数学解题方法综合谈(一):
数形结合，用代数法例1、已知⊿CEF内接正方形ABCD，且CE=4EF=3∠FEC=Rt∠
求：正方形的边长解：设正方形的边长为a，BF=b∵∠FEC=Rt∠∴则有：
化简得：又…………(4)
(1)+(4)－×2得：∴b＋c
又(2)-(3)-(4)整理得：2ab＋2ac=32∴a(b＋c)=16∴故正方形的边长为例2、已知：如图正方形ABCD内接于直角三角形FAE求证：AE+AF≥4AB证明：设AB=aAE=mAF=n连AC则S⊿AEF=S⊿AEC+S⊿AFC即am＋an得设则故m、n是方程＋px＋ap=0的两根∵m、n是正实数，且p＞0故⊿=≥0得p＞4a即：AE+AF≥4AB例3、已知：如图边长为a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH内
求：的取值范围解：设BF=mBG=n则有m+n=b∴－2mn
又有勾股定理知则可得：从而m、n是方程的两根∵m、n是正实数，则⊿=≥0得≤
∵＜故＜≤∵a＞0则可得1＜≤2∵＞0∴1＜≤故的取值范围是1＜≤例、⊿ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个点P（i=1、2、3、…、100）记m=A＋BPPC则m＋m＋…＋m=解：如图作高AD，则m=（AD＋D）＋（DB＋DP）（BD－D）=AD＋DPi＋BD－D=AD＋BD=AB＋2=4∴m＋m＋…＋m=400例□ABCD内一点已知S=xS=xy
S⊿OAD=xyS⊿OCD=xy且□ABCD的面积为2008
求：x、y的值，问此时O点的位置如何？解：∵S⊿AOB=S⊿COBS⊿AOD=S⊿COD∴S⊿AOB＋S⊿COD=S⊿AOD＋S⊿COB∴x＋xy3=xy2＋xy得1＋y3=y＋y2∴∴(y＋1)(y－1)=0∵y＋1≠0∴y=1则∵S⊿=S=S=S=x==502
例菱形的一条边长是一个两位整数，若将其个位数字与十位数字互换，所得两位数是菱形的一条对角线的长的，又知菱形的另一条对角线的长是一个正有理数，求：菱形的边长和面积.解：设菱形的边长AB=10a＋b对角线的交点为O（如上图）由已知不仿设OA=10b＋aOB=x则
∴(a＋b)(a－b)必是11的倍数，∵a、b是数字故可得：解得：∴菱形边长为65，对角线长为112中一条对角线=2x=2=2×33=66故菱形的面积=112×66÷2=3696
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