABCD的边交于点G、H设由OE、OF、及正方形ABCD的边围成的图形(阴影部分)的面积为S
⑴当OM经过点A时(如图①)，则S、S1、S2之间的关系为：(用含S1、S2的代数式表示)；
⑵当OM⊥AB于G时(如图②)，则⑴中的结论仍然成立吗？请说明理由；
⑶当∠MON旋转到任意位置时(如图③)，则⑴中的结论仍然成立吗？请说明理由
答案
【解析1】且。
【解析2】。
【解析3】
∵，，
，
又∵在中，
∴，是的切线。
⑵∵，，，
是的直径，，
，，
，
又，。
【解析4】⑴。
⑵成立．。
⑶提示：连接、。
易证，
∴
∴。
F
E
F
E
F)
(E)
H
图①
圆（下）
G
H
G
N
M
N
M
N
M
O
O
O
B
A
B
A
C
C
D
D
D
C
B
A
图②
图③
1
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