一、一道有趣的数学题引发的讨论朋友提供了一道数学题非常有意思，如图所示：你在放学回家的路上，接到了爸爸的电话。他刚好下班，可以开车在中途带上你回家。问：你为了更快到家，应该往回走快点坐上车，还是在原地等待，还是继续朝着家的方向走呢？为什么？首先，这个题目极具生活气息，就是生活中经常遇到的场景。这个问题也非常有意义，到底这个行走的行人如何行动才能尽快到家呢？我在“基于大概念教学设计优化研究”课题组的工作群里转发了这张图片，得到的回答五花八门。老师1说：最快的到达方式是不是行走—同行—抵达目标。这不是一种理科的思维方式，回答是文不对题的，我说题目问的是人的三种走法，哪个到家快些。备课中，文不对题是最要命的问题，是一定要纠正的。老师2说：我觉得朝着家的方向走，应该是快的。我要求说出理由，老师回答说：“有目标不停止行走就是最快的方式。”这没有抓住问题的关键，我提示说：“大概念教学的思维是抓住重点，忽略其他。在这个问题中，一个重要的内容是时间t等于距离s除以速度v。”老师2继续说：“因为车比人快，那么人先朝着目标走，离家就近，也就是距离短呀，那么等车接到人的时候，开车再回家用的时间自然少。”我说：“好像有问题，因为车走、人走都是要计时的呀。”老师2说：“好像真有点不对。”我说：“您有思路距离s是谁，速度v是多少？”老师2说：“好像应该是一样的。”我说：“重点是什么？”老师2说：“重点是看他离家的路程有多远？如果在他爸没到时候，他就走回家了，那就是第三种。”我说：“题目中说的是‘中途’。”老师2说：“那就是中途离家的距离。”我说：“我想主要考虑的不是这种情况，是有可比性的。假定车是一定要接上学生的。”老师2说：“我总感觉方向是一致的，对的，走总比静止强吧。但又不知道理由如何。又感觉一样。”这种凭感觉的思路其实是靠不住的。这个题目设置的干扰因素非常厉害，遮蔽了问题的主要矛盾。哲学告诉我们思考问题要抓住问题的主要矛盾，要抓住重点。这时，老师3说：“学生尽快到家，是以学生为研究对象的，路程s和他的速度v的比值t=s/v就是时间。应该研究他走的路程和他自己的速度间的关系，与汽车无关。若乘上汽车，学生的速度就是汽车的速度。”这完全是用理科的思维在思考问题，而不是凭感觉。但是，“与汽车无关”的论断是有问题的。我说：“车要接人的，怎么会与汽车无关？这样分析速度好像很复杂。”老师2又说：“汽车如果要是一个速度的话，接上孩子就是一个点的事，在哪接？到家的时间是不是都一样呢？”老师3说：“作为一个运动模型，学生接到电话时，到家的位移是个定值，到家的时间只有速度决定，学生的速度有可能有两个值，一是自己走路的速度，二是坐上车就是汽车的速度。”从运动模型的视角思考问题，我感觉路径很对。我感觉已经接近问题的本质了，我再强调说：“假定车一定会接上人，情况怎样？”老师3说：“以汽车为运动模型，中途一定接上学生，时间就由汽车的路程和速度决定，与学生向哪走没有关系。”老师2也说：“到家的时间应该是一样的吧。”至此，结论已经出来了。二、从抓住关键因素方面对这道数学题反思在这道题目中，出题人成功地设置了干扰因素——学生的三种选择：快点坐上车，还是在原地等待，还是继续朝着家的方向走。从数学建模或物理模型的角度出发，这个案例中，因为需要求的是时间t，我们最需要分析的，要抓住的关键就是距离s和速度v。距离s和速度v就是我们要瞄准的两个核心概念，只有把核心概念找准了，解题路径才可能正确。这个题目更科学的解题思路是这样的，如果人与家的距离足够短，人能够不等车追上来就回家了，当然就是最快的。这里，我们假定车一定能接上人，人上车的时间忽略不计，堵车忽略不计，假定车是匀速运动的。那么，假定车离人的距离是S，车的速度是v1，人的速度是v2，相遇之前的时间是t1，相遇之后的时间是t2，我们要求的从接电话到回家的整个时间是t。人往回走，就是t1=S÷（v1+v2），人原地不动，就是t1=S÷v1，人朝着家的方向走就是t1=S÷（v1-v2）。t2=(s-v1t1)÷v1这样的算式看起来比较麻烦。我们直接从时间的角度思考，则时间t等于人车相遇前用的时间加上相遇后用的时间。那么t=t1+t2=t1+(s-v1t1)÷v1=s÷v1，则只跟车速有关。抓住问题关键说起来简单，但是做起来却比较难，所以，有朋友不客气地说：“你跟学生说一百遍抓住关键概念解决问题，学生也是不会的。”因此，我们需要深入思考的是：抓住关键因素的方法是什么，如果这些不明确，那么，抓住关键因素的问题就是一句落不了地的空话。这里借用北京师范大学吴金闪老师给出的路径，这是吴老师在2019年4月30日在他的微信公众号里发布的一篇关于《数学模型与科学》一文中写到的，如下：数学模型就是把一个实际问题转变成一个数学问题：把实际问题中的因素变成数学的概念和量，因素之间的关系变成概念和量之间的关系。在这个过程中，经常我们需要忽略一些因素，简化一些因素。有了模型之后，我们可以对这个模型做计算，得到一些结果。最后，我们可以对比实际问题和得到的结果，如果不符合则再一次修改模型：可能某些其他因素要包含进来，可能某些关系错了或者还需要包含进一步的关系，也可能是求解过程出了问题。而数学建模，就是这样的一个从具体问题到数学模型的过程，典型地包含：1.面对现象，提出初步问题。2.问题明确化的思考：目标做明确，条件搞清楚，然后抓住最主要的因素（这些因素之间的关系，和目标的关系），扔掉其他一切。有必要将来再捡起来。3.建模型，抽象：提出合理的假设，问题简单化，把目标和条件数学化，定义合适的量，数学化这些量之间的关系。4.算出来，用一下试试，继续改进。这个方法对我我们具有很好的启发。三、基于大概念视角对这道数学题反思抓住关键因素就是大概念的思维方式。这道数学题的核心概念是时间等于距离除以速度。下面讨论关于大概念视角下的哲学观念和共通概念哲学观念方面，我理解为抓住事物的主要矛盾。共通概念，也就是跨学科概念中，首先考虑“模式”问题，数学家正是通过模式的建构与研究进行工作的。数学是模式的科学。用公式来解题就是一种利用模式的思维方法。其次是系统与系统模型，运动是一个系统，匀速直线运动是有运动模型的。再次是原因和结果（机制和解释），假若车是一定能够接上人的，那么，时间决定于车的速度而与人的行动无关，这是问题的主要原因，导致的结果就是，关于人的三种选择都可以看作是干扰因素。第四，尺度、比例和数量，是时间、速度、距离三者之间的数量关系，只是这道题的复杂性在于时间、速度、距离有很多个，要用哪个，舍弃哪个，思维的力度正在此。第五，稳定和变化，人的走动与不走是一种变化的量，然而却对结果没有影响，变化中蕴含着稳定，稳定中却有变化，这种辩证的表现方式使这道题充满了魅力。以上是一家之言，希望朋友们讨论与争鸣，微信号：18853117596。（2019年5月11日草） |
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