举一反三系列04——非对称两根代数式求值

一元二次方程两根代数式求值问题的一般解法是：先由韦达定理（根和系数的关系）写出两根和及两根积的值，再把求值代数式变形整理为关于两根和及两根积的形式，最后代入计算．

但是，这种方法只能针对所求值代数式是关于两根和及两根积对称的，对于非对称的代数式，仅靠这种方法就行不通了．

例：已知α，β是方程x^²-x-3=0的两根，求α^⁴+β^³-α^²+2β的值．

分析：显然，两根代数式α^⁴+β^³-α^²+2β无法整理变形为α+β及αβ的结构形式，其原因是两根α，β的指数不对等，先把它们的指数化为对等，实现这一转化的唯一途径就是根据根的定义，将根的次数由二次降为一次．

解：因为α，β是方程x^²-x-3=0的两根，

所以α^²-α-3=0，β^²-β-3=0，

所以α^²=α+3，β^²=β+3，

所以α^⁴+β^³-α^²+2β

=(α^²)^²+β·β^²-α^²+2β

=(α+3)^²+β·(β+3)-(α+3)+2β

=α^²+6α+9+β^²+3β-α-3+2β

=α+3+6α+9+3β+3+3β-α-3+2β

=6α+6β+12

=6(α+β)+12，

由韦达定理，得：α+β=1，

所以6(α+β)+12=6+12=18,

所以原式的值为18.

由例子可见，求非对称两根代数式的值时，先根据根的定义将两根的次数都降为一次，然后再运用韦达定理求解．

练习：

（1）已知α，β是方程x^²+2x-1=0的两根，求α^²-2β-1的值．

（2）已知α，β是方程x^²-x-1=0的两根，求α^⁴+3β的值．

（3）已知α，β是方程x^²-3x+1=0的两根，求α/(β^²+1)+β/(3α)的值．