考纲原文1.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 知识点详解一、正弦定理 1.正弦定理 3.解决的问题 (1)已知两角和任意一边,求其他的边和角; (2)已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角. 4.在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况 二、余弦定理 3.解决的问题 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角. 三、解三角形的实际应用 (4)坡角与坡度 ①坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角); ②坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度).坡度又称为坡比. 考向分析考向一 利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求边和角的方法: (1)根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形,并在图形中标出相关的位置. (2)选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. (3)在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用. 考向二 三角形形状的判断 利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路: (1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角间的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 这个结论. 提醒:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免造成漏解. 考向三 与面积、范围有关的问题 (1)求三角形面积的方法 ①若三角形中已知一个角(角的大小,或该角的正、余弦值),结合题意求夹这个角的两边或该两边之积,套公式求解. ②若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,套公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. (2)三角形中,已知面积求边、角的方法 三角形面积公式中含有两边及其夹角,故根据题目的特点,若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解;若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解. 【名师点睛】 在解决三角形问题中,面积公式最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 考向四 三角形中的几何计算 几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算,这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形,把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中. 考向五 解三角形的实际应用 解三角形应用题的两种情形: (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 研究测量距离问题是高考中的常考内容,既有选择题、填空题,也有解答题,难度一般适中,属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解. |
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