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初中数学培优 八年级上 第三讲 全等三角形(3个模型 截长补短)

2019-04-21  柳该升书馆

中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况,即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学,因此难度下降很大,属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降,因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。

我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生,她在初中排在年级前20名(年级总共500多学生),但是进入高中后感觉非常吃力,跟不上进度。和她交流后我一句话概括,现在的初中数学要求太低,难度太低。

本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题,难度高于中考的平均程度,差不多是重点高中的自招难度。

系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。

系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。

初中数学培优 八年级上 第三讲 全等三角形(3个模型 截长补短)

二、重点难点分析

1.能够完全重合的两个三角形全等,全等三角形对应边相等、对应角相等。

2.三角形全等的条件有:SAS(边角边)、SSS(边边边)、ASA(角边角)、AAS(角角边)。

3.角平分线上的点到角两边的距离相等,线段中垂线上的点到线段两端的距离相等。

4.找全等三角形的关键在于确定对应边、对应角。找对应边、对应角常用的方法有:公共边或公共角一般是对应边或角;

对顶角、角平分线、直角等得到的等角一般是对应角;

最大(或最小)的边或角是对应边或角;

对应边的夹角是对应角,对应角的夹边是对应边;

书写全等时顶点字母要对应,便于我们找对应的边和角。

5.注意边边角(两边及一角对应相等)不能判定两个三角形全等,这是本节内容的易错点。

6.注意借助常见的全等基本图形以及对称、平移、旋转等变换来确定图形中的全等三角形。

三、例题精选

例1 如图,已知点A,E,F,C在一条直线上,△AED △CFB,你能得出哪些结论?(答出5个即可,不需证明)

解答:AD=BC,AE=CF,DE=BF,∠DAE=∠BCF,∠AEF=∠CFB等等;

还可以证明△DEC和△BFA、△ACD和△CAB全等;

还可以证明:AD∥BC、AB∥CD、DE∥BF等等。

带有三角形全等符号'≌'时,对应的字母必须写在对应的位置上,因此题目中△AED △CFB本身又隐含着对应的关系。

例2 如图,已知点B,F,C,E在同一直线上,并且BF=CE,∠B=∠E

(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线),使得△ABC △DEF。你添加的条件是:

(2)添加了条件后,请证明△ABC △DEF.

这个题目的易错点就是增加AC=DF,因为SSA不能证明两个三角形全等(虽然大部分情况下是可以证明这点的,可以看我发的相关视频)。

根据全等的判断法则,进行添加即可。比如我想用AAS,那么已经有一组对应角相等,我可以设∠A=∠D。

其他的自己尝试添加。

例3、如图,点C在线段AB上,AD//EB,AC=BE,AD=BC.CF平分∠DCE.求证:

(1) △ACD △BEC;

(2) CF⊥DE。

证明:(1)我们用分析法,要证明△ACD △BEC,可以根据各种判定法则,题目已知AC=BE,AD=BC,那么我们只要证明这对应两条边的夹角相等即可。即证∠A=∠B,由AD∥BE的已知条件可得。书写过程逆着写就行了。

(2)CF是角平分线,且要求证明的结论:CF⊥DE,那么我们应该联想到中垂线的相关性质。由(1)可知,CD=CE,且CF=CF,CF平分∠DCE,△DCF≌△ECF,从而得证。

写一个相关的证明格式,本讲其他题目以及以后章节的例题,为了省事,都是以分析为主。

∵△ACD △BEC,∴CD=DE;

∵CF平分∠DCE,∴∠DCF=∠ECF

在△DCF和△ECF中, ;∴△DCF≌△ECF(SAS)

∴∠DFC=∠EFC; 又∵∠DFC+∠EFC=180°(平角定义)

∴∠DFC=∠EFC=90°。

即CF⊥DE

例4. 如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连结CD,EB.

(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;

(2)求证:CF=EF。

解答:

(1)一一列举是件很难的事情,会漏掉,这属于开放性的探究题。一个有用的窍门就是仔细看图,有哪些三角形形状类似,先假定再找理由。

在不作辅助线的情况下,△ABE和△ADC、△BFE和△DFC;

(2)证法1:关键点:∠EAB=∠CAD=90°-∠DAB;可以证得△ABE≌△ADC,从而∠AEB=∠ACD;得∠DCF=∠BEF,又对顶角相等∠DFC=∠BFE,得△BFE≌△DFC,命题得证。

证法2:连接AF,可以证得直角△ADF≌直角△ABF,从而命题得证。

例5、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.

(1)当直线MN绕点C旋转到如图所示位置时,求证:DE=AD+BE ;

(2)当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交(交点不是AB中点)时,画出相应的图形,探求线段DE、AD和BE之间的等量关系,并写出关系式。

解答:

(1)这是一个模型:一线三等角模型,常考内容

如图中所示,∠1=∠2=∠3,那么∠ECB=∠DAC,∠DCA=∠CBE,△ADC∽△CBE(相似三角形),如果加上某条对应边相等,△ADC≌△CBE(本题AC=BC)

经过上面分析,命题得证。

(2)如图:

做这种题目,必须结合小题(1),再用刻度尺测量一下三条线段的长度,先猜测AD=DE+BE。

△ACD≌△CEB(为什么,自己思考)

AD=CE=CD+DE=BE+DE,得证。

例6

(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF= ∠BAD。求证:EF=BE+DF;

(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?

(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,且∠EAF= ∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明。

解答:

(1)求证两条线段之和等于第三条线段,或截长,或补短,统称为“截长补短法”,是初中几何常考内容。

这个题目是一个半角模型:∠EAF= ∠BAD。

半角模型的关键在于等量代换:∠BAE+∠DAF=∠EAF。

证法一:∠B=∠D=90°,则∠B+∠D=180°,这样等△ABE绕着A点旋转,使得AB和AD重合时,F、D、E1(E点旋转到E1)三点共线。

这样,△AEF≌△AFE1.从而命题得证。

证法二:延长FD到E1,使得DE1=BE,可以证得△ADE1≌ABE,再证△AEF≌△AFE1,于是命题得证。

(2)由题(1)的证明思路可知,结论成立。

(3)由图显然不成立,测量一下,可以发现图上BE>EF。猜测:BE=EF+DF。

因为AB=AD,所以截取BE1=DF(如果在E点侧截取,无法利用已知条件),由已知条件可以证得△ABE1≌△ADF。AF=AE1,∠FAD=∠BAE1.

由半角的等量代换,∠FAE1=∠BAF=2∠EAF,得∠EAE1=∠EAF,由SAS得△EAE1≌△EAF,证得EF=EE1,因此命题得证。

总结:通过此题,我们讲了截长补短法和半角模型。

当半角模型遇到正方形时,具有更多的特点:

(1)EF=DF+BE;△CFE的周长是正方形ABCD的一半;

(2)GH2=BG2+DH2;绕A旋转△ADH,AD和AB重合,H变换为K点,则BK=DH,GK=GH,BG⊥BK,由勾股定理:GH2=GK2= BG2+BK2= BG2+DH2

(3)AE和AF分别平分∠BEF和∠DFE;

(4)作AI⊥EF,则BE=EI,IF=DF,且∠IAE=∠BAE,∠DAF=∠FAI

四、练一练

1、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块(图中所标1,2,3,4),你认为将其中的哪一块带去,就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃?应该带()去。

A.第1块 B.第2块 C.第3块 D.第4块

2. 将两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点,那么不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等?为什么?

3..如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB于点E上,并且AE= (AB+AD),则∠ABC+∠ADC的度数为( )。

4.如图,AM是△ABC的中线,∠DAM=∠BAM,CD//AB。求证:AB=AD+CD.

5. 在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图1,当∠C=90°,AD为∠BAC的平分线时,在AB上截取AE=AC,连结DE,易证AB=AC+CD。

(1)如图2、当∠C≠90°,AD为∠BAC的平分线时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系?不需要证明,请直接写出你的猜想。

(2)如图3.当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并给予证明。

6、已知四边形ABCD中,AB=BC, ∠ABC=120, ∠MBN=60, ∠MBN 绕点B旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于点E,F.

(1)当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时(如图1),证明:AE+CF=EF;

(2)当∠MBN绕点B旋转到AE+CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需要证明。

解答:

1、选B。碎片2包括2个角和一条边的信息,根据ASA判定,可以唯一确定一个三角形。

2、全等的。

一般做法就是通过ASA证明全等,得到BF=BC,得AF=CD,对顶角相等,ASA证明全等。

我提供另外一个思路:两个全等的图形,在对应位置去掉同样大小和形状的区域,剩下部分肯定全等。即使这个区域是不规则的形状。

3、180°。

由AE= (AB+AD),出现 ,那么两边乘以2(这个是题目给的暗示,读懂了这个题目就非常简单)得2AE=AB+AD,由图,AB大于AE,所以AE大于AD;故在AD的延长线作AF=AE,由等量变换可得DF=BE,又由于AC平分∠BAD,得CE=CF,CF⊥AF,从而得△BEC≌△DFC。结果就出来了。

4、AD和CD在一个三角形中,如果截长的话,肯定无法构造全等三角形,所以要补短。

延长CD交AM的延长线为F,图略

由CD∥AB得,∠BAM=∠AFD=∠DAM,得AD=DF。又M是BC中点,CF平行AB,得CF=AB=DF+CD=AD+CD。得证。

5、这是一个两倍角模型的题目。

遇到两倍角的题目,可以利用小角构造一个等腰三角形,如图1,利用三角形外角等于不相邻的两个内角和,得∠AED=∠C。

再利用题目给定的已知条件证明。

解:(1)猜想:AB=AC+CD;

(2)猜想:AB+AC=CD,

证明:在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED,

∵AD平分∠FAC,

∴∠EAD=∠CAD.

在△EAD与△CAD中,AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,

∴△EAD≌△CAD.

∴ED=CD,∠AED=∠ACD.

∴∠FED=∠ACB,

又∠ACB=2∠B,∠FED=∠B+∠EDB,∠EDB=∠B,

∴EB=ED,

∴EA+AB=EB=ED=CD.

∴AC+AB=CD。

6、本题就是例题6,只不过没写明半角关系,通过具体的角度来体现。跟例题6解法一样。

答案略。

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