【例4】(江苏中考)已知二次函数的图象如图所示。
⑴求二次函数的解析式及抛物线顶点的坐标；
⑵若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q。当点N在线段BM上运动时(点N不与点B，点M重合)，设OQ的长为t，四边形
NQAC面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
⑶在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑷将△OAC补成矩形，使得△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程)。
【例5】(2009四川成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝a(x＋1)2＋c(a＞0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y＝kx－3，与x轴的交点为N，且。
⑴求此抛物线的函数表达式；
⑵在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
⑶过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q。若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?
测试题
演练1在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点等腰直角三角板的顶点与点重合，如图1所示把三角板绕着点顺时针旋转，旋转角度为，使点恰好落在上的处，如图2所示
⑴求图1中的点的坐标；
⑵求的值；
⑶若二次函数的图象经过⑴中的点，判断点是否在这条抛物线上，并说明理由
演练2(2009平谷一模)如图，点，都在反比例函数的图象上
⑴求的值；
⑵如果为轴上一点，为轴上一点，以点为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式
答案
【解析1】直线的解析式为，交轴于点，交轴于点，
点的坐标为，点的坐标为
∵等腰直角三角板的顶点与点重合，
，
过点作于，
，
点的坐标为
⑵∵，，，。
过点作于，。
∵在中，，，
。∴。
又，，
。
⑶判断：点在直线上
理由：点在直线上，
设点的坐标为
∵
解方程，得，（不合题意，舍去）
点的坐标为
又二次函数过点，
。
∴二次函数的解析式为
把代入，得，
点在这条抛物线上
【解析2】由题意可知：，解得
∴，，。
⑵存在两种情况：如图
当点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上时，
设点坐标为，点坐标为
∵四边形为平行四边形，
线段可看作由线段向左平移个单位，再向下平移个单位得到的（也可看作向下平移个单位，再向左平移个单位得到的）
由知点坐标为，点坐标为，
点坐标为，点坐标为，
设直线的函数表达式为，
把代入，解得
∴直线的函数表达式为
②当点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上时，
设点坐标为，点坐标为
∵，
，四边形为平行四边形
∴点、与线段、关于原点成中心对称
∴点坐标为，点坐标为
设直线的函数表达式为，
把代入，解得，直线的函数表达式为
所以，直线的函数表达式为或
期末试卷
(考试时间120分钟满分120分)
一、填空题（共10道题，每小题3分，共30分）
1．2的平方根是_________。
2．分解因式：x－x＝__________。
3．函数的自变量x的取值范围是__________________。
4．如图，⊙O中，的度数为320°，则圆周角∠MAN＝____________。
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6cm，则等腰梯形ABCD的面积为_____cm。
6．通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是_______元。
7．如图是由棱长为1的正方体搭成的积木三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是______。
主视图左视图俯视图
8．已知，。
9．如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm。
10．将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图示)，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm。
二、选择题A，B，C，D四个答案中，有且只有一个是正确的，每小题3分，共18分
11．下列运算正确的是
A．B．C．D．
12．化简：的结果是
A．2B．C．D．
13．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝
A．B．C．D．
14．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是
A．±B．4C．±或4D．4或－
15．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为
A．B．C．D．不能确定
16．已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形的面积是12，则k的值为
A．1或－2B．2或－1C．3D．4
三、解答题（共9道大题，共72分）
17．6分解不等式组
18．6分如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
19．6分如图是我市某校八年级学生为玉树灾区捐款情况抽样调查的条形图和扇形统计图
求该样本的容量；
在扇形统计图中，求该样本中捐款15元的人数所占的圆心角度数；
若该校八年级学生有800人，据此样本求八年级捐款总数
20．6分如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线
21．7分黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元.公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆？
22．6分甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数
求满足关于x的方程有实数解的概率
⑵求中方程有两个相同实数解的概率
23．9分如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长
24．11分某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v米/秒与时间t秒的关系如图a，A10，5，B130，5，C135，0
求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；
计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度时间）；
如图b，直线x＝t（0≤t≤135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；
由，直接猜出在t时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系
图a图b
25．15分已知抛物线顶点为C1，1且过原点O过抛物线上一点Px，y向直线作垂线，垂足为M，连FM如图
⑴求字母a，b，c的值；
在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N1，t，使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由
代数几何综合初步（下）
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