线段树从零开始

线段树从零开始

By 岩之痕

一：为什么需要线段树？

题目一：

10000个正整数，编号1到10000，用A[1],A[2],A[10000]表示。

修改：无

统计：1.编号从L到R的所有数之和为多少？ 其中1<= L <= R <= 10000.

方法一：对于统计L,R ，需要求下标从L到R的所有数的和，从L到R的所有下标记做[L..R],问题就是对A[L..R]进行求和。

这样求和，对于每个询问，需要将(R-L+1)个数相加。

方法二：更快的方法是求前缀和,令 S[0]=0, S[k]=A[1..k] ，那么，A[L..R]的和就等于S[R]-S[L-1]，

这样，对于每个询问，就只需要做一次减法，大大提高效率。

题目二：

10000个正整数，编号从1到10000，用A[1],A[2],A[10000]表示。

修改：1.将第L个数增加C （1 <= L <= 10000）

统计：1.编号从L到R的所有数之和为多少？ 其中1<= L <= R <= 10000.

再使用方法二的话，假如A[L]+=C之后，S[L],S[L+1],,S[R]都需要增加C,全部都要修改，见下表。

方法一 方法二

A[L]+=C 修改1个元素 修改R-L+1个元素

求和A[L..R] 计算R-L+1个元素之和 计算两个元素之差

从上表可以看出，方法一修改快，求和慢。 方法二求和快，修改慢。

那有没有一种结构，修改和求和都比较快呢？答案当然是线段树。

二：线段树的点修改

上面的问题二就是典型的线段树点修改。

线段树先将区间[1..10000]分成不超过4*10000个子区间，对于每个子区间，记录一段连续数字的和。

之后，任意给定区间[L,R]，线段树在上述子区间中选择约2*log2(R-L+1)个拼成区间[L,R]。

如果A[L]+=C ，线段树的子区间中，约有log2(10000)个包含了L，所以需要修改log2(10000)个。

于是，使用线段树的话，

A[L]+=C 需要修改log2(10000) 个元素

求和A[L...R]需要修改2*log2(R-L+1) <= 2 * log2(10000) 个元素。

log2(10000) < 14 所以相对来说线段树的修改和操作都比较快。

问题一：开始的子区间是怎么分的？

首先是讲原始子区间的分解，假定给定区间[L,R]，只要L < R ，线段树就会把它继续分裂成两个区间。

首先计算 M = (L+R)/2，左子区间为[L,M]，右子区间为[M+1,R]，然后如果子区间不满足条件就递归分解。

以区间[1..13]的分解为例，分解结果见下图：

问题二：给定区间【L,R】，如何分解成上述给定的区间？

对于给定区间[2,12]要如何分解成上述区间呢？

分解方法一：自下而上合并——利于理解

先考虑树的最下层，将所有在区间[2,12]内的点选中，然后，若相邻的点的直接父节点是同一个，那么就用这个父节点代替这两个节点（父节点在上一层）。这样操作之后，本层最多剩下两个节点。若最左侧被选中的节点是它父节点的右子树，那么这个节点会被剩下。若最右侧被选中的节点是它的父节点的左子树，那么这个节点会被剩下。中间的所有节点都被父节点取代。对最下层处理完之后，考虑它的上一层，继续进行同样的处理。

下图为n=13的线段树，区间[2,12]，按照上面的叙述进行操作的过程图：

由图可以看出：在n=13的线段树中，[2,12]=[2] + [3,4] + [5,7] + [8,10] + [11,12] 。

分解方法二：自上而下分解——利于计算

首先对于区间[1,13]，计算(1+13)/2 = 7，于是将区间[2,12]“切割”成了[2,7]和[8,12]。

其中[2,7]处于节点[1,7]的位置，[2,7] < [1,7] 所以继续分解，计算(1+7)/2 = 4, 于是将[2,7] 切割成[2,4]和[5,7]。

[5,7]处于节点[5,7]的位置，所以不用继续分解，[2,4]处于区间[1,4]的位置，所以继续分解成[2]和[3,4]。

最后【2】 < 【1,2】，所以计算(1+2)/2=1 ，将【2】用1切割，左侧为空，右侧为【2】

当然程序是递归计算的，不是一层一层计算的，上图只表示计算方法，不代表计算顺序。

问题三：如何进行区间统计？

假设这13个数为1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1. 在区间之后标上该区间的数字之和：

如果要计算[2,12]的和，按照之前的算法：

[2,12]=[2] + [3,4] + [5,7] + [8,10] + [11,12]

  29 = 2 + 7 + 6 + 7 + 7

计算5个数的和就可以算出[2,12]的值。

问题四：如何进行点修改？

假设把A[6]+=7 ,看看哪些区间需要修改？[6],[5,6],[5,7],[1,7],[1,13]这些区间全部都需要+7.其余所有区间都不用动。

于是，这颗线段树中，点修改最多修改5个线段树元素（每层一个）。

下图中，修改后的元素用蓝色表示。

问题五：存储结构是怎样的？

线段树是一种二叉树，当然可以像一般的树那样写成结构体，指针什么的。

但是它的优点是，它也可以用数组来实现树形结构，可以大大简化代码。

数组形式适合在编程竞赛中使用，在已经知道线段树的最大规模的情况下，直接开足够空间的数组，然后在上面建立线段树。

怎么用数组来表示一颗二叉树呢？假设某个节点的编号为v,那么它的左子节点编号为2*v，右子节点编号为2*v+1。

然后规定根节点为1.这样一颗二叉树就构造完成了。通常2*v在代码中写成 v<<1 。 2*v+1写成 v<<1|1 。

问题六：代码中如何实现？

(0)定义：

#define maxn 100007 //元素总个数  

int Sum[maxn<<2];//Sum求和  

int A[maxn],n;//存原数组数据下标[1,n]   

(1)建树：

//PushUp函数更新节点信息 ，这里是求和  

void PushUp(int rt){Sum[rt]=Sum[rt<<1]+Sum[rt<<1|1];}  

//Build函数建树   

void Build(int l,int r,int rt){ //l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号  

    if(l==r) {//若到达叶节点   

        Sum[rt]=A[l];//储存数组值   

        return;  

    }  

    int m=(l+r)>>1;  

    //左右递归   

    Build(l,m,rt<<1);  

    Build(m+1,r,rt<<1|1);  

    //更新信息   

    PushUp(rt);  

}  

(2)点修改：

假设A[L]+=C:

void Update(int L,int C,int l,int r,int rt){//l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号  

    if(l==r){//到叶节点，修改   

        Sum[rt]+=C;  

        return;  

    }  

    int m=(l+r)>>1;  

    //根据条件判断往左子树调用还是往右   

    if(L <= m) Update(L,C,l,m,rt<<1);  

    else Update(L,C,m+1,r,rt<<1|1);  

    PushUp(rt);//子节点更新了，所以本节点也需要更新信息   

}   

点修改其实可以写的更简单，只需要把一路经过的Sum都+=C就行了，不过上面的代码更加规范，在题目更加复杂的时候，按照格式写更不容易错。

(3)区间查询（本题为求和）：

询问A[L..R]的和

注意到，整个函数的递归过程中，L,R是不变的。

首先如果当前区间[l,r]在[L,R]内部，就直接累加答案

如果左子区间与[L,R]有重叠，就递归左子树，右子树同理。

int Query(int L,int R,int l,int r,int rt){//L,R表示操作区间，l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号  

    if(L <= l && r <= R){  

        //在区间内，直接返回   

        return Sum[rt];  

    }  

    int m=(l+r)>>1;  

    //左子区间:[l,m] 右子区间：[m+1,r] 求和区间:[L,R]

    //累计答案  

    int ANS=0;  

    if(L <= m) ANS+=Query(L,R,l,m,rt<<1);//左子区间与[L,R]有重叠，递归

    if(R > m) ANS+=Query(L,R,m+1,r,rt<<1|1); //右子区间与[L,R]有重叠，递归

    return ANS;  

}