2019高考100题之033(抛物线1)

       分析：

      如上图，对于过抛物线y²=2px(p>0)焦点的弦，由抛物线定义可得其长为x₁+x₂+p(其中x₁,x₂为弦的端点的横坐标)，所以比用一般的弦长公式要快一点点，做法如下：

       该题也可以单纯从直线和曲线相交求弦长入手，不去在意直线是否过抛物线的焦点，做法如下：

       注意：直线l₁方程也可以设为y=k(x-1)，但是显然对于开口向左或者向右的抛物线，消去x会减少计算量，而且很多时候考查直线和开口向右的抛物线相交，斜率不存在也需要考虑，my=x-1就把斜率不存在的涵盖进去了，所以my=x-1要比y=k(x-1)的设法好一些。当然如果你对用纵坐标表示弦长公式不够熟练的话，消去x也的确比较危险。

       上述第一个做法只适合过焦点的弦，而第二个做法是通法。

       当然如果你积累的更多，能知道如下结论：

       倾斜角为θ的直线l过抛物线y²=2px(p>0)的焦点，与抛物线相交所得的弦长为2p/sin²θ(该结论的证明很简单，只要把上述计算|AB|过程中的1换成p/2即可，具体就不赘述了)。

       那么该题两个弦长之和就为4/sin²θ+4/cos²θ，然后通分利用二倍角公式，或者直接乘以sin²θ+cos²θ然后利用均值不等式，都可以很快得到最小值。

       所以解析几何想多得分，计算能力是一方面，平时多做多积累结论也是很重要的，当然前提是你能记得住，万一张冠李戴就麻烦了。