第七节抛物线
【考纲解读】
考点 考纲内容 5年统计 分析预测 抛物线 (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
(2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
（4）了解圆锥曲线的简单应用.
(5)理解数形结合的思想.
2013?新课标II.11;
2014?新课标I.10；II.10;
2016?新课标I.10;III.20;
2017?新课标I.10;II.16;III.20. 1.考查抛物线的定义；
2.考查抛物线的标准方程，结合抛物线的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；
3.考查抛物线的几何性质；
4.考查直线与抛物线、抛物线与椭圆的综合问题.
5.备考重点：
(1)掌握抛物线的定义、标准方程、几何性质；
（2）熟练运用方程思想及待定系数法；
（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题. 【知识清单】
1.抛物线的标准方程及几何性质
图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 对点练习：
【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为
(A)2(B)4(C)6(D)8
2.抛物线的定义及应用
平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
对点练习：
【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
对点练习：
【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10抛物线的标准方程及几何性质是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是
A．2B．1C．D．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线x2－y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为
A．y2=4xB．y2=8xC．x2=4yD．x2=8y
【1-3】已知抛物线的准线与圆相切，则的值为
A．B．1C．2D．4
上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.
【领悟技法】
1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
【】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()
A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）
A.B.C.D.
过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=
A．8B．10C．6D．4
【2017在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为.
【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则。该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
【】
抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线相交于两点两点，若，则抛物线的方程为
A.B.C.D.
【变式2】【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
考点3直线和抛物线的位置关系
【3-1】2017课标II，文12】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且,则到直线的距离为
A.B.C.D.
【3-2】【2017届浙江省温州市高三8月模拟】过抛物线的焦点的直线分别交抛物线于两点，交直线于点，若，则______________．
【3-3】【2017已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆
（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程
【综合点评】在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：
①焦点弦长②
③，其中|AF|叫做焦半径，④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。【】【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（）求（）求证：,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图
求菜地内的分界线的方程
菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值
【易错试题常警惕】
易错典例：求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。
易错分析：对直线和抛物线有一个交点理解有误
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的【2017如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．
的焦点坐标是()
(A)(0,2)(B)(0,1)(C)(2,0)(D)(1,0)
2．抛物线的焦点到准线的距离是()
(A)2(B)1(C).(D).
3．已知，为抛物线上异于原点的两个点，为坐标原点，直线斜率为2，则重心的纵坐标为（）
A.2B.C.D.1
4．设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点与焦点的距离为2，则（）
A.4B.4或-4C.-2D.-2或2
抛物线上的一点到轴的距离与它到坐标原点的距离之比为，则到点的焦点的距离是()
A.B.C.D.
设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PFx轴，则k=
（A）（B）1（C）（D）2
和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是()
A．B．C．D．的直线交抛物线于，两点，且，则（为坐标原点）的面积为（）
A．B．C．D．
4．【广东省珠海市2017届高三9月摸底考试】设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为A.B.C.D.
5.【2018届河南省名校联盟高三第一次段考】过抛物线（）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于，两点向轴引垂线交轴于，，若梯形的面积为，则（）
A.1B.2C.3D.4
已知圆的方程，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是()
A.B.C. D.
2．【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知曲线及点，若曲线上存在相异两点，其到直线的距离分别为和，则__________．
如图，过抛物线的焦点作直线与抛物线及其准线分别交于三点，若，则__________．
.【2016高考新课标1文数】在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
（I）求；（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．
（1）求抛物线的方程；（2）若，求的最小值．
12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）
1.【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】抛物线的焦点坐标是）
A.B.C.D.
2.【2018届新疆呼图壁县第一中学高三9月月考】抛物线的焦点坐标为（01），实数a的值等于）
A.4B.－4C.D.
3.【2018届江西省新余市第一中学毕业年级第二模拟】动点到点的距离比它到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（
A.B.C.D.
4.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）
A.4B.5C.6D.11
5已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，若，则）
A.B.C.D.
6．已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（）
A.B.C.D.
7．如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若，则（）
A.B.C.D.
8已知抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为（）
A.B.C.D.
在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）
A．B．C．D．
10.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）
A.B.C.D.
11.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的轴长的取值范围是（）
A.B.C.D.
中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）
A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线
二、填空题
13.【2017届浙江省高三上学期高考模拟】抛物线的焦点坐标是___________，准线方程是___________.
14.【2018届江苏省南京市溧水高级中学高三上学期期初模拟】已知点为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距离为5，则直线的斜率为.
中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为..
16.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷（一）】过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为抛物线的焦点，则的值为__________．
【2016高考浙江文数】如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.
（I）求p的值；（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
已知是抛物线的焦点，点是不在抛物线上的一个动点，过点向抛物线作两条切线，切点分别为.
（1）如果点在直线上，求的值；
（2）若点在以为圆心，半径为4的圆上，求的值.
，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.
（1）求点A，B的坐标；（2）求的面积.
20．【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．
设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）（II）设上两点关于轴对称直线与椭圆相交于点异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
22．【2016高考新课标3】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
第七节抛物线
【考纲解读】
考点 考纲内容 5年统计 分析预测 抛物线 (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
(2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
（4）了解圆锥曲线的简单应用.
(5)理解数形结合的思想.
2013?新课标II.11;
2014?新课标I.10；II.10;
2016?新课标I.10;III.20;
2017?新课标I.10;II.16;III.20. 1.考查抛物线的定义；
2.考查抛物线的标准方程，结合抛物线的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；
3.考查抛物线的几何性质；
4.考查直线与抛物线、抛物线与椭圆的综合问题.
5.备考重点：
(1)掌握抛物线的定义、标准方程、几何性质；
（2）熟练运用方程思想及待定系数法；
（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题. 【知识清单】
1.抛物线的标准方程及几何性质
图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 对点练习：
【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为
(A)2(B)4(C)6(D)8
【答案】B
和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
对点练习：
【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.
【答案】
【解析】
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
抛物线的标准方程及几何性质是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是
A．2B．1C．D．
【解析】当直线与抛物线相切于点时，到直线的距离最小，把代入
得，由于相切得，因此，此点到准线的距离为.
【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线x2－y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为
A．y2=4xB．y2=8xC．x2=4yD．x2=8y
【1-3】已知抛物线的准线与圆相切，则的值为
A．B．1C．2D．4
【解析】圆化为，与圆相切，，即.
【综合点评】1.在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2.标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.
【领悟技法】
1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
【】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()
A．y2＝9xB．y2＝6x
C．y2＝3xD．y2＝xC
【解析】如图，|BC|＝2|BF|，
由抛物线的定义可知BCD＝30°，
|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝6．
即F为AC的中点，
p＝|FF|＝|EA|＝，故抛物线方程为y2＝3x．
抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），
过P作PN垂直直线x=﹣1于N，
由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，
设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，
解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，
所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，
所以∠NPA=45°，
=cos∠NPA=．
故选B．
过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=
A．8B．10C．6D．4
答案
【解析】由于，因此，根据焦点弦公式.
【2-2】【2017在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为.
【答案】
【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则。
【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，
．已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分m＝或m＝讨论的等式，求离心率取值范围，需寻求关于的不等式关系，并结合求．
注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
【】抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线相交于两点两点，若，则抛物线的方程为
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设直线方程为，代入抛物线可得，记，则由抛物线的定义可得，则抛物线方程为，应选答案C。
y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
【答案】
【解析】
2017课标II，文12】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且,则到直线的距离为
A.B.C.D.
【答案】C
的焦点的直线分别交抛物线于两点，交直线于点，若，则______________．
【答案】0
【解析】直线是抛物线的准线，如图设在直线上的射影分别是，，，，，因为，所以，，又，所以．
【3-3】【2017已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程
【答案】(1)证明略；
(2)直线的方程为，圆的方程为.
或直线的方程为，圆的方程为.
【解析】
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
【综合点评】在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：
①焦点弦长
②
③，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。【】【2017）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（）求
（）求证：
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点的坐标，证明.
【变式2】【2016高考上海理数】有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图
求菜地内的分界线的方程
菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值
【答案】（1）（）．（2）五边形面积更接近于面积的“经验值”．
【解析】（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．
【综合点评】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想
【易错试题常警惕】
易错典例：求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。
易错分析：对直线和抛物线有一个交点理解有误以及．
正确解析：1.当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。
2.当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。
3.一般地，设所求的过点的直线为,则，
令解得k=,∴ 所求直线为
综上，满足条件的直线为：
温馨提示：直线和抛物线有一个交点有两种情况：相切以及平行于对称轴．
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的【2017如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
试题解析：
（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是，因为|PA|==
|PQ|=，所以|PA||PQ|=
令，因为，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．
2018年高考数学的焦点坐标是()
(A)(0,2)(B)(0,1)(C)(2,0)(D)(1,0)
【答案】D
【解析】由题意，的焦点坐标为，故选D.
2．抛物线的焦点到准线的距离是()
(A)2(B)1(C).(D).
【答案】D
【解析】由抛物线标准方程中的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又，故选.3．已知，为抛物线上异于原点的两个点，为坐标原点，直线斜率为2，则重心的纵坐标为（）
A.2B.C.D.1
【答案】C
【解析】试题分析：设，则，因此重心的纵坐标为，选C.
4．设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点与焦点的距离为2，则（）
A.4B.4或-4C.-2D.-2或2
【答案】D
【解析】由题意可设抛物线方程为,由抛物线定义得,所以选D.
抛物线上的一点到轴的距离与它到坐标原点的距离之比为，则到点的焦点的距离是()
A.B.C.D.
【答案】D
设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PFx轴，则k=
（A）（B）1（C）（D）2
【解析】因为抛物线的焦点，所以，又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D.
2．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是()
A．B．C．D．是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则动点到的距离等于，则动点到直线和直线的距离之和的最小值，即焦点到直线的距离，所以最小值是，故选
3．【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考】过点的直线交抛物线于，两点，且，则（为坐标原点）的面积为（）
A．B．C．D．
【答案】D.
【解析】由题意得，，，∴，
∴：，令，∴，∴，故选D.
4．【广东省珠海市2017届高三9月摸底考试】设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为A.B.C.D.
【答案】.
5.【2018届河南省名校联盟高三第一次段考】过抛物线（）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于，两点向轴引垂线交轴于，，若梯形的面积为，则（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
已知圆的方程，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是()
A.B.
C. D.
【答案】C
【解析】设焦点为F,准线为，设切点为E，，设，作于M，于N，
，，抛物线的焦点轨迹方程是，，，所以椭圆的方程为.
2．【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知曲线及点，若曲线上存在相异两点，其到直线的距离分别为和，则__________．
【答案】14
【解析】曲线即为半圆M:，由题意得为半圆M与抛物线两个交点，由与联立方程组得，所以
如图，过抛物线的焦点作直线与抛物线及其准线分别交于三点，若，则__________．
【答案】
【解析】
根据抛物线的几何性质，，所以，求得，，解得：,而.【2016高考新课标1文数】在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
（I）求；
（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
【答案】（I）2（II）没有
【解答】（Ⅰ）由已知得,.
又为关于点的对称点,故,的方程为,代入整理得,解得,,因此.
所以为的中点,即.
（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：
直线的方程为,即.代入得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点.
已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）（1）根据抛物线的定义知，，
∵，从而可求出，进而可得结果；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，根据韦达定理，弦长公式将用表示，换元后利用基本不等式可得结果.
试题解析：（1）根据抛物线的定义知，，
∵，
∴，
∴．
12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）
1.【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】抛物线的焦点坐标是）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】，焦点坐标为，即为，故选B.
抛物线的焦点坐标为（01），实数a的值等于）
A.4B.－4C.D.
【答案】B
动点到点的距离比它到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（
A.B.C.D.
【答案】D
已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）
A.4B.5C.6D.11
【答案】B
【解析】，，，线段的中点到轴的距离为，故选B.
5已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，若，则）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
由已知为的三等分，作于如图则，故选B.
6．已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（）
A.B.C.D.
【答案】C
7．如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，
是抛物线的焦点，，
，故选：D．
8已知抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意知，根据重要不等式得：
所以，即的最大值为，故选A.
在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.
10.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．
11.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的轴长的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】B
中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）
A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线
【答案】D.
【解析】如下图所示，连结，过作于，∵面，面，
∴，∴，故点的轨迹为以为焦点，所在直线为准线的抛物线，故选D.
二、填空题
13.【2017届浙江省高三上学期高考模拟】抛物线的焦点坐标是___________，准线方程是___________.
【答案】，.
【解析】由题意得，焦点坐标是，准线方程是，故填：，.
14.【2018届江苏省南京市溧水高级中学高三上学期期初模拟】已知点为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距离为5，则直线的斜率为.
【答案】
【解析】试题分析：由抛物线定义得：又点位于第一象限，因此从而
中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为.
【答案】
【解析】设所在的直线方程为,则所在的直线方程为,
解方程组得：，所以点的坐标为,
抛物线的焦点的坐标为:.因为是的垂心，所以,
所以，.
所以，.
16.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷（一）】过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为抛物线的焦点，则的值为__________．
【答案】6
【解析】设AB的中点为H，抛物线的焦点为，准线为，设A、B、H在准线上的射影为，则，由抛物线的定义可得，
，，
过的直线设为，与联立得：，
，
计算得出且，
又，AB的中点为
线段AB的垂直平分线过点方程为过中点，则
，，解出或（舍去），则，
，则
三、解答题
17.【2016高考浙江文数】如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.
（I）求p的值；
（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x
轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
【答案】（I）；（II）.
【解析】(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离.
由抛物线的定义得，即p=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为，可设.
因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1,,由消去x得
，故，所以.
又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，
从而的直线FN:，直线BN:，
所以，
设M(m,0),由A,M,N三点共线得：，
于是，经检验，m<0或m>2满足题意.
综上，点M的横坐标的取值范围是.
已知是抛物线的焦点，点是不在抛物线上的一个动点，过点向抛物线作两条切线，切点分别为.
（1）如果点在直线上，求的值；
（2）若点在以为圆心，半径为4的圆上，求的值.
【答案】（1）1（2）16
试题解析：解：因为抛物线的方程为，所以，所以切线的方程为，即①，同理切线的方程为②，设，则由①②得以及，由此得直线的方程为．
（2）由（1）知切线的方程为，切线的方程为，联立得点．
设直线的方程为，代入得．因此，所以点的坐标为，由题意
，所以，从而
.，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.
【答案】（1）（2）
（1）的斜率存在，故可设直线的方程为.
所以消去，整理得：.
因为直线与抛物线相切，所以，解得.
所以，即点.
设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称，故有，
解得.即点.
（2）（1），
直线的方程为，
所以点到直线的距离为.
所以的面积为.
20．【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．
【答案】(Ⅰ)的方程为其准线方程为；(Ⅱ)2.
【解析】试题分析;（I）由题意抛物线的焦点为抛物线的顶点（，由此算出从而得到抛物线的方程，得到的准线方程；（II）设则可得切线，的方程，进而可得
所以直线的方程为.
联立由韦达定理得，可求得．
进而求得点到直线的距离．则的面积所以当时，取最小值为。即面积的最小值为2.．
试题解析：（Ⅰ）的方程为其准线方程为．
（Ⅱ）设，，，
则切线的方程：，即，又，
所以，同理切线的方程为，
又和都过点，所以，
所以直线的方程为.
联立得，所以。
所以．
点到直线的距离．
所以的面积
所以当时，取最小值为。即面积的最小值为2.
设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）
（II）设上两点关于轴对称直线与椭圆相交于点异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】（1），.，或.
（）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.
所以，直线的方程为，或.
：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为......3分
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则，
所以.......5分
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.....12分
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