经济收敛是怎么一回事儿

穷国的发展速度总是比富国更快？发展中国家能否追赶上发达国家？与这两个问题息息相关的，正是今天我们要介绍的“经济收敛（Economic Convergence）”的概念。

关于“经济收敛”

绝对收敛（Absolute Convergence）：不同国家的发展水平会无条件趋于一致，穷国发展速度总是比富国更快

俱乐部收敛（Club Convergence）：依据发展相关条件的差异，各国在发展上形成不同俱乐部（club/gruop），俱乐部内部会出现收敛

β收敛：初始发展水平与发展速度成反比

σ收敛：发展水平的相关指标方差下降

近年来，关于经济收敛的研究重心从“绝对收敛”逐渐转移到“俱乐部收敛”。首先，当把研究范围限定在条件相似的几组国家时，可以发现人均GDP在组内明显存在β收敛和σ收敛的现象；其次，绝对收敛意味着不同国家的人均GDP分布会呈现单峰分布，且随着时间推移，分布呈现更集中的趋势。但是实际上，近几十年来各国人均GDP呈现明显的多峰分布，Quah(1996)将其称为“Twin Peaks”。

但是，多峰分布是否就意味着“俱乐部收敛”现象的存在呢？答案是否定的。与绝对收敛的要求类似，除了多峰分布的出现外，俱乐部收敛还要求随着时间推移分布模式变得更加显著。

用现实数据来举个例子，Figure 1分别展示了123个国家在1995年和2010年的人均收入的分布，可以发现，确实存在穷国和富国的双峰分布。如果这15年间存在俱乐部收敛现象的话，穷国和富国会分别趋向于其峰值。但是，分布内部的变化很难单纯从图像上来判断，而且总体平均收入和分布方差的变化也让前后比较变得复杂，再者，如果两个峰值的分布一个变得更加显著，一个变得不显著了，这种情况下是不是俱乐部收敛呢？

因此，关于俱乐部收敛这个重要的概念，到目前为止经济学中没有合适的指标来衡量它，而今天要介绍的这篇论文，就是尝试构造出一个非参数估计的指标，跟踪多峰分布随着时间推移的显著性的变化，来检验俱乐部收敛的存在。该指标基于Silverman(1981,1983,1986)提出的非参多峰检验，该检验涉及到“临界带宽”的变化，后文将给出详细介绍。

该俱乐部收敛指标（Club Convergence Indicator）将分布内部复杂变化的影响用一个数字来概括，包括组间分散程度和组内集中程度的变化，该指标有以下三个优点：

（1）直观易懂——利用临界带宽的概念解释分布的显著性；

（2）操作简单——通过简单的Bootstrap过程即可计算出显著性的变化；

（3）成本低——标准多峰分布检验的研究已经计算出了临界带宽的数值，因此我们只需要记录其随时间的变化即可。

与其他极化指数相比，该指标对分布的内部变化比较敏感，而分布的绝对值变化并不影响其大小。

利用本文构建的俱乐部收敛指标，作者研究了近年来世界各国人均GDP的分布，提出了“千禧年顶点（The Millennium Peak）”的现象：19世纪80-90年代，俱乐部收敛指标上升，从2000年左右到2011年，指标逐渐下降。也就是，在千禧年之前，各国人均收入分布存在显著的俱乐部收敛，随后则出现了相反的趋势（de-clubbing）。

具体的指标构建是如何进行的，而出现“千禧年顶点”原因又是什么？后文将分为以下几个部分进行详细介绍：

俱乐部收敛指标的构建

俱乐部收敛指标的特征

关于千禧年顶点的实证研究

俱乐部收敛指标的构建

1 静态情形：临界带宽(Critical Bandwidth)

若希望在不对人均收入分布形态作出假设的情形下，对其进行估计，通常会采取非参数估计中的核密度估计（kernel density estimation）。比如，面对样本量为n的数据点xi（i=1,2,…,n），核密度估计所得到的密度函数如下所示：

原文对密度函数提出了一些正规化条件的假设，如有界、两次连续可导等。其中，核函数（kernel function）通常采用高斯函数：

（其中h为带宽）

因为带宽h值将影响密度函数的形状，因此核密度估计的关键在于选择合适的带宽。Silverman（1981）曾给出证明，采用高斯形式的核密度函数分布的峰值个数将随着带宽的增加而减少。即，带宽增加将为核密度函数分布增加额外的小波动，增加整体函数的平滑性。由此，他给出CBm的定义：使核密度函数产生m个（而非m+1个）峰值的最小带宽。所有小于CBm的带宽值，将会增加峰值个数，即，使核密度函数产生m+1个峰值。在正规化条件下，Silverman推导了临界带宽的渐近性质，发现临界带宽以n^(-1/5)的速度趋近于0。

Silverman随即提出了由临界带宽发展起来的关于核密度函数形态（即峰值数量）的检验。该检验的原假设是，核密度函数存在m个峰值；备择假设为单边假设，即核密度函数形态存在的峰值个数多于m。该检验的执行过程是：根据核密度函数存在m个峰值的假设，先计算得到初始临界带宽值，随后通过bootstrap再抽样的方法得到实际临界带宽值，若后者在一定的置信水平下远大于前者，则拒绝原假设，说明核密度函数形态的峰值多于m个。

这种针对核密度函数形态的检验由于其保守性受到了一些批评，但是进行一定的校准技术改善后，仍然优于其他检验函数形态的非参数方法，因此较为广泛地应用于人均GDP、劳动生产率等变量的分布检验中。然而，该检验是静态的，这就意味着，即使Bianchi（1997）发现，独立来看，在1980年和1989年这两年中，人均GDP分布呈现双峰形态，但是无法对这两年的分布密度函数进行对比，即无法判断峰态显著度的变化。

2 动态情形：俱乐部收敛指标

分析动态情形遇到的挑战是，基于原始数据计算得到的带宽对影响整体分布的变化非常敏感。但是，俱乐部收敛指标的目的是判断不同情形下人均GDP分布形态的显著度是否发生变化，从理论上来说应该只反映峰值与其他数据的相对关系，不应该受整体分布方差的影响。因此首先要对密度函数进行标准化。作者在此提出定理1，即标准化后密度函数的临界带宽为原密度函数临界带宽除以原分布的标准差(若对定理内容及证明感兴趣，可参考原文及其附录)。Silverman提出的分布函数形态检验仍然适用。

在研究人均收入分布时，已有的研究多主张其为双峰分布，或者说形成了发展中国家和发达国家两个集群。作者提出，在t1和t2时刻（t1<t2）分别观察世界范围内的标准化后人均收入分布，并分别计算基于单峰分布的CBt1和CBt2。若CBt1小于CBt2，说明带宽h需要超过一个更大的门槛值（即临界带宽），即加入更多的平滑性，才能使双峰分布变成单峰分布。这就意味着t2时刻对应的双峰分布形态显著性更强，即存在俱乐部收敛趋势。然而，这一判断存在隐含前提，即不存在单个国家在不同俱乐部之间的转移。经验证据表明，在不同俱乐部间流动的情形确实很少存在。

此外，临界带宽值的另一个优势在于，它同时包含了两种变化：组间分散程度（between-cluster separation）和组内集中程度（within-cluster concentration）的增加，二者均会导致临界带宽值的增加（即双峰分布的显著程度增强）。用数学形式来表达，具体如下：对某个俱乐部内的所有观测值xi进行以下变形：yi = xi + a, 若对人均收入水平较高（低）的俱乐部进行变形且a值为正（负），则组间分散程度增加，双峰形态显著性增强。在下图中，虚线代表原始数据分布，实线代表提高全部富国俱乐部成员人均收入水平后的分布。可以看出，和虚线相比，实线所对应的分布需要加入更多平滑性才能变成单峰分布，即实线的双峰分布形态更为显著。

若对某个俱乐部内的所有观测值xi进行以下变形：yi = lambda * xi + (1-lambda) * average of respective cluster，当lambda小于1时，意味着组内观测值的集中程度增加（称为lambda集中，反之则为lambda分散），双峰分布显著性增强。在下图中，虚线代表原始数据分布，实线代表对穷国俱乐部内所有成员的数据进行lambda=0.5的挤压。同样地，和虚线相比，实线对应的双峰分布更为显著。

然而，如果组间分散程度和组内集中程度的变化方向不一致，则无法直接判断临界带宽的变化方向，也无法判断双峰形态显著度的变化情况。

俱乐部收敛指标的特征

1 渐近性质

假设在t1和t2时刻，密度函数至多存在两个峰值；并且正规性条件满足。那么：

（1）基于单峰形态的统计量CBt2-CBt1是真实密度函数相应的一致估计；

（2）当n趋于无穷时，P（|CBt2-CBt1|≥c）趋于1，其中常数c为正，取决于具体分布。

具体证明参见原文附录。

2 Bootstrap检验

为了检验临界带宽变化的显著程度，采取bootstrap检验。具体步骤为：

（1）计算某个国家在t1和t2时刻的临界带宽之差，假设为正，即存在俱乐部收敛；

（2）从t1和t2两个时刻的数据集中选取样本量为n的观测值，计算临界带宽之差；

（3）抽取后放回，再次重复（2）T次（T足够大），记录下T个临界带宽之差的结果，若超过95%以上的临界带宽之差结果均为正，则说明临界带宽显著地增加了，在5%的置信水平下可以认为，确实存在俱乐部收敛的趋势。

3 三峰形态的检验

当密度函数分布从双峰形态向三峰形态转变时，以单峰为基准计算的临界带宽和以双峰为基准计算的临界带宽共同度量了该分布的变化。其中，后者必然增加，而前者是否增加则取决于三峰中是否存在某峰占主导地位的情况。

4 多变量情形

关心世界范围内人均收入分布的学者同时也对教育水平、人均寿命感兴趣。因此探索俱乐部收敛指标在多变量情形下的应用也十分有必要。Ahmed和Walther（2012）提出了应对高维诅咒的办法，即将多变量数据“投射”到非线性单变量的分布中，继而再利用单变量分布中临界带宽的计算和检验方法。

关于千禧年顶点的实证研究

1 数据来源与描述性统计

原文所采用的数据来自于Penn World Table 8.0 (Feenstraetal.,2015)，共采用了123个国家在1970-2011年间按2005年美元购买力平价计算的人均GDP数据。作者选择了数据库中1970-2011年人均GDP均非零值的国家，并排除了石油产出国和总人口少于30万的小国。

由Figure 4左图可以看出，在样本期内，人均GDP的均值和中位数在稳定上升（除了2008年金融危机时期），而Figure 4右图则表明了人均GDP的标准差也在大体上稳定升高，同时四分位距也在上升，说明数据离散是由大多数国家一起引起的，保证了之后标准化过程是合理的。

2 实证结果

利用非参数估计中的核密度估计，将人均GDP的原始数据和标准化数据处理为对应不同年份的概率分布，具体见Figure 5。

首先，直观来看，数据的双峰分布很明显。其次，利用bootstrap方法，将有限的人均GDP数据复制5000次，以进行Silverman的传统单峰检验，结果显示在1984年后，显著存在双峰分布。Figure 6中下半部分的加粗虚线分别为两种方法下的P值，均在1984年后，支持双峰分布假设。

但单纯分析单个年度的分布并不能说明俱乐部收敛存在，只有在随着时间推移，双峰越来越明显才体现了收敛存在。因此，原文的关键点是利用临界带宽指标（CB值），引入了动态信息，使得不同年度间的双峰分布可以进行程度上的对比。Figure 6中的实线即对应各年的CB值，可以看出在双峰分布显著的1984年开始至2000年，CB值在稳定上升，说明俱乐部收敛现象存在，但2000年之后，CB值下降，出现了De-clubbing现象，原文将该现象称为“千禧年顶点”。

为验证CB值的变化是否显著，依旧利用bootstrap方法，将有限的人均GDP数据复制5000次。Figure 7中左图是将各年份CB值与1970年的初始值对比，发现2000年前后确实存在显著的CB值增长；Figure 7中右图则说明2004年后的CB值对比2002年的基准值显著减小，验证了“千禧年顶点”现象的存在。

（本文还将Wolfson’s bipolarization index、the ER polarization measure &  the Gini index与CB值做了对比，总体上没有差异，若感兴趣可参考原文）

3 原因分析

那么是什么原因导致了“千禧年顶点”现象呢？俱乐部收敛的一个隐含前提，即不存在国家在不同俱乐部之间的归属变化，但本文发现，在40年的样本期内，123个国家中有109个国家一直待在同样的分组中，组间变迁的14个国家主要包括亚洲四小龙、欧洲部分边缘国家（如爱尔兰、西班牙在19世纪80年代或90年代实现了由穷国向富国的转变）以及一部分经济变差的国家，如巴哈马群岛。

其中绝大多数国家稳定地处于自己的组内，但有部分国家的人均GDP靠近富国和穷国两组间的临界值，会对双峰分布变化产生比较大的影响。从Figure 9中左图可以看出，韩国就是实现了组间变迁，而德国和肯尼亚作为各自组的典型都比较稳定地远离临界线。

所以直观来看，越多国家在临界值附近越会导致双峰分布不明显，而“千禧年顶点”现象的出现则是因为2000年前后很多国家来到了临界值附近，类似波兰、土耳其和智利在向上逼近临界线，而希腊等国在向下逼近。

总结

本文构建了一个非参数估计的俱乐部收敛指标，将组间分散程度和组内集中程度的变化用一个简单的数字展示出来，利用该指标对各国人均收入的分布形态进行静态检验和动态检验，提出了一个新现象——“千禧年顶点”。

而关于“千禧年顶点”背后的原因，还需要更多的研究，是要素生产率的提高？是科学进步？还是人力资本的积累？关于经济收敛的话题未完待续。

Reference:

Melanie Krause, 'The Millennium Peak in Club Convergence -- A New Look at Distributional Changes in the Wealth of Nations', Journal of Applied Econometrics, Vol. 32, No. 3, 2017, pp. 621-642.