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三角形中的线段比问题是几何中常见的问题之一，求解的一般方法是运用相似三角形对应边成比例.这种解法常常需要添加平行线作为辅助线，不仅具有一定的难度，而且求解过程繁杂. 由于三角形具有稳定性，过三角形顶点的所有线段与三角形构成了一个平衡系统，在纵横交错的线段中，任何一条线段都犹如一根平衡的杠杆，每个点的受力大小都满足力学中的平衡原理．因此，根据杠杆平衡原理，把线段比转化为受力大小比，则解法十分巧妙，而且不需要添加任何的辅助线． 如图1，设AB是以O为支点的平衡杠杆，记点A、B、O的受力大小分别为fA、fB、fO，则有fO =fA+fB，且OA·fA＝OB·fB，因此可得： AO/OB= fB/fA（*）， 根据合比定理又可得： AO/AB= fB/fO（**）， AB/BO=fO/fA（***）． （*）、（**）、（***）式均表明：平衡线段的端点到支点的距离之比等于端点受力大小的反比． 下面举例说明这种方法的巧妙运用． 例1 如图2，△ABC中，D为BC的中点，F为AC上一点，且AF/FC=1/2，AD和BF相交于点E，则BE/EF= ，AE/AD= ． 分析：选择受力最小的一个点，设其受力大小为1，然后根据欲求的线段比，分别求出相关线段端点B、F、E的受力大小即可． 解：设fA=1，则由BD＝DC可知fC=fB=1，所以fD=fB+fC=1+1=2， 因为AF/FC=1/2，所以fA/fC=2/1，fA=2， 所以f,F=fA+fC=2+1=3，fE=fA+fD=2+2=4(或fE=fB+fF=1+3=4)， 所以BE/EF= fF/fB=3/1=3，AE/AD=fD/fE=2/4=1/2. 例2如图3，△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，BE的延长线交于AC于F．则AF/FC=_______，BE/BF= ． 解：设fC=1，则由D是BC的中点可知fB=fC=1， 所以fD=fB+fC=2， 因为E为AD的中点， 所以fA=fD=2， 所以AF/FC= fC/fA=1/2； 因为fE=fA+fD=2+2=4，fF=fE-fB=4-1=3， 所以BE/BF= fF/fE=3/4. 例3 如图4，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD、CE交于点F，如果BF/FD=5/4，CF/FE=2，则AE/EB= ，AD/DC= ． 解：因为BF/FD=5/4，故可设fB=4，fD=5， 所以fF=fB+fD=4+5=9， 因为CF/FE=2，所以fE=2fC……① 又因为fE+fC=fF=9……② 由①②，解得fC=3，fE=6， 所以fA=fD- fC=5-3=2， 所以AE/EB= fB/fA=4/2=2， AD/DC= fC/fA=3/2. 例4如图5，△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD/DC=2/3，AE/EC=4/5，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于F，则AF/FB=_______． 解：由BD/DC=2/3可设fB=3，fC=2，则fD=5， 由AE/EC=4/5= fC/fA=2/fA，得 fA=5/2， 所以AF/FB= fB/fA=3/(5/2)=6/5. 例5 如图6，设点O是△ABC内一点，AO、BO、CO的延长线分别交BC、CA、AB于D、E、F.如果AO/OD=3/2，BO/OE=2，则CO/OF=_______． 解：由AO/OD=3/2，可设fA=2，fD=3， 则fO=5，所以fB+ fE=fO=5， 由BO/OE=2，得fE/fB=2， 联立解之，得fB=5/3，fE=10/3， 所以fC= fE-fA =10/3-2=4/3，fF=fA+fB=2+5/3=11/3， 所以CO/OF= fF/fC=11/3：4/3=11/4. |
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