参考答案不唯一，数学需要你思考

作者：常艳 顺德区第一中学

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审核：王常斌

备注：本文发表于《中学数学研究》2018年第12期

如今，参考答案已经成为任何一本教辅资料的标配，各类教师教学参考书中也给出了教材中包括“思考”在内的每一小题的参考答案。甚至当我们看到哪本资料书中没有详细的参考答案时，我们几乎不会去买，还会顺带骂出版商“不负责任”。不知不觉中，参考答案已经成为我们解题中不可或缺的一部分，我们不断修改自己的答案以逼近“标准”答案，我们改掉了错误，也放弃了思考，我们不断的赞同参考答案，果断的舍弃自我，换来的就是这样一句千古疑问——“答案看得懂，自己想不到！”

因为参考答案不唯一，数学需要你思考！

笔者承担两个常规班的教学任务并担任高二年级数学竞赛队的教练员，无论在课堂上还是竞赛中，我的学生都在没有参考答案的前提下，攻克了一道又一道难题，创造了一个又一个参考答案，队员们所表现出的勤奋向上的学习热情和不言放弃的钻研精神深深的感染着我。以下将部分学子创新、巧妙的解法分享出来，以此来鼓励更多勤奋好学、勇于创新的优秀学子们。当然参考答案不唯一，你的答案才是你的最优解。

教学启示：选择此题作为课堂练习的最初目的在于考查学生正确使用点到直线距离公式、以及解方程组后对解的取舍。本想此题可能会导致学生花费大量时间进行计算，最后可能还会出现两组解的疑惑。然而A同学却在5分钟内就解出了正确答案，惊讶的同时我怀疑他肯定做过这个题目。于是又等了一会儿才让他到黑板上进行讲解。但他只画了上面的简图，并在点处重重的点了两下说“中点就是圆心”，全班同学便心领神会的“哇~”了出来，并且包括我在内都自觉的鼓起了掌。返看教参答案的大计算量且容易出错，A同学只是求了三个点的坐标就把圆心坐标轻松搞定，大大降低了题目的复杂度，真是难得的妙解。当我简单介绍了教参书上的做法后，同学们一片嘘声，大呼麻烦。所以那次课以后，在做题和选题的时候，我都会仔细思考、反复琢磨，力图将题目最真最简的解法呈现给同学们，使他们不断的被数学美所征服。

    竞赛之路：不等式因其形式灵活多变、一题多解而深受竞赛青睐。为此高二的数学竞赛课也专门开设了不等式专题。与其说是上课，不如说是我们师生的共同探讨。有时我们每节课只探讨一个题目，逐字逐句的去分析题干，力求可以全方位多角度的掌控全题。然而最开始我们也会顺着参考答案的导引，也不断的感叹为什么自己想不到。此时便会回归题目本身，探寻每一个可能被隐藏的发光点。慢慢的学生们的思维变得更加敏捷，眼光也更加锐利，能够快速发现解题的关键点并且严谨的给出多种不同的证明方法，不断的超越参考答案，也在不断的超越自己。上题便是在高二数学竞赛课上大家共同探讨的题目，同学们提供的三种证明方法灵活巧妙、简洁易懂，完胜参考答案。

题情分析：此题原本为填空题的最后一题，是针对部分尖子生的题目，想必高三的学子们看到此题会第一时间想到使用圆系方程来求解最为简便。然而正值高一的我们才刚刚讲完圆的方程一章，几乎所有班级并未来得及讲授圆系方程，或许此题的出题意图就在于讲评试卷时引出圆系方程。当然也看到一些学生试图计算出两圆的交点坐标，但面对繁杂的计算又不得不放弃了。那么此题除了硬着头皮的解出交点坐标，或者想着未曾谋面的圆系方程外，就没有其它简洁易懂的解决办法了吗？在阅卷的过程中，众多的空白卷中藏着这样一个解答过程，没有圆系方程，没有繁杂运算，一切都很顺理成章。

文科风采：我们通常习惯用数学不好去标榜文科生，却又显得以点盖面。上面的这个题目涉及的是必修4中平面向量一章的内容，在讲授这一章的内容时，笔者正在帮一位教文科班的老师代课，于是这个题目便同时出现在了文、理科班的课堂上，也让我有幸获得了上诉的学生做法，领略了文科生的数学风采。参考答案中(2)的似乎已经成了解答这种题目的“标配”解法。于是笔者也暗自得意所教两个理科班的学生，可以全部无障碍的利用解答出正确结果。然而，这样的一致标准，这样的一贯模式真的值得庆幸吗？我们的学生一次次的将自己的答案修改成参考答案的模式，一遍遍的质疑自己的方法与答案不同怎么也得到了相同的答案。拥有了思考的主动权，却没有了洒脱的自信。

参考答案，一个美其名曰辅助教学的工具，却限制了多少学生的思维。请告诉我们的学生：每个答案的呈现都有道理，无关对错，严谨的数学思维会帮你留下最优解，就像我们的人生路，参考答案也从不唯一。

参考文献：

[1]课程教材研究所中学课程教材研究开发中心.普通高中课程实验教科书数学2必修(A版)教师教学用书[M],北京:人民教育出版社,2015:134.

[2]王伟华,吴伟朝.冲刺全国高中数学联赛(第二版)[M].杭州:浙江大学出版社,2010:118.

[3]孙翔峰.三维设计·数学4:必修[M].海口:南方出版社,2015:55