“荒谬艺术”与拓扑大数据

【老顾将于5月9号，北京时间晚8点，于Games Webinar 讲解“几何观点下的对抗生成网络”，敬请参加，欢迎批评指正。】

【欢迎广大同学申请哈佛大学AI博士后职位，有意者请和老顾直接联系，[e-mail]。】

艺术家们往往比常人更加敏感锐利，更能洞察庸常生活中的各种荒谬，并且更加激情澎湃。他们任凭想象力恣肆汪洋，用大胆直观的艺术形式来解释深邃的哲学内涵。很多杰出的“荒谬艺术”作品触目惊心，振聋发聩，令人无限深思。尤为奇妙的是，这些作品所表达的思想居然可以用严密的数学来描述，并且在现代科技的一些领域中，起到了关键的作用。同时，很多非常深奥晦涩的数学理论，在艺术表现形式下，变得直观易懂，直指人心。

虚拟与现实

埃舍尔(Maurits Cornelis Escher, 1898-1972)的很多作品脍炙人口，发人深省，于荒谬中见真理。

图1. Drawing Hands, Escher 1948.

埃舍尔的《绘画中的双手》（图1）描述了两只手彼此勾画，本来是纸面上的图画，跃然跳出纸面成为真实的双手，而衣袖和小臂依然停留在纸面之上。其实这幅图画表达了这样一个理念：虚拟的思想可以改变现实。这幅图非常恰切地描述了发生在金融市场上的情形，例如Token经济，虚拟货币。人们共同的信念塑造了经济的事实。当然，社会现实也反过来影响人们的信念。

图2. Print Gallery. Escher 1956.

埃舍尔的《画廊》（图2）更为抽象费解，在画廊中，一位青年在观赏墙壁上的一幅画，画中有一条大河，在河对岸有一座画廊; 在画廊中，一位青年在观赏墙壁上的一幅画，画中有一条大河，在河对岸有一座画廊......《画廊》描述了一个无限递归的结构，第一重结构描述了现实，第二重结构是一幅画，因而是虚拟结构，第三重结构是第二重结构中的一幅画，以此类推，直至无穷。这幅画天才地混淆了现实与虚拟，画中的画廊“流出”画面成为现实中的画廊。这幅画实际应用了曲面的共形变换，变换前的“正常”画面应该如（图3）所示。

图3. 变换前的《画廊》。

图4. Escher变换。

我们用图4来解释埃舍尔变换。左帧是老顾的办公室，桌子上放置了一个画框，里面贴了一张办公室的照片。照片的内部，有着一个画框，里面嵌套着第三级的画框......所有的画框交集是一个中心点，经过相似变换，我们可以将整个办公室的图像缩入到画框之中。这种相似变换构成一个群，整个平面去掉中心点，模掉这个变换群，商空间为一个拓扑轮胎曲面（torus），去心平面是轮胎曲面的覆盖空间。我们将轮胎曲面共形映射到自身，这一自映射诱导轮胎曲面的覆盖空间的自映射，其像为右帧图片。左帧封闭的画框被映射为右帧的无穷螺旋线，左帧现实和虚拟的分界线被打破，在右帧中现实和虚拟混为一谈。由于映射是共形的，局部形状被保持。

不可能图画

图5. Ascending and Descending 1960.

埃舍尔的另一杰作是《上升和下降》（图5），画中两队士兵在楼顶阶梯上迎面行进，左队士兵在不停地攀爬，右队的士兵在不停地下行，循环往复，永无止境。在现实生活中，所有的攀爬过程都会达到顶点，然后就是下降。这幅图局部看逼真合理，全局看却是无比荒谬，违背物理常识。这种局部合理，全局荒谬的现象在社会现实中、历史长河中比比皆是。

在很多工程领域，这种现象非常普遍，人们经常需要构造某种结构，局部非常容易构造，但是当从局部推广到全局，就会遇到难以意料的困难。例如几何辅助设计领域，局部构造样条曲面非常容易，但是构造覆盖整个曲面的全局光滑样条却具有本质困难；再如网格生成领域，局部构造规则化四边形网格非常简单，但是整个曲面四边形网格的自动生成非常困难。在数学中，在紧黎曼面的一个邻域上构造全纯函数非常容易，但是整个曲面上的全纯函数只能为常数。所有这些现象都表明某种全局存在性的内在障碍，对于这种全局障碍、这种局部和整体的内在关系的精确描述是拓扑学的核心问题之一。目前最为普适的理论当属层的上同调理论。

层的上同调

将埃舍尔的《上升和下降》加以简化，取其精髓，构造著名的不可能模型-tribar，如图6左帧所示。这一模型局部看非常合理，但是整体物理不可实现。我们下面用层的上同调来加以解释，由此我们看到上同调的真意。

图6. tribar模型，及其开覆盖。

Cech 复形 如图6右帧所示，我们去掉Tribar的背景，tribar被容纳于一个拓扑环带之中。然后，我们找到一族开圆盘，构成环带的有限覆盖，即；同时对于任意一点，覆盖此点的开圆盘有限。

我们为有限开覆盖构造所谓的Cech复形（complex）：

1. 对每个开集，构造一个0维的顶点；

2. 如果两个集合交集非空，加入一条1维的边;

3. 如果三个集合交集非空，加入一个2维的面;

4. 如果k个集合交集非空，加入一个k维的单形（simplex）。

在Cech复形上，我们定义边缘算子：，，等等。我们用和表示单形，来表示包含在的闭包里，，例如是的一个面。

图7. 局部观察的歧义性，表达为一个位似（三维相似）变换群。

胞腔层  如图7所示，我们透过每个开圆盘去观察，看到整个物体的一部分信息。从三维到二维的投影映射，使得对于三维深度信息的推断具有歧义性。如图，从中观察，物体和彼此相位似，，它们的投影同为，所有的位似变换构成一个阿贝尔群，每个元素是一个位似变换，由来表示，阿贝尔群为加法群。对于开覆盖中的所有开圆盘，我们都如此定义了位似变换（三维中的相似变换）群。每条边上可以类似定义相应的体似变换群；每个面上类似定义相应的体似变换群，等等。

Cech复形的每个单形上都配有一个阿贝尔群，这些群之间存在同态映射：如果则存在同态。同态满足复合律：如果，则。

层的上同调  这些阿贝尔群和群同态构成了Cech复形上的胞腔层（Cellular Sheaf），记成。为了统一符号，我们记群，群同态。层的一个n维上链（n-形式）就是为K的每一个n维单形指定一个元素。所有的n维上链构成一个空间，所谓的n维上链空间。我们可以定义上链空间为所有n维单形上的阿贝尔群的积，。由此得到上链复形：

这里上边缘算子定义为

.

这里是和的关联系数。如果一个n维上链（n-形式）满足，则我们说是一个n维闭形式；如果存在一个（n-1）维形式，满足，则我们说是一个n维恰当形式。根据定义，我们容易看出，即恰当形式必为闭形式；但反之，闭形式未必是恰当形式；两者的差别就是上同调群。

由此层的上同调群定义为：

.

图8. 局部相容性。

局部-全局一致性 局部观察到数据的全局一致性由层的上同调来刻画。如图8所示，我们从不同的开集观察物体。从中观察得到图像为，。假设存在一个物理真实的物体，在每个中的位似系数为，由此我们得到0-形式，。图中，中的点和中的点对应着物体上的同一点，我们在上定义此点的位似系数之比，由此得到1-形式。由以上构造，我们有。我们在考虑三个开集相交的情形，, 那么

更进一步，由于，上式等于

.

在实际情形中，在每个开集中直接确定位似系数非常困难，判断两个开集交集中位似系数的差异相对容易。局部合理等价于是闭形式，；全局合理等价于是恰当形式，。在Cech复形中，如果是闭形式，但是非恰当形式，则在任意能够缩成点的环路上积分都是0，但是在不能缩成点的环路上积分非0；如果是恰当形式，则在任意环路上积分都为0。

但我们将注意力集中在图8中的三个局部图像时，我们实际在判断是否是闭形式；当我们拉开距离，全局审视整个图像时，我们在判断是否是恰当形式。Tribar显示了一个闭但是非恰当1-形式，，因此产生强烈困惑：局部合理，全局荒谬。

如果相应问题的层上同调群都为0，，那么局部合理等价于全局合理。层的上同调群取决于Cech复形K和层的结构。

大数据分析

层的上同调理论为现代大数据分析提供了强有力的理论工具。我们以无线传感器网络（物联网）为例。每个传感器测量一个开集，对应Cech复形的顶点；如果两个传感器测量区域有交集，那么我们得到Cech复形的边；如果三个传感器测量区域有交集，那么我们得到Cech复形的面；等等。如此，我们构造了物联网覆盖区域的Cech复形K。

每个传感器能够测量的所有数据集合构成其对应的阿贝尔群，整个网络所测量的所有可能数据集合构成一个层。每个传感器的测量数据有噪音，我们得到1-形式。如果测量数据局部合理，那么为闭形式；如果测量数据全局合理，那么为恰当形式。一般而言，局部噪音不会强烈到影响全局拓扑条件，通过拓扑限制，我们可以有效地去除局部噪音。这一点和拓扑绝缘体的原理非常相近。

小结

在世界各国历史和社会现实中，局部合理、全局荒谬的现象屡见不鲜。在自然界和工程领域，某些结构的局部存在性和全局存在性问题具有着根本的重要性。层的上同调理论，为研究这一现象提供了强有力的理论工具。例如物联网的大数据分析，通讯纠错码的设计，数字几何的点云重建，计算机辅助几何设计中的样条空间分析，本质上都可以用层的上同调理论加以帮助分析。

每个人在规划自身的发展时候其实也面临着同样的问题，往往局部合理的途径会导致全局荒谬。如何抉择取舍，需要有博大的胸襟和长远的眼光，特别是特立独行的勇气。参透埃舍尔的艺术和嘉当的层上同调理论，会令人更加睿智深刻，勇往直前！

---