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【试题1】已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O． （1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG； （2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG， ①求证：∠ODG=∠OCE； ②当AB=1时，求HC的长． 图文分析： （1）如下图示，可根据ASA证△DOG≌△COE，即可得到OE=OG. 答案如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OD=OC， ∴∠4=∠5=90°，∠3+∠2=90°， ∵DF⊥CE，∴∠1+∠3=90°， ∴∠1=∠2（同角的余角相等）， ∴△DOG≌△COE（ASA）， ∴OE=OG． 拓展： ①若E，G分别是直线OB，OC上的动点，如下图示：（结论仍成立） ②若将上述的条件“DF⊥CE”与结论“OE=OG”，结果如何？（试试看） （2）①如下图示，可通过SAS证△ODG≌△OCE，即可得到∠ODG=∠OCE． 答案如下： ∵OG=OE，OD=OC， ∠DOG=∠COE=90° ∴△ODG≌△OCE， ∴∠ODG=∠OCE． ②如下图示,由①得∠ODG=∠OCE,又∠CDO＝∠BCG＝450,得到∠6＝∠7. 进一步得到△CHE∽△DCH，由相似三角形的性质，可得到：EH：HC＝HC：CD，即HC2=EH·CD. 设CH=x， 则BH=1﹣x，可得方程x2=1﹣x， 反思：正方形、全等三角形、相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 下面是本人主编或编著的书(点击书名，打开对应书籍的相关说明、目录与样章)： 购买渠道:'微店'(打开相关文章，扫描文中的二维码进店购买). 提醒：任何淘宝网均无授权销售，请朋友们认清购买渠道． 请分享转发给需要的朋友，谢谢！ 【试题2】如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O． （1）若AP=1，则AE= ； （2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上； ②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长； （3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值． 【图文解析】 （1）如下图示， 不难证得∠1＝∠3，由tan∠1＝tan∠3可得：AE/PA＝PB/BC，即AE/1＝3/4，解得AE＝3/4.（当然也可通过两阴影部分的三角形相似去证也可，本质一样）. （2）①考虑到“四点共圆”有的教材（如人教版）不作为定理使用，所以此法只做简单说明。本文用“圆的定义”进行解析，如下图示： 根据“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上一半”可以得到：MA＝ME＝MP＝MO，所以A、P、O、E四点在同个圆M上，所以点O一定在△APE的外接圆上. 用“四点共圆”法不难得： ②首先要先确定“被动点O”因“主动点P”的运动所经过的路径是何种图形，然后再确定其所经过的路径长。 动中有“静”，此类最关键的解题思路是：应该想方设法找出与“被动点O”相关的“静”，其实由上小题，已经知道：O点在以EP为直径的圆上，因此可以利用“圆的相关性质”得到∠OAP(点P为“动”)=∠OEP=450(“静”)，如下图示， 由此可得到O点必在对角线AC上动，当点P从点A到点B的运动过程中，点O的运动范围应该是： 显然，应该是对角线AC的一半(可以由起点和终点对应的O点构成线段，得到答案)，值为2×根号2. （3）本题表面上与上题类似，其实不然，原因是此题中我们所需的点受多种因素(P、E、BC的中点M均为“连动”)，影响，不易找出相应的运动路径，但仍然是动中有“静”，“静”是MN(圆心到AB的距离——题中所要求的)的长与AE的长之间永远有“MN=0.5AE”这个关系。 虽然无法直接用几何办法找到运动路径为何，但可以通过相似、勾股、三角形函数的定义等建立函数关系(或者建立坐标系，动点设定为参数).同时与之相关联的一个重要条件“直角”，为此：
所以x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=1/2×1=1/2. 即△APE的外接圆的圆心到AB边的距离的最大值为1/2． (当然本题也可以建立坐标系，本质完全相同) 其实，本题的M点(△APE的处心M的运动路径是一条抛物线。 【反思】本题是典型的路径相关的试题，路径中的相关问题的两种常用解法(几何法，函数法)在本题都有体现，同时“直角”相关的常用辅助线，在中考中应用太常见了，务必熟练掌握。 变式推广：如果将本题中所含的“两正方形” 类似改为“两等边三角形”呢？改为“其他正多边形”呢？如下图示：
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